Primality Certificate for (13320^6997-1)/13319

This certificate uses a theorem of Brillhart, Lehmer and Selfridge to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 33.678924% factorization of N-1:

From this partial factorization, we use sufficient of the largest prime factors of N-1 so that their product F is at least N ^1/3 :

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 33.348009%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 17 suffices.

Given such a witness, Pocklington's Theorem shows that every prime factor of N ≡ 1 (mod F). As F³>N, N can have no more than two prime factors.

Express N in base F

As F² < N < F³ and N ≡ 1 (mod F), we can let N = c₂·F² + c₁·F + 1.

• c₁= 249 5806617891 2263699879 5945428600 4677526710 5267135122 5988323387 7853306206 7202637251 5936724988 1251659699 8240684288 9139283020 3823177844 5214331162 0735726273 4177467393 9258576470 9773196568 1081245679 5897463188 8424146534 2491393168 4012834970 5469656698 9303191562 3744845047 5773829860 4691302883 8166093015 5370533353 1839759673 1791545523 8900359826 2459401338 6731127704 0037039167 5773563919 9072758204 0574245618 8428812622 4673104980 8100695410 2674138872 6927764971 8241659584 6573225372 5729626706 2252241473 1186570904 6514874407 7511723588 6966052844 6307583795 2445002321 8431152619 8360379855 7858062008 1798715725 5131228013 6538122784 2182586053 9428680912 8548913856 3977248008 8529359315 2697447548 4242297697 5557288816 1436361637 3446510856 5970251001 4379477028 7696949966 8440622453 1532295529 2844074215 0686573708 5671284469 8771182550 6438177631 5958528179 3670922128 0395319790 2135212342 6106960125 0546424858 6908291381 1021952323 9766033067 9160628444 2892795901 7141445512 0007099183 5578645466 8432793066 4210045021 2106926384 8264717347 7573472321 9839106530 1179665919 5372118549 3493465966 9113238987 6465247594 6081272025 1048796855 0132715336 0349582963 1082701806 0641523500 3343250966 6477417275 8541832937 0151199130 0839045938 4042275019 5850053166 7016246136 5884707901 5001780551 2674083218 7012033630 8563549042 5677073742 0158410908 3272007967 4615780474 6877308807 7464949913 0182137202 9803011041 8214369118 6382386946 8957279894 7745997331 1079712764 1424471639 2408340230 4820032452 2179225616 5597225604 6168418121 8107712343 0705242987 3179748663 7470805874 8833803088 1925580851 6017395951 4730715509 9231985287 6414211218 4331809643 5741869166 4055050055 5970113814 9963775299 0941542673 2136491728 0386740331 3853891791 6157540800 7776372954 4990638862 3615520495 3336488640 4888638900 9437216146 7739371824 7996144978 8738704529 5921113983 8050051712 3829486609 5740662097 1204018287 3686783229 0486189419 0163592784 1082915866 9471371855 9405940814 9668472913 5256586607 5396259524 0930921044 1209174769 5936128842 2266300851 0048888537 5728488900 8405005871 1999693937 8449491216 2768555572 3154066922 1180007825 0948566650 4447575187 7208782578 9283664378 3458571433 4084755865 7123051139 1962470879 6095459370 6255110561 5935145432 0234226223 5120873015 9313619470 9142550309 5877171788 4477004457 0097414899 1214050995 9113036339 1751676491 0900185016 8450720500 7188885962 4996548024 2544018121 2928654143 0258207413 9296787427 7548301008 3573836723 1284396214 5897785541 9081213490 8369920603 0317189637 0788000435 0948015694 3446729651 2365196157 3176423105 4649567814 6786161700 9784417190 5417400679 5756673162 4676358721 1833757745 9033880991 4174452616 4622683246 3227817960 0952717144 3304693922 5434383261 4893696500 6555910763 0082972937 8538884468 3034419590 2673686568 0216395629 4811672916 3445567702 6513815241 4508344612 7141159893 8410556145 8725409758 7108942386 0723685927 3454816130 8542765659 9330091984 3378966579 3439485141 6362114023 2615469235 8112404633 4367436017 7645007158 5228177407 6440932404 7188283147 3394840835 6580380873 6451424136 6578504575 6996001707 6334187881 9765311358 4598692206 3882290154 5058292890 9697845198 7480631719 6203173919 2958540322 6890761442 1760636899 8946738014 4515457787 1435399843 7960194236 8310730134 5613143947 0761408660 7979110852 5170176293 2021113089 0834694864 2511190423 3667455835 0017764797 2330889511 6305887204 5630204057 5815180723 2522011004 8037174553 6327038889 1148275943 6642457280 2801440978 1952799991 8060745515 8220383468 0185671068 0596191384 6513253803 9371617053 4236543149 3601628416 5016835252 7967144015 2032475355 8568350710 1607817368 7216898103 0070906120 9227769012 0045257171 9271624648 9250756924 2480887563 6955113633 4129120435 1822785920 5868681689 4169579606 2438454836 4974388722 7994368253 9555399481 6368155601 0855033171 6460049062 9320502199 6341042395 1283555766 8306998051 3810680120 0664390194 8147387560 3503119415 9254595629 3768866100 8417232377 7701992059 9818021941 4208382055 2829116117 3696887837 8195562525 8933655565 6816225014 4281309407 3609701988 4626317140 8638261756 4263391008 5113468102 2391635834 8334815201 0756062325 1554403632 9298334006 7836711894 1982870587 4040691864 6307869989 8753879560 3125919676 1029438166 4182756916 9144847199 0610684093 8635623715 7835743769 5071478215 3787070271 4230658117 9088212073 0388424162 2333976306 9117768191 8236563839 4593823793 8291410427 3289597753 2095643576 3644538161 8547942940 4667694169 6097619869 4451612281 1868474512 6829727548 3748913445 8156667496 9135019568 1502270023 2546968099 6445921543 0618230900 0959731700 3143311214 4648110781 1078369131 2909867275 1008758393 1445079635 7875287998 1255447585 9574935259 3522024099 4916861526 8592007542 1374438267 7541144834 9894575121 4093218662 3150710338 6009366769 9961629453 9300859257 5361016649 4954810563 0292971916 0157709845 4560515570 4173494193 8471726461 7803163881 2759355871 3973060169 5735256306 9064079879 2940738847 9962490410 7947111138 6375874468 4626470208 3113580927 1475514188 6061866080 2749333544 1720510789 9298652127 8175948214 2913320682 4989630939 4222494243 8666868882 4427280073 7882321710 4957441748 1092139478 4979222191 8692255152 5849234457 9858877843 0961822349 0031985284 0555689053 0280268894 6272978039 2605182064 5404145238 2407806610 4331764100 4713694969 6604977018 5478040385 8632499932 5726100784 5237907990 4208408928 8352492875 8751563224 8729979783 7276340739 5718799091 9382674115 3873658475 3971076047 6348737371 9850202856 2980524174 5506761233 5983910623 6358727723 8372393543 4868362384 3643117476 7002075704 6881913385 1891235634 5585008782 8318184047 7074041349 7617700378 0897759162 7957825469 4289093696 4068588425 6650544445 3262277575 8125550849 8167380837 8723847010 4649097463 2630519346 6182497179 5093809276 2672574718 2658287937 0887632409 5989558229 1253915235 8092196938 2636955253 8427030252 0681361729 1423681492 2539290146 5909631086 4020638549 7061656683 9372890748 7304118509 4343322947 4844341477 5981101999 1202536786 1467280251 3679758043 2168755860 3233282074 6817443459 8436488847 7691277992 7777118786 2058381808 7019806261 0380191693 2831572304 8667092773 4093460678 1138010190 5960138836 5014779520 3211687469 2127646111 3622187077 3241005756 3539062976 5227123956 3751105214 2579578249 5621878157 7497806085 7306755903 1033654058 2179753924 8593603015 4250528148 1200242776 7911250250 2658813957 8654739666 0303307694 0475496787 9912107129 1672282873 0849086320 7717863677 0472732785 4925036880 8113150187 6416931135 3609893809 9619159396 9585043206 2115108299 0127550466 3981462377 4375733220 7730865605 8838019786 1352829327 8158987991 1166073881 2177431127 7825588809 9910044346 8591492328 3520512255 2471326019 1895659358 6379025164 6975116789 8260347638 9045804512 3106338630 0507275971 4640654123 0721708977 2602029942 6622645982 9109540883 1596330903 3278423799 8570710862 1600817294 7916869402 5579514831 3532438844 5893481892 5883793555 6430231584 6765098130 4259729495 8269723916 9377739069 2732869759 0865007645 6271680677 8561035596 1618307074 6505232469 6054116363 7813395113 7864051771 4720342114 7563457446 4247077266 7050263752 2479962400 2557626125 5660685407 3410596803 4914054504 2020163356 2379708752 3495614290 2603306448 8084016714 6068614208 1800366400 8903969221 0894124224 0655991780 6514478051 0354034411 6720825007 5757778509 3029589459 0069318211 1434737321 8443329599 2601169120 7513479576 9917545399 9037065938 8134868169 9352561096 3682276820 4715731873 5469051311 1726335459 0539043200 6874932943 5865132830 6886789412 1646790167 3660153333 8971609251 9080097843 9741390918 5746268378 1205807965 9517187154 0687687351 7251469631 6410359108 9580454667 2090124029 4913658649 1075703035 4431827265 0625296290 9909139725 8378443706 6031174658 0434242065 4442399527 4278138061 7210672849 0429432516 6270523829 4935162308 9756826083 5793138054 8206096758 4964860480 9133792997 0192084871 1604243185 2638518552 8576222755 3643381774 0408811377 0145371784 8239493995 9407555920 3181242322 1308020901 7918188085 8196199969 2529782190 9880639457 8419684411 6345182073 1682689218 1856794789 8708787863 2694830671 7727117059 4509793813 6562065408 2271795215 7081545897 1316532978 8792367393 5032507503 7474710501 8924648601 5248522131 4460635118 9264014884 0223535905 2506612508 6419169321 5628085651 6416560720 1259796867 0264326142 6873136672 3063583010 7776234229 6312143979 7804301239 9762857232 5081784991 2821875989 9168674577 6596011036 0300538015 3134400304 2288672925 7781039184 8830493476 9787459948 2937668680 9230603292 0836926287 1977515122 9927405890 1553680519 5914147346 3188581519 7599996734 6161101445 3321209204 7747503041 4872848925 7362996932 4065293331 3744783009 8187354722 6843468508 0491161281 6186613423 1404773335 7684380859 3724184366 3171723383 0479116900 6568230880 1920257099 5298130365 7811136753 9613647752 7936085589 5537112165 5147079699 8631714169 4697295521 1752773723 4106176165 5583798623 9201937363 2385921288 6674888071 6517733722 9567818976 5638101181 6235845095 1908731022 7826574808 3215968337 6963480948 4601902603 5801287087 4754018143 9220439372 0321955390 9072364435 7570477717 4240868637 6713203217 9341179900 5689709711 1038947050 5206048273 5194555364 6955557446 9448343609 9686601963 2723891080 8017994476 2124276324 5464811558 5041859375 6049523330 9393157010 5467736358 4196263925 4657987834 2803392284 4989947477 3510371859 6734181744 8216657723 4000957501 8414952716 5696548545 6427824039 8014889397 5036292690 8746693008 2119889458 0885500276 9810022476 1731755523 0401013033 0860360952 4664276301 5806852463 2559980809 1972498385 0988182096 8393086144 1116329393 7499831496 8863845228 7033569497 7793428222 0361098681 6462450619 8471358310 1894963148 1825853895 6442457041 9322655639 1779232362 4953731447 6227656283 4008236043 8004447706 6882238596 9081542880 0062132873 7025147198 1842553690 6341987735 8212242438 0442215245 8085354344 9633830271 3791787967 6125851456 3724943527 0940544307 5359201059 5511013126 5279816435 1776649386 8799613913 5696008112 4622914605 1747856074 2657355357 7010329352 0820912502 5924712484 2070616318 3836136430 9694325133 8294683402 0194108873 1612340687 5348326748 1466337132 2437459006 4755755102 7227860483 3362715294 7038542015 6407843940 4701468326 4472231656 6287452448 8345431576 2236063823 8102349705 1202325492 9091657229 7560094945 0667062565 7599559322 3969261207 6052958379 7573761233 3733334434 1165012769 5981330518 6815878467 4065795149 9177186822 2182210057 8466785844 9125150428
• c₂= 7491478567 8165347057 6805923919 8132523114 9517795333 1303380234 8630191359 3377220267 9120503520 0828581079 9760572176 3643716306 1547963173 3492164305 5677496918 1695123135 1734977566 7480674649 6098146449 5345765057 2629887022 1782026823 0395387543 6998161750 7506358392 2916095543 1653371327 5095305807 0092337505 6329390927 5640840565 9747133440 2929925342 5387713323 4579812964 3472216780 5629173584 7466758713 8641367629 4008523417 4595173654 4531403946 2566489164 5730962534 9238796996 6572021682 9143240508 0165167883 2311019507 8924928365 4881629508 0082411902 3679255567 1790721112 8754068173 3500297479 6044431127 4423979292 4104424643 0555765775 6067201892 7355416050 0545330817 7597721482 1940648578 5264068799 7481028156 8358255479 8448963013 6685057705 4539497344 8366836427 9113749790 9341997897 4820880990 9336045050 3237656865 6853837254 8010618946 3601324833 3070589376 4586302608 3381775298 9769755202 3893590970 6363709861 4582194151 9010562739 9407197663 8132176247 0288516472 6976713342 9490793534 5436560856 8667286638 6615299306 7601982102 6951443454 5330876719 8732031149 0974800176 3327434638 5280741510 7016767691 3287272090 0683277872 5962702844 3974646241 6338486935 3007341250 2420146772 7583477572 0123157582 4873194645 0065891654 1290214646 7604729818 8384570663 8454135149 6711745539 1210912923 3682456734 2136036942 4541418694 6959974587 3559707645 4063295488 3483339469 0658661066 9147302417 5079217153 6324794350 8105898055 0762059677 0369425407 5263209776 3678407551 0743070537 8169029333 4106054393 7661443206 1789379392 6283321701 9247687509 2032618419 2241234803 9774956075 2341678107 9920194626 0686889046 4495053954 8429482734 0779079569 7084334656 0378537528 6201952616 3591899228 7409353184 6543258626 2045507842 4970093232 0346052001 8636220654 0140890529 0978522934 7609486626 5920985844 6154655782 5214743502 0390436565 9365199025 5037995194 7314711640 9309219845 3918920782 9592494136 5418866928 9911158322 1965768075 0531178989 9252316488 8010738516 6595833906 3200550943 0353418262 2657307408 0341732668 5191157116 8057926435 9468908820 9884376824 7461194301 8367069632 5479302228 0760533858 1344890608 0903228543 5431562255 8272500423 1273271483 5168895634 5569038907 9415182752 6161125146 1081740698 3247791309 4304695742 3990179806 2637605780 7447721765 7519738883 9481011840 3490378903 0802633290 4467592601 7929403667 5715711979 6582214635 8388694207 1389520634 1795142613 1333497140 1571249115 3052096827 3505388647 1226884434 1960489703 9676333044 2915143249 5171370349 0500463198 5604641301 8035583866 7319060845 2867424513 4871638420 1010102080 4257188208 4856766160 5662861404 6925298073 3876055179 5842328140 8086052831 0262278653 7116789234 0782076732 1505916244 2577423774 8965166682 2611087749 4982993260 6649043154 1293184793 9348528395 8214443058 7373367102 5631089632 8864620294 9712571935 1987285207 9186618423 3426514623 4460701435 5440863132 3333605671 7714679563 4483868067 0309029417 6424369738 9690803986 3772863359 1625171470 4342840338 1290132783 8291493892 1992015843 7788665165 9460600721 9568016193 5025325843 8781153926 9134430811 7842118899 2370677900 1404698102 0529760754 7564406042 6225092136 5591150592 2602043865 8509101677 2584252052 5708283800 5787347398 7160699127 3159072965 0143159810 1036991573 6134781624 1532467973 3504487123 8316391206 7071536090 1931913940 8213224771 9618809476 4319792103 7714911508 7852058602 0982521831 9404032938 1514429686 6038865153 6859061179 4883895729 5518306223 9388448202 0096548516 2157717463 2880560803 0050518989 2803682705 0921947411 5008000925 1761568296 2002929054 4124290906 3964935729 5375962029 6220056353 2206334629 3556678978 7483792887 7197706138 5360522301 0024571046 3801478739 6990281842 1307244927 9213725007 9676461403 1810039392 9589149795 6299389362 5936546843 2519821120 1442672886 4985520617 2332821513 2228260731 1075329613 8397238258 3655181489 1521317517 4715484672 2280877253 6127169175 4512703867 7195877686 0648550109 8601352866 3195160053 8345218287 6334672021 2587061111 3844469528 3058074587 5788877499 1341438034 1904148750 6907667121 0169159129 0799695909 6586326230 7467392630 9525596658 4300071189 6499289495 1826304333 4593939085 3309660024 0912214765 3077692014 3314966663 6288187800 3272978843 2961696043 3425107619 5843305368 9478451574 3891367825 2640384921 4222949960 7293704964 3117201652 6839292869 9855895713 9592947309 8704189108 3974337219 3027285305 9144767119 0724611742 1895992277 5205130777 8687130663 3548216637 5781561905 0471967798 3671951834 8803113577 2421012799 3408438313 6896294204 2667071569 2991452042 1170692724 5028155871 0779768857 1987704499 9557687696 7433551173 3301183235 2644895105 0496276095 8141113882 5415285644 4819195585 6819920850 4084074276 3002826467 0456288241 0366273794 2390500685 9562893349 3905705161 8398655806 3397294745 7433264974 8247543743 1363914759 3571179987 1903121378 3667523946 9081639898 4190592994 1330681862 4060438663 7710207825 4015132536 1722230932 4058939975 2606687438 0657415744 8607327234 9626394117 7316760224 6902498159 3545944165 8456331807 7477610364 2627161793 8962387378 6670685211 5628885139 4723793012 2353912347 6573837066 9261388890 9879478043 7073530645 7900352738 6679757890 9472370561 9538694061 9616501925 9365449372 3691256035 8303813510 2221964025 7385873395 7143527954 4175881330 7715634054 5993099711 2807259728 0108651996 7924368106 8420542279 2252528762 8743796025 0009843712 1235341454 8837778360 6804303316 4022704569 5003250242 2523415744 7733161388 7369120050 8830529517 6593312760 7139509312 5203355802 8220141234 9662118490 3120354592 1921680800 9081044114 3741670825 2267916425 2064678209 5568812580 0554631287 5975712929 0495502615 1981564178 7570861954 2751468854 6804805504 9833196809 5914853257 6482795048 5251715345 2686354969 5226302715 5999113630 9214139650 3836271577 0542918467 0304388642 0844025900 4681720825 2971769979 9383542758 1602110110 7040784170 4540312187 3511894909 4063209177 3659106202 2048740682 9701782062 2641557931 8433777355 2750958456 8911851829 9459150972 9948074011 3638241891 8575511011 4584290858 1585515180 4567074845 7964996289 5967267846 6804922239 2186479413 9436378076 0627056119 1391225709 6906276445 3691024353 8452453912 0879381327 8590159700 4709667825 1937340443 6628649843 9495294264 2397306867 2353833660 1751523853 1096801941 3437299382 8973021434 6127362281 6290108945 7402636845 2854455262 6867775226 7071852657 4006283662 5900469446 4178695277 3733778573 7091897492 4788874019 1952718787 3187955467 1279993813 3322252008 3575869007 0028105672 4865694828 7383076980 4542338804 5677300679 8936787819 6832777450 8391675430 8624395453 0148130519 5110210124 8301460517 5708367355 0454127827 3867030460 6003447663 6503410776 2858531114 4303333456 4324325623 9100704204 6503268015 1807937778 0247713239 7461403367 9792504646 4229053351 0406566215 0476223979 1409013979 2909234881 1529454102 7448235492 0880627627 2052334217 3505774671 3238246745 4660504940 3048941609 5773377257 1261548634 9749719410 1231998858 7927291340 5242117082 8950937108 6948397373 4008834421 9527144539 0464285526 3855740627 6330486039 1275879996 3231168483 6614979819 6571817932 2569655989 3954101438 8535127957 3472225221 0743020187 3309370591 4464182622 0463798466 6036726281 4292415386 9245605854 4098277231 9961022188 3077885602 2326402845 2531656196 6718616788 5670601023 3206715287 6125068324 8287347339 1312325033 7926886129 4496753572 7724694441 7765412492 4301188425 1311887053 1672643155 4077227348 9385779839 2546782184 4818893680 3014176277 1188918189 4355420349 7603573209 6794993776 0510789446 0757480633 4243752315 1276197800 9454675624 8476762827 4764353105 9748101401 8555715270 6219009626 5302881792 4429064342 4290725936 3588935290 7194822299 9451854078 9416112654 3249206940 1344299913 6266009949 4163539023 0120411456 1172214455 8014687926 8544961249 5164106024 4646234029 3246861928 6663144825 9874956773 0517659302 6253845027 1809533705 2909096137 7272880028 7877258268 1418075330 8238184865 5320774039 9286403277 6694608735 1908332879 1517830697 4407924190 4877450439 6616964693 5310300148 6363243098 5923879298 9152610237 4558899427 4463337901 1021311403 8316895939 7476034593 3473211869 6528694912 3912128029 2580716234 9895510646 0191133239 0831294072 9262323021 3268306239 6005422869 1330517619 8137264981 2303500055 4695055810 1424787300 4177057499 1059974061 4395889913 1939306511 1292351109 9858924874 5454637013 9731867084 1672728131 7802354664 9323186465 0232013850 4121636700 2782385760 3701626905 2375809045 0867017194 7347011936 5418976659 9196706207 7364691451 8927330904 9733552579 7991119542 4753457546 5887803389 0922554938 2287016490 4106852432 1164902024 8173450772 6595911519 9187099209 3563643732 2697732877 3155711583 0627549402 4454513877 3992731896 6070237537 6276446373 6171342315 3743980841 5108743650 7761414509 0706015647 5211635247 4011396855 2703230645 1278354929 1798095153 5384706350 0645748653 2906135043 1883260125 8975699826 4454376448 3294237533 0556596664 0742183145 9154653760 3106029147 9131731061 4826474833 2860822094 5630083055 5603162710 3398128986 8860410903 9438650607 1006811229 8581691580 6814249340 0993274220 8913435371 3660855739 0428391057 4491474145 2254828638 7638349600 1019945710 8044597568 7544114703 4048629367 3716598103 1692254525 0943049974 7391937646 4814650114 7263179642 0619818741 2493890433 5214851951 5953939189 4008383129 3035926973 6198478927 0739060490 9879964291 5519866747 3638603803 5046775211 8259334087 4292847007 3218500318 3221423058 6853423289 5427484565 1997622832 4896966140 1246342465 2102888509 8858877346 3323077971 7105964780 0250444457 6707167815 3320493007 5496390852 9764490403 4275905590 4641134015 8008611569 5527599959 4545275497 9912892433 4019169783 3048514648 7842482182 5544308601 9851955016 5287303691 8484482871 7399959333 7688448342 7407506228 7235301751 2558863885 8594131479 7850512921 9217901154 4215962931 2032538423 9450388582 4216110856 9276591986 0372963880 2408199320 3939093359 9246996237 8359888051 0268296964 3471782829 4452533066 2705997961 2483525590 5175854601 4932476966 2932941944 1703574785 8037001301 7958866896 0210354945 5585208670 6594900849 7281169555 8129503594 7380286518 4524264077 1190392152 8803818576 1181115122 8805230677 1139795566 5422520778 8001457157 8390708564 3510990209 8033136023 1444952793 0964341268 3888294558 2296856293 1963804847 6090210913 3624049560 8599810427 4676463219 6886775820 1374051542 2349976787 8917776266 4336124804 8036934725 5260370619 8349486036 0668428992 2450282650 5849650048 7003676347 6480344636 7631686834 9447584716

Brillhart, Lehmer and Selfridge

Brillhart, Lehmer and Selfridge's Theorem shows that N is prime if and only if c₁²-4·c₂ is not a square (given 2F³ > N).

Here, c₁²-4·c₂ is ≡ 32 (mod 64) and therefore cannot be a square and N is prime.