Primality Certificate for (19026^4051-1)/19025

This certificate uses a theorem of Konyagin and Pomerance to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 31.003750% factorization of N-1:

We need the product F of all the prime factors from this partial factorization:

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 31.003750%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 3 suffices.

Given such a witness, Pocklington's Theorem shows that every prime factor of N ≡ 1 (mod F). As F⁴>N, N can have no more than three prime factors.

Express N in base F

Let N = c₃·F³ + c₂·F² + c₁·F + 1. Let c₄ = c₃·F+c₂.

• c₁= 526 6944500611 5874128346 0949391210 1291847617 9605967521 6068163055 8116360798 7831331891 9990564650 2474234633 6393419463 9365524411 6865561669 8494204836 6274049246 0361495188 5653947075 1367412891 8417178307 1337901177 2372084600 8650463914 6647065301 3434538029 7284677121 8812355281 1127505254 5586181515 3588255811 2743684775 2562915514 4638216402 7696558591 0952433553 4218491561 7285383004 1112849323 6264228685 7318204798 3047341307 4878647966 9423056006 1511804848 4934868387 0393698497 1475510672 9799685151 8602239942 1758694192 8479173016 4133595842 8396929433 7184585954 0831694867 4608321150 0117866482 7201527972 4497568272 6098397110 7698186252 8615393702 5096974361 5840950388 6965469122 7055778761 6967091517 5572327797 2221411530 6705098736 9752964591 7771013142 6511069343 2353963701 3707259028 6353349795 0134139279 2722276312 6156148594 7746071935 1167474796 0062713857 6008313504 6482934487 7326879856 5388143175 5032625662 4171589263 4750351019 2596024570 0012146708 3044659439 7401522780 4910412057 6999833163 6920825781 7396553062 8701693379 9826409398 0561043120 0720434872 8046341291 8132096028 8683394345 9118419317 8922842602 1037525314 2087790732 0588520839 6344035095 9685763166 3773361523 9228620493 1065442301 8514996474 8616389812 9389592537 8025472509 5145712075 7667267436 4821031651 9172630821 4113685348 5919290701 0063346560 8131729146 3318155675 8691842354 3845898338 7719091758 0695783194 2949550772 4665694099 2404774359 9097628768 1629217009 1308947084 9918239402 7815549305 9669721070 3764729325 7352131504 3096499466 3309958781 2225698180 1953554427 0759053489 5126215520 8499556749 8868583267 1800145271 5796654624 7503137240 8762026409 4186456627 4565266653 3292439257 6511163981 5817644894 1357889800 7265511105 3584444517 3783256235 8928837393 3182760795 3122576315 8180810458 3032076213 3075317220 6172695446 2537952044 5305824500 9985189799 2802938695 8913890934 5231812800 7135322985 0500892466 6575845893 7016245129 8596720420 2336359344 2428876117 5186038837 6383289981 6484021640 6050233893 3070514528 9123676472 4658168521 2490190447 6449681195 3849379066 1991330574 3869625823 5046208126 5285338832 4237458774 3649522675 2050894634 4042893281 7775461964 5999740483 1509578426 3584350097 0863579315 8667186632 3787375104 4640847481 0723387641 4636981521 6197203842 7661201078 5481114330 4448693380 4740823558 2529916637 5603461390 1020499398 2115774653 6218653586 4713877916 3566841072 6775028793 9754734484 0502909115 1374052765 1922411234 5453934428 0902010743 3747400176 7343837547 0381942158 4211407786 3646038082 9372824196 6589554689 3914068158 4402504963 7152449814 7955497173 3432709368 8582537843 5690356713 3340414181 6632518648 0338789176 7818575455 3332942362 0774541311 9754040618 2723520891 2821599318 3711177670 9662182184 6077853044 5515630352 9001960017 5472395993 7643637843 7371342850 5725638447 9454675925 1121466204 8643797053 0529349577 6303434199 5764875219 4901846153 2500894671 3849841336 9416085766 0747332775 7223018372 2849541554 4791780314 5874721886 2573944714 8628962685 0320325588 9364935844 4184675381 3761530464 1109512633 7039307861 4018010664 5771689549 7141104801 5015990636 1933645365 1398567768 1371411027 3446382441 4792379312 3275468836 8540342503 5183043037 0782866190 3178612588 0116875909 4805453638 0677193842 2526889775 2210144638 0813058444 9085194766 0608912521 0422334400 9928802062 6813483669 8198126576 8114905458 2076389633 9544201804 5505911102 5316220246 5446417451 3638421748 9172588492 7331266893 7812668118 6507214873 0448567017 0791407269 1453806690 9153060051 4169367256 6018707571 2642430006 1336411239 2155047727 9304211607 6160885036 2674308554 8393258203 3226446103 7187817538 8490991051 5464829235 8055627231 9814543588 9981788401 8214110446 2893370075 5296130136 3138542701 4559796505 6891679353 4714628728 2683302355 4606851940 9747067535 8871941228 6131370195 5857385191 6579938861 1203950219 4378842646 8862940444 7419904767 7299524501 3823371616 3189664086 2377923539 1586255635 5073582331 6598379223 2361042665 0614454997 2856261018 2992747372 6185698972 2126903911 4258988427 5360913658 2899949626 7699074498 3431799187 1159554238 8939899769 3359056646 5385032205 2744802703 2581903036 3123703050 3340214438 1200639743 7153103240 4425022126 3683862288 4589837701 0386083317 4392585025 8014925661 8732576691 2483024700 7275317710 4176841572 1497440605 0116340301 4296360587 4781943953 4244410955 1528552879 7335346996 9483387323 1712476740 3615361483 5202962617 3961525971 9633915881 9047877037 1990704796 0598679989 4266900932 0764358126 2367227120 1201432522 3491634486 7953436742 9093235897 2832402596 5448855012 6283628043 9666459356 8554374813 5618070161 0426980904 8297525298 1028867395 4812876154 3969532168 4353584262 5692058570 5522279024 3561184615 0810009081 1769308889 5549260543 6187265566 0662540066 6077097012 2792431752 6284620585 1762199208 2329629773 9939626694 9914459276 7901605602 0209512990 0287836679 9741107388 0244272749 3377779619 4649111247 6906931933 2945910043 2731268136 7876147433 8029521363 2820126937 3055778791 9174748602 3297047964 1033309215 1323322022 0378467263 3516828172 4987854283 1883794680 1409070734 4984227193 0245023231 7633465953 0410293084 8464056858 9495559279 2181798227 2138217044 0349247336 8241217887 9434029986 4632776672 5328895574 4103944879 1822939185 6005332396 3049101265 5786784410 3970190555 0793254962 0778648782 1445934255 9243906647 1988689901 4187526613 4423473241 2095101444 7189297274 6065309569 0329648706 1118003765 0699875842 3979781291 0055725984 9286404831 3036883282 1543518013 1877071535 8874878930 4337062748 9189834868 4020921419 5655203576 8645891950 9385243633 0855383377 6983616661 2584982304 4681715098 2089440020 9098360933 1884219021 0384675128 7041595965 5224678227 3281211585 2796299860 4251752705 4453115422 8603826358 4749132325 8831594991 3584845448 2690756208 3577523546 6332696521 4620837169
• c₂= 1905 5430800992 6619828754 5384156928 5127106073 1513471802 5457547218 7318135070 7797729536 8632745982 4188826743 7690388591 7407887338 3217173107 3785294260 8493199477 2339671609 5480423850 8571916171 8848172421 2094783667 0740338207 3036241331 5221258069 0562954423 8578412188 5966761277 5769122779 0770252024 4181033303 8048127356 8022776288 2900291889 3988397880 2570492140 7394315013 0534147339 3077544685 6035238427 8885357535 9066213689 5521739332 5764365526 6212190582 1669400988 9316395236 8231086795 9498570398 2211694468 2212672183 3202034214 3476904963 1233418753 2786343325 3827854288 7115109388 5287284657 8995750132 8104954610 5047564969 5372418061 8390971731 0558895607 9258769513 1766163538 1297863308 3075064548 9349283612 1304202593 5018272877 8881678418 9273357485 6153260143 8607992455 7066694883 0679063909 3586653973 6761171286 4677362848 2185510586 2323334286 9139732899 9841718921 0380207117 9326484040 9729010661 3020119356 1589376224 9978801778 5810699853 5254534365 6274417365 6435357922 7575753451 7502647921 1207718792 3550904443 2878443809 6940006610 9380269588 4254139579 2455253236 4789373528 1684839668 9365693776 2744191495 4213446545 4245038714 5864731787 7411298705 9581777844 4394982171 6524540439 0764395836 7545365169 5372510926 1088868705 5843627741 6695610610 3324449645 2778182844 1722456984 6091436163 3013462402 3366887902 1819144132 8611600199 1332915586 7030723380 7136494659 9427395101 4430848342 3893285620 1818505488 8937711756 8369513212 3099745106 0808753653 0411304240 7643756872 8139407846 5266809591 6097889351 8167724141 6457072740 2490829146 0728890332 1526051061 5672823091 9788601575 7297895763 8993852609 7959890518 3069420038 0723030198 6245413894 6563608266 0614221116 4472496564 7906355144 1491303755 0989131071 1543394628 4467184221 1277680259 2681473366 3628730570 4151217274 5284959613 4981165649 0898226598 1757242440 3176761298 5279666999 5913483217 4134892307 7839050774 5690634722 9134916405 4044975123 0149187317 7523043478 2104467649 6050749002 5563704216 4596218126 1158063907 6671578588 4741841958 7285234286 5752791100 6525263967 4374539405 8881997585 8004868509 4963603257 0179616268 7248512608 9063144248 0829760197 5467134971 3797662598 9101082389 6911794118 6056053333 6869962708 9995261964 3446499049 0374687524 9564695280 8930487462 4372971515 4337468983 1644177212 3129658221 5405929236 5196952544 7084481610 9094814037 4781305767 9124894458 0787593164 2074230729 1269260714 8639095682 5689729762 1669459580 8944250828 2204735364 3207699531 4504673913 8029135103 6604932038 0588187102 2628246296 7688520143 9656917383 7834938487 7354306425 8327403389 6765582094 9715550775 5402053870 4068778082 1286337430 8177679790 5197292941 0110315388 3040989558 2740792900 0541666201 0079398292 7093588355 1562381891 9622121873 7058070477 5909126613 5645171443 4155980445 1501679892 7444434258 4853316463 1871622683 6123363053 2871864194 7146912614 4228383911 9363095272 8062311039 4335346517 2768337844 3472878910 8370757015 5100514241 5648929558 6686670289 1468547296 2277690045 8649896799 8526160941 5231026197 4903608279 6433728718 2932868770 4103324978 7799498679 0500774146 8736069554 0955144093 0288247033 4781958142 5467158769 5350705988 8112539313 1309900054 2096605271 6762679519 2287632375 5201245490 1807517958 1327645786 1365264733 1821050738 1455995283 2700605965 1033773374 1593583935 8463314480 8529786838 0377807217 1319564746 8237885662 6783726345 4864035345 5465753540 0672351719 6737445870 4522084502 7775397353 6026683658 4987012637 4185278071 1622616023 2071698132 3680997312 9993963695 0719466196 2161785810 9334711816 4973620818 6192322122 0872988329 0466925119 8694479030 3676145222 7978345135 9627411831 0451853171 1335678425 2494624744 9034003517 8777284029 3989328219 8735942963 3604191124 6403385633 5281672734 5815408901 2506359832 5899905000 3934429368 2881759008 3446918450 5585455920 6197425035 3375698767 7393156187 1079932797 5759364138 9746513308 2189089679 5937231789 6988837267 2277260990 1973225509 8551868383 2788704653 8539544487 2427636016 4931619091 9346321757 3726109484 3297544304 3205546778 2537620541 8279946820 5531397416 1343305148 1834512378 7792592527 5665086765 0048961300 4578239380 3565663395 7812728618 0068026936 9931097980 2060272953 8390835429 2835276270 6430501954 6740826118 7155347726 2982301749 1773568999 8719821078 4014422290 2590612570 4375061328 9815239885 6621692455 2331057332 2496448104 4968169411 2418754264 8526777057 8964305906 3714508255 8789266673 1352059952 7379996490 2276641658 1657935335 5521557313 1621066476 7184633325 1026498267 4872670909 8683255035 9339172081 1792661889 6515129336 5285320480 5567187660 8865197819 2695190143 9679597570 4394884519 2584723528 6681344070 5014554691 7767125605 6532141907 2463639995 4169752446 8794741754 7404838038 9371972468 6334593484 0218467274 7020436156 3091699295 6601124861 4826892274 0168426778 7234962948 2839754326 0961748579 5979342329 1944277011 2980814260 4321066593 7830343081 3817076379 9820098927 7567809473 0909625648 7400711494 9322138382 2568098230 7000564258 1858305258 2548204444 5089681460 2235643473 6615202206 4120969059 8205057947 9650934651 7032125899 9600405692 0440750646 1921742039 4426539238 0940247250 0313783791 7482322668 7752976192 5699127788 7473176041 5129220892 2162336491 0530725884 1915168190 1853430539 4266201394 2032877108 4227875542 9510211609 2646314764 7879738357 7197031310 1141837365 1221171934 0474555586 5218783947 5885737314 1618127183 8114285547 1738954393 9888860492 1906675148 5433319490 0047114765 5237756141 2958682181 9436572952 5208336154 4332082909 2439759234 1014205070 5335918199 7361672139 0151784951 4061974651 4889335356 0438996076 1193473315 6504453020 3293295902 7253987937 8802240590 0530849058 9073451746 8698614126 5514187891 2059450766 9112724072 6323695430 2264366126 4479951707 3840935548 7277693148 2353014047 6042897131 9804670990 8759678409 7709144288
• c₃= 17 5970033882 5669513374 3947820220 4160370045 5496763853 8220221548 3109070192 4047457390 8793550650 6425823401 2174277350 1219265327 1642790250 2620875832 9655159233 2857772655 2414490394 9585923799 0662054914 1637173069 9625514519 2190181070 1724632932 4072772798 3015941697 0726985881 4098108271 4299627608 8121228870 7894546381 3235418434 2916335733 7136305598 7420171919 1824809166 6106515559 7925284226 8793030930 4282611395 4568899099 1862685332 9367912363 8296448954 2815736592 1773764133 5921360546 0158025840 2304594294 1075851421 3651222665 1726751422 6204208869 1963021205 2805864172 4860960072 8259238119 4859909994 6611313268 7997348431 0610957136 2378251935 1847298530 8115510017 5134847576 6094291240 1090215264 6441679808 5803469011 6305932222 9327811485 2448155982 4521582684 8729332158 9087588045 5830108359 3470624261 7133591777 5289626195 5533644300 8917752882 1392920891 2143496746 2811376875 9393528802 4145885368 0288175075 2102362989 5204481144 5158852849 9685383067 5948299284 9820233129 3300498974 3194564667 9499921601 4695234191 8483384886 6736888063 6359864789 7834222015 0314655519 2816602610 5617385703 9974418050 6539185640 5334089910 5330947932 3268519345 1488669267 3828351319 5380651006 8543509346 1903421184 7592092071 5754722215 2646300988 8645215855 1316059190 4331797608 5658329393 6771784488
• c₄= 41312 5030205853 8735067264 8753649847 1932789451 0482780921 4015054830 0626631101 4948451250 1930981887 0101944399 7488089376 1660392509 2234280055 2326035668 0696129273 8390347285 7023298504 3289532420 8488844404 5708292427 7744688419 7604744662 9306781281 8506970035 0318467133 5600862846 6257174044 1394667873 5275606826 0981123026 2334233439 0051582893 9154369342 6600816572 8040321664 6424215993 0256294678 3447973668 7617053210 6206556831 0443211444 4082855249 5354659538 7890663644 8705411895 6542942857 3281214744 1619614912 1147310192 6238730950 0570674005 1577644320 0853057665 8308042493 6316554730 9339468426 3587273256 5934430344 0728978367 0979497044 6707546851 3796820968 5162616681 7303124521 3046957202 5483803295 3018395870 6325215122 0969250899 8054257827 1610982069 3340009146 0913624317 4108113500 4770351637 3249706793 1550373575 5661398431 2766179768 1179101417 7919235062 0900252536 5094743577 8254354059 9753304623 3924033171 4786430724 4598714135 9537560202 1786680802 4104897403 3232062847 3735082102 9304723861 7982310778 2370065318 3121313085 0719856983 8493273564 2327546775 7830887701 9288433461 2750262468 9215299651 7359308268 4309961207 1033180720 6783481190 9976206259 8933932152 9819267736 3304222303 3495479664 2364675141 7382507208 5856259586 3790023497 5992321842 6106966061 6762440605 4954593746 5109171188 3013927058 9001686434 3757939873 2052374674 4797558044 2989767421 4805771852 6562185499 5557960059 2369838133 1421060749 2160477091 0714372398 0667494007 7142431541 1718500950 3253641226 2618389087 0647154145 4680317015 7303503807 7172667758 9063452344 2899077578 2383605381 7295946559 0193337068 5590118178 1149560213 9127698030 0966168793 5945674171 4463280770 6747113305 7341342883 6768214157 6428611336 8442686140 0743462263 2434099620 5220656487 5983039084 8068304917 6826488990 5134900961 5600486075 3430266875 6055264367 0021133694 7244511044 2104476641 9560631392 0475404204 3402752993 0046299680 0550698463 8364480247 2007043757 0868954680 7376430990 5653581675 4463197504 1851056245 9596757495 2526654351 4004095990 8489900452 6069005977 5727523383 5377713345 5501349710 8240204282 6016909668 3789626194 6643809470 4416066596 8658128874 2074993091 3923411078 2745151122 7118214798 2719424870 5831479849 8270302533 9372765596 7613841103 6454744485 8931232898 7150563598 3972998501 5939433873 3583441465 2876973027 4379803073 8743950739 8687685237 9640534370 0064991474 4590182007 5875782140 1239716685 8997434814 9670466833 7207718025 4194621101 9723550341 9981333274 5969091336 3530598935 9644302706 1662915791 8195103289 0015900014 3442368130 3307266474 8082749662 1190702167 5623721886 9297760365 6597207456 4633160033 2607681655 3133201991 8278670494 6952939080 2751225961 1369478060 6618117570 3507356253 9392841781 1660922699 2945087364 3896648541 1615414957 3279243936 6293943902 6618720974 9856902430 2818440543 8798519156 6657268678 5375000804 8013165173 2263228272 9793182838 5964483848 1653446201 4620877414 6798235148 0576818375 4978820199 9078913013 1946132386 5558976946 5043537098 7555410336 1615654565 0454660395 3094232647 2072430125 5967294083 5701622987 4921936176 4355107707 2233305815 4847010539 3153033646 3359894402 7776420606 2192847169 8271300045 0828801723 6003425249 3832897380 2750893060 9272211345 7739798691 2542547138 1464600736 7626367560 9158497893 4148403208 3571892576 7531137171 7845952667 5018461050 9056160341 5094125289 7583879960 7771862656 9414701558 1628832585 1440722215 4103992082 9241455808 8436231948 8783536225 0204028575 7752435718 3641804048 6815089769 8765005891 7303255110 1937243010 4330588512 7197468152 2309223558 1572813940 4728121123 9595573112 2549061888 7406369179 8677398905 4092265869 5175665640 5199186508 2467443090 9719686690 8579308111 8491464583 6923888937 2449598422 6952332833 0964494058 6240748293 4254779914 5011488753 2941075492 4414583563 4199629778 6419518882 1618316162 1961682501 5647297098 5828872450 2371337694 6131215037 6084539531 3159566916 2498386606 0713329674 9843588660 3302376199 0066033146 9124360246 9413612009 1510442499 5063758623 7745678433 8271967418 6991467298 7697215184 5171771279 1391862189 8273177374 3378910723 2660192130 6311694939 5231608190 3364359664 0022215038 4312305721 5144500650 0470793157 6475357912 5260858243 6169854600 9696803003 0485880197 7703575494 6738284830 0270572079 7370734625 7947588107 3618436801 2292977869 4007422691 5498189303 6302913995 6197883640 9856766943 3163975657 6147988053 5542211226 7313919531 4542479811 3732345722 7383411189 1611902237 7591347332 5283371644 4863964503 8436355602 4571172938 2747862980 6136264883 3379539516 7446866472 7207850240 9554876290 8732752329 3160387054 3198338257 8718832549 9231784855 0035650548 9020659067 7099572723 2259900445 9859433575 3285899329 3388957763 5683369307 5079932534 3494085883 4918617493 8023326409 2127055158 5959211505 1085881364 8182411212 7047540349 1877627187 5382713539 3897437059 9855664646 8348801138 7101224563 9799745482 7431048746 8958280413 5324067602 3085868589 8691816525 5886477979 3656840031 4754947100 1601304832 8750571051 0204371918 9949310738 4211295762 7906017552 9671612280 0423544736 6006513427 8084057656 8861628500 5880301493 2343566433 1103492444 8896976024 6157106543 3444992159 0829197667 8306488215 9374722891 4966369989 1835552485 5270963164 9388145832 6800561958 2363875385 3797189546 0441070559 5535078806 9323378580 4592236516 3914253725 5699608781 8657540071 9551240713 2748710040 7831379650 2846576713 8986624874 5633571392 6911604310 1462162066 1951924880 4003453727 2183779477 1238457894 5875252907 6196649812 6408927576 0523721937 2015132600 2652545538 0846999121 0993097959 2628502330 2298386283 2615408564 8312045590 7921808787 8825596928 6760451060 8500680641 3234050928 0281805831 5670839564 1205730624 5947190771 8691394167 0712643568 0530259932 0133106744 0743435916 9753429826 4263245394 1584874407 9010286646 4332269251 1367777244 4671837734 1951195172 8278113693 4859488474 2420447920 2931370299 7625994001 9223562514 9867971411 4733751011 8490505140 5274149640 0322148975 4499593244 0688460583 1125996033 8152954649 5867866137 8495833820 0742502517 5437143163 4749650958 9813926468 2285646949 7150349326 7241481203 2620601655 2640344701 9749108854 6938145900 8543541757 4737039338 8990206214 5767668541 7368127163 3516936810 5951657287 5150499275 3363332859 8209777266 6036934876 3105423408 4209539570 0527047722 8986189618 2354002495 1592540612 3781686020 7837899610 2806071950 2688661123 1408536856 4834591501 4228272271 0697243470 2041947417 0324691736 3465496760 9825412859 8131822341 2508222888 9225968247 3141898481 1520324789 8294676188 9392510114 5529755878 6260378739 5913136921 7517877907 0993808360 1221203647 5107773170 0185775495 3506875104 2927379760 9506179532 0165234578 7179114398 5428900224 3157083660 4684559274 1517227492 2953357546 5283311110 9306239975 9033182467 1473867276 3525246869 4509812056 3309389764 7719134753 3233685112 1914682828 2614499110 4888821276 0178093499 3615834905 2191794875 1745311985 1304000881 4167991846 7236641579 0466947130 1186966523 0961187924 8702244219 5871456925 0482846895 9015115369 7943699092 6437842241 2005990866 1966150546 6180229007 8387346138 0679222519 1550014710 4766177343 1413712139 3723599888

Square Checks

For t = 0 to 5, we prove that Q(t) = (c₁+t·F)²+4·t-4·c₄ is not a perfect square. This is done by checking whether Q(t) is a quadratic residue modulo a variety of bases. If it happens to be a QR in all of the bases, we calculate s = floor(sqrt(Q(t))) and show that s² < Q(t).

• Q(0) is not a perfect square:
  s = +526 6944500611 5874128346 0949391210 1291847617 9605967521 6068163055 8116360798 7831331891 9990564650 2474234633 6393419463 9365524411 6865561669 8494204836 6274049246 0361495188 5653947075 1367412891 8417178307 1337901177 2372084600 8650463914 6647065301 3434538029 7284677121 8812355281 1127505254 5586181515 3588255811 2743684775 2562915514 4638216402 7696558591 0952433553 4218491561 7285383004 1112849323 6264228685 7318204798 3047341307 4878647966 9423056006 1511804848 4934868387 0393698497 1475510672 9799685151 8602239942 1758694192 8479173016 4133595842 8396929433 7184585954 0831694867 4608321150 0117866482 7201527972 4497568272 6098397110 7698186252 8615393702 5096974361 5840950388 6965469122 7055778761 6967091517 5572327797 2221411530 6705098736 9752964591 7771013142 6511069343 2353963701 3707259028 6353349795 0134139279 2722276312 6156148594 7746071935 1167474796 0062713857 6008313504 6482934487 7326879856 5388143175 5032625662 4171589263 4750351019 2596024570 0012146708 3044659439 7401522780 4910412057 6999833163 6920825781 7396553062 8701693379 9826409398 0561043120 0720434872 8046341291 8132096028 8683394345 9118419317 8922842602 1037525314 2087790732 0588520839 6344035095 9685763166 3773361523 9228620493 1065442301 8514996474 8616389812 9389592537 8025472509 5145712075 7667267436 4821031651 9172630821 4113685348 5919290701 0063346560 8131729146 3318155675 8691842354 3845898338 7719091758 0695783194 2949550772 4665694099 2404774359 9097628768 1629217009 1308947084 9918239402 7815549305 9669721070 3764729325 7352131504 3096499466 3309958781 2225698180 1953554427 0759053489 5126215520 8499556749 8868583267 1800145271 5796654624 7503137240 8762026409 4186456627 4565266653 3292439257 6511163981 5817644894 1357889800 7265511105 3584444517 3783256235 8928837393 3182760795 3122576315 8180810458 3032076213 3075317220 6172695446 2537952044 5305824500 9985189799 2802938695 8913890934 5231812800 7135322985 0500892466 6575845893 7016245129 8596720420 2336359344 2428876117 5186038837 6383289981 6484021640 6050233893 3070514528 9123676472 4658168521 2490190447 6449681195 3849379066 1991330574 3869625823 5046208126 5285338832 4237458774 3649522675 2050894634 4042893281 7775461964 5999740483 1509578426 3584350097 0863579315 8667186632 3787375104 4640847481 0723387641 4636981521 6197203842 7661201078 5481114330 4448693380 4740823558 2529916637 5603461390 1020499398 2115774653 6218653586 4713877916 3566841072 6775028793 9754734484 0502909115 1374052765 1922411234 5453934428 0902010743 3747400176 7343837547 0381942158 4211407786 3646038082 9372824196 6589554689 3914068158 4402504963 7152449814 7955497173 3432709368 8582537843 5690356713 3340414181 6632518648 0338789176 7818575455 3332942362 0774541311 9754040618 2723520891 2821599318 3711177670 9662182184 6077853044 5515630352 9001960017 5472395993 7643637843 7371342850 5725638447 9454675925 1121466204 8643797053 0529349577 6303434199 5764875219 4901846153 2500894671 3849841336 9416085766 0747332775 7223018372 2849541554 4791780314 5874721886 2573944714 8628962685 0320325588 9364935844 4184675381 3761530464 1109512633 7039307861 4018010664 5771689549 7141104801 5015990636 1933645365 1398567768 1371411027 3446382441 4792379312 3275468836 8540342503 5183043037 0782866190 3178612588 0116875909 4805453638 0677193842 2526889775 2210144638 0813058444 9085194766 0608912521 0422334400 9928802062 6813483669 8198126576 8114905458 2076389633 9544201804 5505911102 5316220246 5446417451 3638421748 9172588492 7331266893 7812668118 6507214873 0448567017 0791407269 1453806690 9153060051 4169367256 6018707571 2642430006 1336411239 2155047727 9304211607 6160885036 2674308554 8393258203 3226446103 7187817538 8490991051 5464829235 8055627231 9814543588 9981788401 8214110446 2893370075 5296130136 3138542701 4559796505 6891679353 4714628728 2683302355 4606851940 9747067535 8871941228 6131370195 5857385191 6579938861 1203950219 4378842646 8862940444 7419904767 7299524501 3823371616 3189664086 2377923539 1586255635 5073582331 6598379223 2361042665 0614454997 2856261018 2992747372 6185698972 2126903911 4258988427 5360913658 2899949626 7699074498 3431799187 1159554238 8939899769 3359056646 5385032205 2744802703 2581903036 3123703050 3340214438 1200639743 7153103240 4425022126 3683862288 4589837701 0386083317 4392585025 8014925661 8732576691 2483024700 7275317710 4176841572 1497440605 0116340301 4296360587 4781943953 4244410955 1528552879 7335346996 9483387323 1712476740 3615361483 5202962617 3961525971 9633915881 9047877037 1990704796 0598679989 4266900932 0764358126 2367226963 2454960415 4849514059 5309578622 9903262080 7704358072 3720787635 8385761132 7602609896 1908323656 2028435515 6186509754 6217732338 5189836320 8641103400 9592674005 3748055907 4850051631 2118331072 6951427502 9603775565 3952511333 3708245452 2041309949 9801976369 0974159788 7130084684 9623427974 1803989101 2178488494 8654599704 8711274419 7693802960 8858668547 4142360584 3463131341 4776915698 1315303140 4684825597 9608364445 1484501021 7291555863 7068381217 0213053686 8302678648 8597083386 7693812303 9793289592 5410002018 4056196847 6283238653 7146644383 6386682958 8054236159 1337234407 4548772673 2626498424 7748883349 5134100617 5485589199 6269042700 2329932731 2523723168 1392554517 6678969926 2762961798 1146911128 0327490372 3348907524 1426517755 7280276317 6873456036 8766676958 4761539656 0429344516 4057567808 5069217766 8210041968 8179108552 5167102619 9261840152 9834892429 7157385236 7277551747 6680225079 4510222777 3859637703 6262951813 0926263965 1974253812 6573576498 1650296653 1936704952 7702820215 1597158082 9888076321 8911195952 1247467878 4528316013 9659777667 0851552134 2164074637 8772121906 2993227401 9451352067 9357611397 3640274577 0196166561 4766536861 6692840389 0384527259 1745785677 3062213492 2808200928 0297357940 9968486475 5120547418 6388996558 9302829183 4956811693 7419340224 9977323753
  Q(0)= +277407 0437252264 3920970990 9307539818 3060064908 7786657598 2417315826 1195906682 4787667321 1757287205 7809209766 6289945355 6704032109 8703168422 0807027628 6626402116 9883003128 9288293014 5168815832 4773351140 1194859503 7621904937 7776301475 1155978496 4712077500 3143285283 0877553469 6698744238 2206866849 9697329152 8146346770 5957499308 4252724619 6401957753 8715291306 8939945655 2682248235 3141675732 4761310452 0491618793 2196461993 1565213894 0381547617 2557168006 4330539473 5742275698 9789746915 4086746760 8681408476 1169768970 0250888143 3555904034 2397734515 6403891352 5202475087 4835921729 9559547971 5185065680 7617386217 2400657404 8685473337 2694596981 3990870869 7594500693 7602053461 5525835536 5388689928 9032653033 6934647529 8245736470 7623510900 4093381405 6208785881 3744067153 4795453132 5633153285 0567281556 9602983175 4694483272 6647414704 8807759686 6787265545 3983647194 4654569567 3535757962 4790616898 2021778838 2009309703 5381251330 0114427950 7069321202 8647935459 0756394947 3778951848 3315038150 7609288041 9504907662 3348809030 5177744119 5543159498 1900856137 3376890414 4137226725 8855094621 1156299187 1096568882 1456466739 2047036659 2221108371 7051914505 9668685216 6128755939 8326910101 1585200982 8949134814 2763134771 7353838347 5612877238 8432112596 6285162152 6796371408 2741381200 5632839436 7156724786 0170296763 1672780807 1940184765 9944668002 3202320392 6843081901 3680841689 2627390220 3603096706 3664162417 1499938676 6379878952 5358314543 8946791685 8704789480 5323754471 7061253757 6685148383 5693614041 6236200620 1825674301 4984890393 9773939287 9348304383 9967945260 2690297724 3881610890 8948323711 4255329167 7380343258 6041962579 8903997547 0890925633 5063710028 5267648753 7654664769 7567953484 0216789916 5921796328 6135991344 5984656193 6618561868 5633143304 0523364491 6563330900 4928661622 9741100203 0285912025 0644326705 1611859393 1458280339 8423904902 9939836788 5157770515 4461841852 8573665832 9184770458 8320926018 3920122700 3777393420 0512496059 8951477580 2638187127 3508478539 9422575043 2930434126 6963187407 9888356510 8644132095 0657123419 5894736483 1280683061 6911176160 0973235763 3189479390 5742755304 0875210932 1090765562 4758873026 9956555169 3088381776 3529403388 5265608588 8113351602 7435897562 5866283399 9458616976 5645336076 6668515116 5745372250 1968622457 9135869559 6423889453 1819743027 8911706301 4249378254 7098023608 3353902629 7466802254 9661281336 9068018251 1764033973 8059149076 1635391267 7789536449 2040889432 3706324265 3764758188 4837063944 2412017581 0634132358 9378206020 2455190940 7722553866 8630335131 5964848447 8339537471 6099496540 6170825247 2784914253 2754640518 6800429694 9971980528 3545047794 3935800797 1995751140 5975531520 2576958781 5374991366 8283830538 2898812398 9330340363 9092591268 6935296427 9463034918 7737775384 1371361469 6303621181 0055063896 2316665265 9850727638 6009108371 6018969009 6632479073 0314081625 9410740868 1745828376 6917299319 1526550815 3706351771 4437153893 6577376004 4970284395 9829790015 0085946822 7793040970 8673583578 3468181381 2372692219 0473901778 3647977982 3984330213 0250382936 5317401749 9703340086 7455812300 8974913546 2010235259 7530878697 5563077076 3889245239 5760295355 1891106627 2182534408 3975099430 8733043019 5345275472 4091102678 6495879150 5872190913 6445679747 9412688940 1360763583 3787257242 3182538968 8284755662 9588726980 7412406455 4775355261 1948455900 2757014919 6603067571 4393649617 8598947506 9601244278 9145580507 5276111455 2384374892 0095964177 8187722820 6007276466 1897042497 3368079325 6676106712 9772138358 3208537680 7519422438 3758767436 7057856367 5691124000 5903751603 2615212342 2282954662 0257239594 7682895166 8380311093 9321006631 1689478339 2765497041 2353888109 1853060746 2599288062 0768591571 7780746195 2305852316 1547327348 3760525593 6318074562 0033604386 3335614854 7814769189 0538582973 7504182759 1820870585 3448099789 1676393251 4043733595 6095310382 6570379040 5302809218 4426195608 6263772801 1192741200 3428510774 6530780511 0084445056 9692105527 3603375458 1397270130 4016753661 6631769295 4601235517 6769539198 6171053179 1545916478 1721819672 9941538341 0246456631 3210527060 8552669184 4168318229 1011809544 8649728478 1781813889 7528602917 2528481951 9531350286 1247847806 5921632641 4014725579 6799365738 3690185621 7117170582 2634793363 9373899021 6161668786 5702822141 3387666644 5704976621 4646856767 8869910072 1499989795 8086303340 1201998402 3034377670 5644958435 4148271874 7437328125 9171576306 8314372678 9199586330 9499353836 0389249634 4861981490 4714596575 3234460660 0992529202 6969719559 3341113042 6716702133 5429961866 7464593324 8032356946 9864070005 5891453814 1534860143 1846645169 3543741840 0707815258 0737304493 1535231557 5939985954 6986240209 0529585246 7194368631 5371710677 1327781296 3936041964 6181200707 9344511266 4452562504 7817924658 8523476324 4677888825 6576615966 6442156924 8590792310 0439912511 8663408520 6129987643 4985043301 5179265292 4951282195 8206807565 2724356320 6851076002 2197561532 2512791926 4932792173 2755182452 3712047556 2842174176 5849420964 3413358737 9403418411 8903434477 7298883986 4672107525 7478546283 4470478611 3613698921 0263959247 5415280406 1996311692 1236520529 4842399268 4317420640 1481174077 9949866126 6685118017 8453916092 7917172634 3201012129 3425734781 3105612013 4903343892 5913242630 1743345049 9669207689 0760159263 0808301363 3851547499 9604794824 8579592514 7346636120 2805677773 8489088519 8747968169 6672822404 9390724557 4262797490 9491341376 6853267658 7903655683 7678602729 9236413638 3303897318 3516713906 6558751018 5459852120 6933784103 4775609543 3689032129 8348765048 4463193380 7831327882 3921246893 7537567925 4890559105 9226091604 2992322947 1166318621 7872709619 9523435317 7611819798 2439900084 7550333271 3767179707 6275604216 8036955646 4794002603 3168190630 8023153174 4839402513 7044920297 0194419274 7207871551 6215777954 4674887922 7720999371 6283574934 7324309474 0961654457 0663853342 8553749850 5578641461 9248132085 7714286365 4164736653 7264898712 2859141063 7245682818 4198609083 6055741718 5882044155 1719887160 1498976655 3747035296 1494240640 7486768391 4518434200 1034319146 9830824007 9877764859 7416126924 8362759403 1771675687 3421837573 5962422238 6213861013 0160545011 5382223530 6635270400 5630277857 3985379701 5462448722 6643451312 4777352920 4835763634 8791863477 7078677394 0629428989 5972821354 9890829024 0749142381 2420984369 7881068740 3754049282 0353411654 9365928016 4411106703 9425162814 9927522536 9423729037 7144751199 4491452873 3076049510 4080233884 9504142442 5383410154 7640388836 5344695992 2994665476 8943487500 1321135608 6365892076 2474368879 1520008553 3189371821 1209959162 7373468730 5217566448 6341684521 7797730682 9456241195 9676273749 2729905780 6059817124 9627339961 0843544596 0919363697 1237047795 9111877125 4005456572 7290390580 6392603813 0632569468 6753663555 7242157203 6615701195 0572833993 0314502793 7650616581 7971915773 3573023888 7751342811 5838652174 4476174836 0430511742 2647378076 5583085654 8610171512 4117698296 0282859710 4517941029 0231080906 1968867467 7084338315 1143638529 2808825430 3753013757 9876368203 0453273475 3924540213 7409690120 9902023595 0171653780 0944845817 0206755927 8795283246 3121255065 5751161216 1743770152 9943975075 4558438346 0850185154 2739951317 9212150946 8421483737 9734245823 8616895573 6661745666 4640163554 3547543608 6582742929 3500559590 6302120772 8253040293 1311009535 2602182969 2507481400 6242445647 3275853879 8080013829 0830292090 8388378512 0989618538 8363216076 8698662855 9294982892 7071081277 9941921454 4756590356 0640754973 7542468336 4460829968 5776871044 0487020393 7051097875 8728215488 1706931391 9789603397 6949515940 6842323594 2945521778 3859173129 1972614162 5390772179 7436041477 1359417480 7578343957 0114980580 4913617878 9221321049 1915372889 0644790613 2313605660 3020311509 3296691443 8661098040 6449769443 8620988115 1038264450 4299874547 8644128620 2003905102 9434251915 2548530636 5441993996 2351367984 2979268689 7301132073 6022471049 0216104694 4332593842 8234894775 4428902473 0972367444 4121200141 5193371518 1272595153 0200608765 2509770443 3259679447 0697191833 0599701082 2567859669 3119492854 8517405385 2365248979 6697429818 2745029873 3737616024 1496948913 9041215448 3172835391 6970536411 7248122128 2397782863 5176022257 2788857881 9566788477 0047007408 4834967776 9150012648 9039846105 1854631008 2597930811 4066049067 2522257205 0574747690 9600813413 3276704520 1578326924 3849851166 6159723374 0737815046 2268610743 4492437034 3180288716 5408124213 5759348925 1646201231 4382127512 1733979364 7280435578 2099270359 7231793857 8858161796 9306544549 5132550841 7040502635 3888437050 1404804399 0390015600 6573129182 0571415018 3865461194 1203990632 2204305459 2097164371 7202331429 2906206195 7293181136 5504719955 2130134710 3574551800 1076420564 1036067162 0240821436 8168758754 1696233519 7233541589 3798210436 3407660938 7438123124 7969743602 6032296919 0039632254 6732527729 6504660461 2684422446 1720465127 9110151492 3996614137 9606629717 0213499708 1746490384 9408893957 2101597772 7260424100 1822505011 2326367722 3863993027 5149454381 4892209779 0473196851 5311279677 0233443665 1238762400 8450656484 6976415879 2339938944 8993000948 2701739156 2236049137 8804596943 9970449158 5545236530 9924824607 8199052370 4750404467 5566131686 9210230716 1387146450 8627300424 7425211599 8172753324 5098838610 6302478996 8762492896 4900068243 7343828579 2016693937 7479248192 6690908699 0338041483 6985867827 7589380759 1236730766 1885769961 0587463459 0537487222 1112194310 9114941349 6499279069 4308477244 3629940052 0486192803 9648110178 2584632457 7106026548 3230324469 6789574976 3534635603 9901758643 6693987283 7307951657 1895080188 6475525669 9249877925 9838393219 3316103735 7923084414 2783918127 9259538937 9517711984 4940731831 8167556243 4424578904 5105404319 3413642854 5815149315 5415034712 9147528185 5186059831 4733688397 1752760537 7395030363 1271721326 9662836287 2491472482 5044670108 1393825401 5830409399 9150299359 0272161300 5806228915 1559835231 7397440880 4569053496 3082806062 4494274558 9534329481 8363350339 8043605869 7060155328 6619740314 0656854121 7380007078 1325139471 4205359927 9820869945 8412707367 0236818671 5526446878 1609018490 2280897125 4733787849 9847384760 6171245051 9665087996 7144433068 1287685496 9832503570 4848430333 4818716143 9793442614 3109756850 3486002529 7183113560 2849348185 1032523911 5436546439 0137920379 5478258181 0727914882 1094123487 8873844093 6201298756 7255398658 5399899661 2500180174 5699336694 4345168271 4232841377 6434099424 6821570655 9507159915 4907203329 1566571004 7323476969 9142019375 8042275950 2493951968 7113473470 3747657721 5800305078 6845034802 6483917810 6171229533 2033758633 4422176595 1107807625 5156043148 8040365242 1839165508 4811682115 5335413389 2875438190 8799523794 7668392507 6636162662 2876096633 4826509177 3289037431 4974274669 0818081128 9388233553 6314513680 2303839894 8738054301 1595642020 9984044286 7832699181 9378453636 0408591664 7867239097 6566989490 1555936533 7772627743 1645820459 3308003034 8848574124 9589048834 9257447413 8984215042 4753613570 1798843024 9986843834 3487691545 4236930088 1001027832 8244078119 3384735903 6431523403 9029520018 1640447269 1269878187 4553005637 7116044649 9206377572 6639284812 2763673647 0213636743 3283741800 2108000033 1338465202 6163837459 4212158705 4206186746 5449369201 4507235769 0364908661 1185626400 7285575309 4659162844 2777933312 4554378644 2996665052 3623025535 7202172338 3289424400 8768769849 5224379724 2974152138 6171389690 9183744840 4576155855 0799520861 7279679403 4266489665 7740131780 2857226314 3271157798 1461389744 3484525642 5503833672 2532228509 4947943154 7517535009
  s² < Q(0) < (s+1)²
• Q(1) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)
• Q(2) is not a perfect square: it is ≡ 26 (mod 63)
• Q(3) is not a perfect square: it is ≡ 37 (mod 64)
• Q(4) is not a perfect square: it is ≡ 34 (mod 63)
• Q(5) is not a perfect square: it is ≡ 37 (mod 64)

Continued Fraction

We approximate c₁/F by a continued fraction u/v such that v is maximal while remaining less than F² / N^1/2 = 11 5505333031 8501043200 0531372115 2551400283 0804968602 6561137354 8827752852 2435143948 5952683826 8836643677 5212815832 3014618523 1645509110 8406709264 8206847944 3094046737 5723895070 5780489957 6525959053 8905418360 9781732181 0666439976 8653005024 6843120589 1960074023 1518158862 2351420249 7261989656 9392490825 4686504656 1095305995 9262171970 3410598021 0340019122 7620194782 8691720602 3431205921 7652708407 2948500097 0080891417 4731307568 3130005672 3929015500 2354411460 0137298831 2324867970 6269173672 3388493329 7800077045 8527313419 9028233377 5433035644 9054000255 8391272094 7450059616 4294819906 0862872414 1138233640 0174573074 5453588043 1611834681 6379401790 6160063971 0091491141 8605332872 4191829225 2564778490 5346615236 3572889256 1588365845 6725041545 0096970052 6785110068 6999274362 8508907821 6995053944 4145949563 5608603645 2403908001 9255618638 2937964815 3856019180 7983237305 8086819830 0592941203 2940308107 3694770681 9334811448 4158061373 9584542815 6146016792 8620691905 5228683601 6692704121 7164248309 3036421052 2269630534 5430579297 4040280237 9441804794 9148618687 7281783806 3758935215 0303916134 2459290182 7564159730 5008272384 1299338049 8498612859 6516573130 4845160251 7910532799 8616813317 3754978757 6399892904 8971339433 0669220693 6394252954 6850155738 3091766003 2824122077 9681546876 9382105262 8222975295 7652047581 5742574582 3847981565 8487460482 0376734615 5545233750 5118936314 1707482194 9550038001 5350687488 4354089324 6727831443 2315880235 8507314032 8279723528 5760369858 5561779215 4006719199 2812474042 4554449609 4858425421 4158979453 6220604885 0797718306 5280422419 4829552014 9523531122 0066371273 4319010913 6545517618 4463032326 1636233629 5445544653 7961896010 4219256974 4919967227 0121664083 7036342313 3128281290 6375424028 4161970275 0309619348 2214330696 7197553346 3424942267 4614899935 7540347630 2944615678 8593820805 2470570283 5315341524 0877469955 9674983046 4790998082 6571862860 0619007312 4277601401 9547844751 8735707694 7478730804 9309554198 6093131464 6296024590 9936025640 8757973974 0910723693 6061724901 5200012831 3382600983 4335920009 3887832445 6881931617 9270863780 8179137072 2537310329 7283198093 6973727507 6116920981 7379564996 7289168669 1312990893 9513232155 2263798808 4963784735.

With those constraints, the unique continued fraction is: {0, 4, 2, 5, 2, 1, 2, 4, 1, 4, 1, 4, 55, 1, 8, 4, 4, 1, 11, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 9, 1, 2, 7, 7, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 1, 104, 7, 1, 10, 5, 3, 17, 2, 1, 2, 13, 1, 4, 70, 34, 1, 2, 13, 8, 4, 13, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 8, 2, 46, 4, 1, 2, 4, 6, 1, 7, 30, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 28, 3, 5, 3, 1, 2, 1, 111, 73, 2, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 5, 1, 1322, 8, 3, 2, 14, 2, 1, 4, 8, 3, 2, 2, 7, 7, 48, 2, 3, 2, 1, 5, 4, 14, 8, 3, 5, 1, 1, 104, 2, 1, 3, 1, 12, 8, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 16, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 3, 139, 2, 10, 15, 1, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 25, 1, 2, 1, 8, 2, 7, 2, 1, 6, 5, 4, 6, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 8, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 1, 4, 1, 3, 28, 2, 5, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 3, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 5, 34, 16, 37, 11, 1, 1, 1, 7, 6, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 25, 1, 1, 3, 3, 7, 1, 32, 1, 1, 1, 1, 6, 8, 1, 1, 22, 1, 436, 3, 1, 1, 26, 1, 1, 1, 1, 2, 40, 4, 5, 7, 2, 17, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 3, 1, 2, 8, 1, 2, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 5, 1, 3, 1, 17, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 4, 4, 1, 1, 7, 17, 16, 1, 2, 1, 4, 3, 3, 3, 3, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 1, 1, 18, 7, 3, 2, 2, 5, 1, 10, 1, 1, 2, 7, 5, 54, 9, 2, 1, 22, 1, 1, 1, 7, 1, 4, 1, 2, 1, 9, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 7, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 10, 11, 1, 9, 1, 12, 1, 10, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 65, 1, 1, 1, 1, 1, 17, 1, 1, 5, 1, 1061, 9, 36, 5, 1, 11, 2, 3, 2, 1, 1, 4, 8, 1, 6, 18, 86, 1, 37, 2, 2, 2, 1, 5, 4, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 1, 4, 1, 11, 1, 16, 44, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 5, 4, 2, 18, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 1, 7, 1, 2, 82, 14, 1, 2, 4, 14, 7, 1, 1, 5, 2, 1, 14, 1, 7, 7, 1, 5, 2, 1, 7, 1, 3, 7, 1, 1, 3, 1, 22, 2, 2, 1, 17, 15, 2, 5, 2, 1, 1, 23, 2, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 13, 3, 4, 3, 11, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 1, 3, 5, 1, 6, 1, 1, 7, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 15, 29, 1, 2, 15, 2, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 2, 1, 57, 2, 46, 4, 1, 7, 1, 10, 1, 3, 75, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 18, 1, 3, 1, 3, 9, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 17, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 3, 1, 1, 95, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 9, 1, 7, 1, 180, 5, 2, 256, 3, 2, 15, 1, 1, 85, 7, 1, 1, 76, 1, 19, 1, 13, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 49, 3, 8, 1, 1, 10, 1, 2, 8, 1, 3, 7, 1, 24, 2, 2, 17, 9, 45, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 13, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 3, 5, 1, 60, 2, 2, 17, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 52, 23, 1, 8, 1, 2, 1, 15, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 2, 4, 1, 2, 4, 6, 2, 3, 1, 8, 1, 2, 1, 12, 1, 1, 11, 1, 2, 2, 2, 8, 1, 2, 1, 1, 5, 2, 16, 22, 2, 1, 1, 1, 8, 1, 4, 6, 3, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 2, 2, 14, 1, 8, 2, 2, 7, 1, 1, 10, 22, 3, 1, 5, 2, 1, 5, 2, 1, 15, 2, 5, 2, 1, 4, 7, 1, 14, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 6, 13, 1, 1, 2, 2, 6, 1, 1, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 146, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 1, 21, 9, 8, 1, 1, 158, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 19, 1, 1, 22, 8, 1, 1, 19, 1, 13, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 2, 4, 1, 6, 2, 1, 1, 9, 1, 4, 2, 1, 2, 7, 4, 2, 1, 26, 1, 2, 3, 1, 6, 4, 4, 1, 7, 16, 16, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 2, 8, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 50, 9, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 5, 1, 1, 3, 4, 1, 7, 4, 5, 1, 4, 1, 1, 3, 14, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 6, 2, 17, 7, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 21, 6, 5, 1, 4, 1, 5, 1, 1, 6, 1, 10, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 275, 2, 1, 1, 1, 5, 6, 5, 6, 2, 1, 8, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 3, 6, 1, 6, 18, 1, 149, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 29, 1, 2, 22, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 12, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 3, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 3, 688, 2, 1, 11, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 152, 25, 1, 1, 11, 1, 1, 11, 1, 6, 1, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 5, 2, 85, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 2, 1, 1, 2, 1, 33, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 6, 179, 1, 4, 9, 1, 1, 46, 1, 4, 7, 1, 2, 6, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 4, 1, 28, 1, 18, 2, 1, 20, 15, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 39, 5, 4, 211, 1, 1, 1, 1, 1, 34, 1, 2, 5, 4, 1, 1, 2, 13, 1, 2, 4, 10, 2, 1, 1, 1, 1, 120, 3, 19, 1, 10, 771, 1, 3840835 7392228933 8055608233 9052010145 1932965949 3401910465 6243896046 8843572763 6953690549 0810267476 8304168350 0143860603 8607127406 3988045065 1849677259 9749261837 0389433895 4247251340 3802347646 7205423459 0589106305 2193254201 3106373785 7553729325 9676815975 6431499052 7944819868 1516881301 7974072127 8341089173 1488758708 8017977510 3787994441 3582086283 1888030129 2988470003 2533840658 0498833498 5621260806 0636251062 8629296289 2997131994 7669059094 4081362653 3412123024 8152877233 9077000671 7163599827 0469023110 4721439480 6645333843 2518469411 0831667569 2387899052 0398847054 8508060811 5629342388 6579471008 7809310465 7412908200 0615035606 9593210806 4607165684 6451877911 0321405734 3300224051 4930803733 5647853443 5477532968 9736779247 4921759241 7646211390 5034414889 6830808433 6440546751 0751860024 1339489987 0564175256 9278633441 4744151984 5508162837 9889985477, 1, 108, 2, 1, 103, 2, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 4, 11, 8, 1, 1, 4, 2, 13, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 4, 2, 1, 1, 6, 3, 7, 2, 1, 3, 3, 5, 1, 5, 1, 8, 9, 1, 17, 2, 5, 1, 55, 1, 5, 3, 1, 15, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 1, 16, 6, 1, 1, 4, 1, 2, 3, 11, 1, 2, 2, 6, 101, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 30, 2, 3, 2, 30, 2, 1, 1, 9, 2, 8, 3, 1, 2, 9, 1, 7, 1, 4, 1, 2, 1, 5, 1, 16, 2, 2, 8, 2, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 8, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 18, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 3, 3, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 531, 1, 6, 1, 1, 2, 8, 1, 2, 3, 32, 2, 2, 27, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 6, 2, 3, 1, 7, 2, 2, 1, 3, 4, 3, 18, 2, 1, 4, 6, 2, 3, 1, 1, 19, 3, 4, 1, 3, 1, 1, 5, 3, 1, 2, 16, 1, 2, 1, 2, 5, 1, 5, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 4, 1, 8, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 2, 8, 1, 41, 18, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 196, 14, 5, 2, 3, 1, 4, 6, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 23, 2, 3, 1, 1, 6, 1, 4, 36, 1, 1, 4, 7, 1, 3, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 4, 1, 8, 2, 2, 1, 5, 7, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 27, 114, 1, 2, 1, 2, 1, 14, 4, 14, 1, 16, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 13, 2, 2, 63, 21, 1, 7, 2, 3, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 5, 1, 4, 1, 2, 2, 2, 7, 1, 2, 9, 6, 1, 21, 2, 1, 1, 2, 1, 12, 8, 177, 9, 5, 1, 1, 1, 12, 2, 21, 2, 2, 1, 2, 4, 261, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 5, 7, 60, 1, 1, 2, 132, 10, 9, 6, 3, 18, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 5, 8, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 2, 1, 3, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 2, 13, 2, 1, 1, 1, 1, 14, 18, 1, 6, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 2, 11, 1, 2, 1, 26, 7, 2, 5, 9, 8, 1, 101, 1, 1, 3, 21, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 9, 1, 2, 4, 1, 13, 2, 1, 1, 12, 1, 3, 1, 17, 1, 9, 2, 4, 1, 32, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 1, 10, 1, 9, 1, 4, 1, 4, 2, 3, 280, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 88, 1, 27, 1, 1, 9, 2, 5, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 139, 1, 16, 1, 2, 2, 1, 3, 8, 3, 1, 3, 1, 7, 2, 1, 7, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 10, 1, 2, 1, 1, 3, 224, 2, 7, 1, 1, 1, 2, 12, 1, 1, 3, 6, 1, 30, 1, 2, 1, 1, 58, 2, 2, 1, 1, 5, 33, 1, 2, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 3, 3, 26, 3, 1, 4, 3, 4, 17, 5, 4, 40, 2, 46, 164, 1, 1, 2, 8, 1, 20, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 5, 13, 2, 57, 25, 1, 6, 85, 3, 4, 7, 7, 5, 1, 1, 40, 1, 12, 96, 3, 3, 51, 1, 2, 1, 4, 2, 8, 1, 14, 4, 1, 5, 1, 7, 1, 2, 5, 1, 3, 11, 1, 13, 27, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 2538, 1, 2, 1, 1, 36, 1, 2, 1, 103, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 12, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 10, 5, 4, 64, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 13, 9, 1, 1, 2, 9, 2, 2, 1, 5, 1, 3, 2, 1, 4, 55, 3, 93, 1, 2, 238, 3, 2, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 67, 1, 17, 31, 1, 2, 1, 1, 7, 1, 4, 2, 10, 3, 1, 1, 1, 63, 2, 1, 3, 8, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 12, 2, 1, 2, 2, 46, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 321, 1, 4, 17, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 11, 5, 1, 3, 16, 1, 3, 5, 4, 2, 8, 1, 2, 2, 1, 12, 2, 2, 1, 4, 1, 1, 3, 1, 2, 19, 8, 2, 6, 2, 2, 1, 1, 7, 4, 1, 2, 7, 2, 1, 1, 1, 8, 2, 1, 3, 3, 3, 71, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 1, 20, 13, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 10, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 12, 1, 2, 1, 7, 3, 37, 1, 1, 2, 3, 1, 13, 19, 1, 11, 3, 26, 16, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 8, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 17, 3, 7, 4, 2, 3, 2, 5, 1, 2, 8, 1, 1, 5, 1, 17, 4, 40, 3, 1, 1, 6, 20, 1, 3, 2, 3, 52, 1, 1, 3, 6, 5, 2, 1, 80, 1, 373, 1, 1, 61, 3, 6, 3, 2, 38, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 3, 1, 2, 6, 55, 1, 1, 2, 1, 30, 1, 2, 21, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 33, 1, 13, 1, 6, 3, 1, 1, 8, 1, 3, 14, 1, 7, 1, 4, 3, 1, 1, 16, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 67, 1, 73, 1, 1, 2, 1, 6, 4, 1, 3, 4, 1, 8, 1, 1, 2, 2, 7, 7, 1, 13, 4, 2, 8, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 24, 2, 2, 1, 1, 7, 5, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 9, 1, 15, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 3, 1, 46, 2, 7, 4, 1, 5, 2, 12, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 7, 40, 1, 4, 4, 1, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 10, 5, 1, 8, 1, 1, 473, 3, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 7, 1, 9, 1, 9, 8, 1, 37, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 15, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 1, 2, 8, 2, 6, 1, 3, 1, 1}, giving these values for u and v:

• u=6056835211 1047098793 9564871613 9837076977 8966362521 9427225247 2912024136 0264305513 5237121404 9555363808 1380305217 3087415734 2753678952 3702227066 5080391468 6589304186 3137923761 7125108979 7690101571 5695873916 5830888110 2317559560 4330474047 1038530006 0851464658 4315827464 8685364879 0933709517 1115231955 9942548623 5588247086 4655631064 4389839348 8203146233 9800972808 7846505726 9312295191 3694959037 4114781741 3245587240 2825722854 5470101387 9205501716 5876389886 0987873761 7694439072 0773233215 5856037677 2112205193 1929406730 9602775296 3920428333 4976926113 5133918601 1721945984 4956920125 9161441502 9692788366 2459588586 0873711740 8895765310 8269564482 3671200553 1121216236 1309892797 7188534257 7579116647 7889899252 6495493503 6298650649 7560942406 3746209890 7400115439 3082381748 8897020013 7544727710 6169641621 1274974635 2763305893 4994948983 0205055430 6777264552 6287746500 8732032362 1098896642 7563745161 6296673560 3081054392 1187916056 1465920877 8268977320 3502455034 3325792167 5148533508 9028240707 9841207223 8386862526 3751070882 8581406316 3670725689 9889863670 6512946075 6863906079 6942903666 5697497639 7415155705 8803657704 3486593619 5895081587 9705731502 3477413399 9965273609 6489847025 1302013168 9260119627 8873381978 8013904637 7329084514 1276973227 2959353762 9443961890 9425695434 8470044020 7109197729 4314028951 4767282850 2015492003 9995174568 3418203508 6936176526 6527717602 0921219962 1695381785 2195442977 1888889144 8009146950 1084196642 5436627096 0453004349 8825550677 6394321747 6904540444 8611876532 0625478621 7961716229 2033952214 8024716791 1429987753 9097560621 5736832032 7455391919 1519029774 2518649203 7594562772 5215498642 1448294669 1398014581 1211872353 8852143963 0786556676 9974511998 2832026405 6597106711 4018042954 6343533006 7409507750 9480739214 1857832780 4151493636 3187479271 6810753957 1639837488 3084054122 4697200137 4358078166 7205429237 3347512621 2932092148 5363786838 1566034055 4770910059 0489418746 1726809144 0371041536 6643189147 0991305687 6739098232 3603739765 1081843999 4955894893 7579746972 0534476759 6677195535 3059586764 5387404772 7280292191 3020538014 7369023242 6820574258 0165589132 2400704062 2475371416 3488122691 4334606423 0517412574 7446702941 3867278802 9128663757
• v= 2 6997888958 4519730895 8128290905 0396571335 9224768043 2484905913 9374993502 6674391027 1108143925 5975075345 8518037539 6240106687 4723687108 7776732883 2563950503 2364362620 0612562214 4771762781 2999056184 5942324695 9729840578 7248476902 3563033776 6121062335 1832027869 7731891043 8611537779 7517690850 4037008075 5411527061 4739457326 7530127758 8150005831 8052400596 5765819533 7528212386 8340642911 3760343850 0243063162 1668349682 7379714898 6251159548 4724676984 9233346651 3773381625 7635170721 2976875545 6335815204 7031019320 4422059201 2086967135 0021505501 2795027243 1614809613 9949002088 5784742221 7304974444 3940203797 0040419711 5374343876 0447036266 4553636824 4213770576 6052311778 0621548264 0006303963 4352042703 2960363797 3275546550 5697094077 8487213981 2007314528 7639898227 9762475782 7535528794 1447241389 1570753683 4600044198 9581480486 1232012598 7871531639 2625406320 5764855888 7178524454 1981911918 0551329576 8825972314 1093891757 4073935581 9637131250 5451677199 1885270198 0605983768 5512026948 2076930522 4403559486 3827561173 3582832374 5912349744 9760523815 5402792002 2949976679 4441407408 2940669987 4420819197 1585371416 9522986273 9409888022 6222246334 5229418569 1421210200 7415175343 9091972206 8228490788 8361835528 6271036289 9449981460 2492497051 0068184711 6053807555 5703685173 4613044612 2407431654 0396687745 6199473247 3979612580 1620665728 7741874389 8331636563 4807349649 7439457285 1376376163 4638778134 3359169944 0137002215 0060544665 8607127129 3076314408 0639189631 5248296513 5982783661 1177254773 8838419318 5102238868 5232195051 2929317506 5240217249 0445530857 0888240796 8799835695 5059289469 5190084010 9434806149 4847667100 1527312237 6515972971 4985429989 1020801154 9081181230 3537376386 5911154418 5124316505 5736856613 7354845022 7637032102 4510206229 3222292322 3490161167 9313363366 5491752462 3722126465 4915670427 6033501108 8371020137 7433327391 2537239389 2856768366 6568556166 2190563360 7348969287 7304171550 1767739077 5601236151 8219504536 6177714816 2859004974 3359313485 5991892367 8505788343 9616435190 2053949300 2206505595 2573759386 6073672277 1576023051 1485999595 2327466399 9113345766 0119372293 7067972377 0834971399 4914778959 6891118566 4420249815 6876717648 9038285771 1445886319 2381170428

We also need to calculate d = floor(c₄·v/F + 0.5) = 47 5081943477 6573884096 4074419948 1996305594 8061687549 2463115363 7972446960 5732032473 5500963045 5935234474 7950221481 6802047317 4193026150 7290716547 2718348123 5797061827 8725583590 1007431929 9323471327 4326848396 9459548758 9197368447 6993333590 5691471504 7113781170 3220422522 1184939433 9225208302 5079425943 5240845763 5392960305 0260068124 6517052301 5329723698 0533593376 0123410268 7108528970 5246435139 3213185204 7400647791 1401336646 3528359590 8727830247 5419960094 0389238767 8010858898 7009654141 1137382855 2685042541 0918437108 1481267025 3753438619 8577775196 1806474437 5131257969 8075246220 6879544800 6227157110 8877531511 0782078596 9786295858 5764194007 1550691219 3973608486 9123151037 3357989022 2454806904 1504965109 7858601651 9185488481 1773218764 5312511672 0073505382 7660432042 0034719592 9812088581 4703045845 0520504881 1755802679 2059166828 9574118991 2861711334 1617033246 6012451091 1742141398 3258329084 1821165364 1655278641 3764918046 4350004471 2087251532 3735343491 3616966597 8495554353 3346885250 1234536187 3551315634 4977661986 4129744764 6753987760 7491745050 1739192043 9439314127 4839480621 9308668159 7245833070 5726086290 0847126376 1017988989 0216879513 4923072753 5698811874 8440287496 6931469399 7364310309 3096422772 8116869266 8187707762 0324775270 0077570005 0598040939 6470271817 4008513056 3834589806 8897224682 1179357057 2245836749 6739998288 9767276690 7517832547 7598109990 2127384645 4144179573 3395152265 8633697394 8561950929 4590972081 9433686360 1028953064 8226705000 8136972790 6219830462 2214451356 8665422672 4665966244 7914527169 3514713454 0464070549 8101303722 5625294412 3941204473 0412140597 7005163588 7344209978 8842324982 9010762237 8124190348 1088043013 4518499762 4153825782 9542842700 8716988264 2081029132 2075372082 5986038548 1954340293 1673792254 7897031548 1707123486 5912780092 3466309578 6915957963 7600954193 5489225651 8777693689 2950106775 3775797375 3340738970 5722713719 9115918940 8952022223 8301329591 8734764057 6387060454 9024424433 0882160142 4697675572 2493584730 3663916992 3608302892 7912032125 8002478281 0557876717 8575918023 5124316868 3258153758 5698977672 2306199584 6339087170 0776310447 9822382861 5635852978 1080086581 0648988114 6690214921 0155149194 0944255928 4980793411 9316970300 9282836767 6838519901 1830894884 6568814022 9867819782 8028268235 5041955046 1258565931 9712314685 1445649549 2445049608 5505166083 8804419773 0122484774 7502102562 7633722662 9449762025 9035420069 2166333217 8410549602 8958980806 1011869194 9068831387 0117400794 9573794384 3583630793 3387868774 7935351842 4914074103 6928428450 4792660025 1844836809 6090012755 1769347083 7472949515 8543052562 7017954248 4134711198 0533444006 6293032368 2319071478 5724434090 7044815283 4167154796 1855493784 7465982651 5742883809 1345747826 8799169361 2479801510 9339732741 7649039401 2125161901 2184880640 4295938281 7484703196 9009625971 7055387818 5870661469 9426339048 6353126134 8698472035 5975921184 7005039138 2984601694 4074404018 3470533728 0179528356 6343233409 3820205653 1685499317 7612301512 5044635608 4265476823 5086629202 5646987366 0274497552 2734979545 9530963753 5269303141 0823098138 3481010811 4322661410 8886736720 9845183182 1487474700 0433749409 2190416233 4993541178 6581711025 8002695493 3235983572 1456094349 6514142675 8611633110 6401007810 8426879963 6378750441 5875828071 4391991860 9385536068 4915259560 1824890293 8920339208 1195545813 8064928747 4695836489 6214901788 0152682016 5830312168 7849912484 5855784252 4843288885 8541635193 9871329657 0237731927 2630895344 0240487433 3281316340 4327211706

Cubic Polynomial

We now consider the cubic P(x)= v·x³ + (u·F-c₁·v)·x² + (c₄·v-d·F+u)·x - d, which we express as: z₁·x³ + z₂·x² + z₃·x + z₄, where:

• z₁= +2 6997888958 4519730895 8128290905 0396571335 9224768043 2484905913 9374993502 6674391027 1108143925 5975075345 8518037539 6240106687 4723687108 7776732883 2563950503 2364362620 0612562214 4771762781 2999056184 5942324695 9729840578 7248476902 3563033776 6121062335 1832027869 7731891043 8611537779 7517690850 4037008075 5411527061 4739457326 7530127758 8150005831 8052400596 5765819533 7528212386 8340642911 3760343850 0243063162 1668349682 7379714898 6251159548 4724676984 9233346651 3773381625 7635170721 2976875545 6335815204 7031019320 4422059201 2086967135 0021505501 2795027243 1614809613 9949002088 5784742221 7304974444 3940203797 0040419711 5374343876 0447036266 4553636824 4213770576 6052311778 0621548264 0006303963 4352042703 2960363797 3275546550 5697094077 8487213981 2007314528 7639898227 9762475782 7535528794 1447241389 1570753683 4600044198 9581480486 1232012598 7871531639 2625406320 5764855888 7178524454 1981911918 0551329576 8825972314 1093891757 4073935581 9637131250 5451677199 1885270198 0605983768 5512026948 2076930522 4403559486 3827561173 3582832374 5912349744 9760523815 5402792002 2949976679 4441407408 2940669987 4420819197 1585371416 9522986273 9409888022 6222246334 5229418569 1421210200 7415175343 9091972206 8228490788 8361835528 6271036289 9449981460 2492497051 0068184711 6053807555 5703685173 4613044612 2407431654 0396687745 6199473247 3979612580 1620665728 7741874389 8331636563 4807349649 7439457285 1376376163 4638778134 3359169944 0137002215 0060544665 8607127129 3076314408 0639189631 5248296513 5982783661 1177254773 8838419318 5102238868 5232195051 2929317506 5240217249 0445530857 0888240796 8799835695 5059289469 5190084010 9434806149 4847667100 1527312237 6515972971 4985429989 1020801154 9081181230 3537376386 5911154418 5124316505 5736856613 7354845022 7637032102 4510206229 3222292322 3490161167 9313363366 5491752462 3722126465 4915670427 6033501108 8371020137 7433327391 2537239389 2856768366 6568556166 2190563360 7348969287 7304171550 1767739077 5601236151 8219504536 6177714816 2859004974 3359313485 5991892367 8505788343 9616435190 2053949300 2206505595 2573759386 6073672277 1576023051 1485999595 2327466399 9113345766 0119372293 7067972377 0834971399 4914778959 6891118566 4420249815 6876717648 9038285771 1445886319 2381170428
• z₂= +75 2986768874 3111991426 4692983110 3468247938 6970389795 2720071983 7948663447 9882004406 6216180154 6628256999 6562996559 1422827674 1709252142 6166026934 2714185533 7556948651 9552060419 3800214167 9013271795 7895731185 0697244587 7551891375 1598224340 5254328569 4999855309 4024314685 4957888470 1710702367 3864602355 3750771926 9931491255 2443415330 2579956441 2611403504 3314751691 8944488875 1875126784 2038217995 4360614224 2337700561 3351538805 2777326071 0588627771 6906944253 2773049948 4374871138 9228324349 4551312338 3015352149 2618364212 7104066823 8664687669 0545118090 8745677495 9447479446 2903103292 9494375338 7764319465 7552500300 6377247212 3001935643 1302230394 4966634589 5346099469 1605044105 3273815960 0659529328 1117305665 5351689645 1238606184 1551943576 1556726151 3607185878 0735445056 9822922834 8842011835 8246072251 4495212943 2125699455 8459874923 1794761158 9028830801 1440811153 3386023742 9712147999 9519053018 3690649178 4251995304 8729613937 8841149307 9379122464 6351059969 8262994707 3202421967 9624446881 5427389575 5118074243 1210560761 9578714779 7441331546 9312249037 9309037869 5186064300 9746967453 3477747715 1060962491 9639993742 6553707295 1115271955 2449112285 8048319319 0904182901 5031735684 1658446472 3628279695 8969006284 2570007465 0383212216 7293149392 7783189003 6521446666 5641413691 7377316186 9274639612 9268087097 2167835440 9777670679 8052042472 4839839829 7290892472 1144783205 8555582033 1438866649 8662371820 8137275105 5741879719 7667619344 3279687521 9388269110 8507010306 3218683546 6459087533 7659063575 9003068915 3790223688 2699964755 6421552868 8520441769 2467114289 3535081726 3487506117 4696895458 2760820152 2416038910 3163072570 1993910031 2641604293 3536546460 6754714579 4871823610 4709768251 0577550203 5991719207 6376443502 2170382691 5773881857 8738616437 4243302943 6374048191 5785925174 9417389621 8907422706 3602115349 7839153693 2338647771 5428716296 6375090763 5469669786 4787531485 6423132426 4406257322 0892258489 0165695515 8924387005 4943101514 4977193363 6213818359 2409181458 2884733489 4588707088 0703232593 2374442748 3322605793 8986532841 0623158087 2552825214 4215718416 9495114287 3950501281 5917628042 7333047014 9899267608 9979818771 0581995965 9011860218 4740997839 7014784286 6354615663 6725331635 6105024292 9667461079 7817563909 3664614441 2128200545 1598366975 0057202934 3080109835 1098307408 7210022556 5189991132 4773057000 2785099790 8182463785 6271460223 2344298573 8429768800 0278177407 7060333586 2915012947 7751482704 0353901793 2851702452 1192068275 4281523399 7509818152 9067694257 1372541156 2935470533 9697106081 6582005261 3042977471 5933832109 2728819145 5942732628 0803160008 1243106521 4340431161 4043256343 0223268937 2870880069 1597430898 3813815016 3008444692 7451879399 9747328853 5099184989 3273637590 9472034379 1710086099 9942409247 1083546367 6089446323 4830341847 5311727548 2212433120 9272550398 9181960208 9893101213 0319880713 3120819357 2284784212 8218226315 1649224825 1565697237 5997084195 0769520239 9914858059 8178136865 7895017410 2069624399 3746511345 7349310865 9149554758 3098346578 1741216252 5384932947 4601129149 4113966765 8836922578 5204093294 2035864584 4068554942 7540104886 4296596803 9140934322 7346024894 4515522493 4875379597 1667531599 8578311409 6224938279 1855320103 7404687175 4298006637 2312017262 4634158790 6950701549 3977296270 8293966526 1535060820 5477391383 3729783051 9947651252 0336689574 9201421738 9965197559 5369866218 1876759457 7311997991 0062013719 6210921123 4528103808 5389750792 0710126095 4915016689 5156569760 7478724450 8903361267 1212793818
• z₃= -332 8566618801 3394897642 6979620421 8622493043 1708544983 3172424815 6046868498 1526371906 0114967107 6444984423 6847559659 8586113682 0444568224 4420824489 5945436913 0137881345 2754664634 1720698141 8213973730 3169826849 6132573708 9173312334 2041411428 8834844938 7883756929 4430709306 0357641244 9097076431 0533497264 6827700636 2667853998 0107862020 2836984077 3645922616 4674986611 2361338355 7310469088 6130463668 5597843257 9202017152 5964480867 4935316054 9253642072 1241473598 5843242657 3798818859 6178583332 9703186195 4509352026 2304768514 4778392505 6752595245 3337036994 8383071176 8208807079 6935297980 3566265475 6850111002 2409917735 4849628057 0163978778 5796437867 7827490029 7455691929 1972859352 0771086292 3379889972 0467107632 4386888192 0395400645 7825076810 5255093995 3893623000 4815459620 1565870948 7180932539 3461505929 3155233605 3659437714 6152531658 2668801415 7601231941 3073332936 3886433336 1638962168 1299577109 2896438557 7183122410 1754718302 7763214038 4961991320 2652731005 8851426847 2011721717 9900459583 7285433746 8006234448 9191904767 0191682472 4372619158 8342009559 9368666252 3282698985 1614082919 1806616833 8450480727 2978226309 7688891867 0457983781 6286787220 0735862886 7162633082 7585553676 7787335434 8315016378 1134182031 1719369313 6868250633 6342603931 3679712328 5218273697 2648773355 0687191906 8517765243 1649996420 5704406249 3503852627 9667171616 2008119535 8320359477 5524878941 3907948277 2272026165 9952939993 9583051269 5423900309 3599566058 9328968511 6503222840 3383047077 4844741575 7896580660 0863416939 7050412973 3392212430 9393543133 6567186144 8592877692 9151114278 4740751034 1657406388 5768671874 4258877960 6858659748 2755482479 8578262031 2849860205 8814143871 9743132134 4295801414 9644099235 3748805530 2064568758 9555400552 1467474777 3385440872 1717171580 9129858619 6022177190 0599469323 9518584428 6769853528 1905549458 5115956504 8517121385 7134060056 1210604050 4519019477 9430612643 1555617958 9698152634 4712258508 8099117269 0305074024 5547720230 2784047388 0771935323 5304371630 9770379921 3635425417 9353757161 7062833421 4838280851 9784351761 1696461863 7064296795 1684574927 4384316076 5858271931 3702897389 2308014328 4645326432 7149008599 3873581358 1541108838 7341246873 4975650198 5543587262 8134420841 7198755300 1353153807 5156720093 8464046180 2675037087 6165441536 3248879914 6308232589 8288661385 3217681133 9097587314 6021650208 2857540765 8653678387 4992740716 9830580588 7912052371 2887598992 0198600450 9225668753 5033209832 0411780422 4556790098 5629220033 0279724908 5871174679 9560418022 3522317383 0558565652 3233767367 0745416457 7804352143 9801137440 9503573657 4696703457 7362585270 4724332977 3761389911 1308031587 7342690021 2289318580 8130149742 2798925427 6193253970 7491875055 3343110080 2644219132 7998586304 5131411913 8852525917 7204997994 9048093124 7520546992 8136692240 5390139000 9772556314 0169679977 9285254741 5747122472 8312223852 6973503581 8214759250 9978268659 2971352557 5237013825 6518182035 2409964419 3565470739 1440257228 4066427041 9175743647 5825525050 3625536102 6217808698 1307574021 9228105543 0289845251 3198129827 0187782366 7645662013 8205334852 4514685169 1647891708 8472915512 8496733958 5269648272 3805825186 1075139218 9952740879 7091629603 1441316573 3899922530 6762451286 5043098767 3193351492 5198794512 7840533801 6425413637 9552566678 6431450940 2922341196 2528513447 2579860150 5551595477 6673136308 0689878965 2278935460 2155589625 8596526785 4047683290 0107570317 9607665934 0412746979 8998939338 1061259641 7942910197 7052360056 1016365467 6859109589 8904882035 5406778922 2464831177 2545514373 2581438890 7169851538 4060973075 1240946588 3656506342 6144856492 9322643403 1412375464 1506544277 7770058333 7784782611 5189270210 6679846317 4663684959 1024375715 1430517946 3538579658 4023216887 4134973284 4091080804 5376256684 6175621916 7492437403 5514947481 2105799788 6324838887 8976679109 1412987786 1717401483 8030139025 0202750978 4896480349 9851859787 7692249065 2196262144 6408150297 1746968889 4038718296 4679768457 1750147874 2929984807 4767238478 6336704748 2730814577 8866384798 1268200504 7309188537 4666879749 1694528298 0072009492 5298769264 0918121433 5733392436 2471588556 6178074526 1522400587 8038718252 5700032104 8266631527 3537649133 6509564441 2101076953 1573239752 9777350194 9366404866 1466582228 6482960248 9863178268 7914822392 2618846554 6687948814 2194739967 7198287706 9331628744 4127333977 2865782130 6895363472 7109849174 7060987782 2162479682 8611278019 2069918601 3737687086 1575458033 5866975960 3719110330 7558743669 3624446273 8619760739 2452276739 0589263756 6624946169 1861408888 5732607904 8363824685 7483188333 3303496419 3534916400 5527179096 4371662195 2474933490 7155018614 5273667755 0535984870 5077799083 3552625130 1744959209 0763225344 6802218216 8794390968 6240992588 5508516428 2807684345 3130572383 2966744159 0513550541 5279445680 5772958308 6122285237 5298987090 1334787072 2259917653 3358216282 3287609350 7194273728 3665498769 6074738763 3396196397 2209512578 4382432052 3796055612 5616945747 6595565495 3249539928 3974221992 7879051025 3190682083 3549371792 2021647239 1189714054 9377122908 5845917748 4635409931 4114983440 3276935642 5526172952 9550462643 2817213206 8471134438 4131511346 1034824091 1410859691 8278571585 5922224513 2673294094 1269521292 2068671448 9064431243 9032420292 0128014785 1494268748 7090412880 5798636223 2777175947 1297704123 6536729155 8885325209 0530960258 3280893179 3796877373 0840927131 2034311548 1402901710 3631314845 7637749984 0492551570 3906350948 5205301896 9108211683 5430105960 3909154050 7516038192 0349824531 3524576922 5459603709 8350132979 0650096800 3591660635 3933236743 2333246135 4563877831 7657343601 5304671583 5001293750 4336830249 4502544187 3687288738 9385128492 9017847265 5261702714 5874257941 6710219756 9531767805 9044587461 8946198879
• z₄= -47 5081943477 6573884096 4074419948 1996305594 8061687549 2463115363 7972446960 5732032473 5500963045 5935234474 7950221481 6802047317 4193026150 7290716547 2718348123 5797061827 8725583590 1007431929 9323471327 4326848396 9459548758 9197368447 6993333590 5691471504 7113781170 3220422522 1184939433 9225208302 5079425943 5240845763 5392960305 0260068124 6517052301 5329723698 0533593376 0123410268 7108528970 5246435139 3213185204 7400647791 1401336646 3528359590 8727830247 5419960094 0389238767 8010858898 7009654141 1137382855 2685042541 0918437108 1481267025 3753438619 8577775196 1806474437 5131257969 8075246220 6879544800 6227157110 8877531511 0782078596 9786295858 5764194007 1550691219 3973608486 9123151037 3357989022 2454806904 1504965109 7858601651 9185488481 1773218764 5312511672 0073505382 7660432042 0034719592 9812088581 4703045845 0520504881 1755802679 2059166828 9574118991 2861711334 1617033246 6012451091 1742141398 3258329084 1821165364 1655278641 3764918046 4350004471 2087251532 3735343491 3616966597 8495554353 3346885250 1234536187 3551315634 4977661986 4129744764 6753987760 7491745050 1739192043 9439314127 4839480621 9308668159 7245833070 5726086290 0847126376 1017988989 0216879513 4923072753 5698811874 8440287496 6931469399 7364310309 3096422772 8116869266 8187707762 0324775270 0077570005 0598040939 6470271817 4008513056 3834589806 8897224682 1179357057 2245836749 6739998288 9767276690 7517832547 7598109990 2127384645 4144179573 3395152265 8633697394 8561950929 4590972081 9433686360 1028953064 8226705000 8136972790 6219830462 2214451356 8665422672 4665966244 7914527169 3514713454 0464070549 8101303722 5625294412 3941204473 0412140597 7005163588 7344209978 8842324982 9010762237 8124190348 1088043013 4518499762 4153825782 9542842700 8716988264 2081029132 2075372082 5986038548 1954340293 1673792254 7897031548 1707123486 5912780092 3466309578 6915957963 7600954193 5489225651 8777693689 2950106775 3775797375 3340738970 5722713719 9115918940 8952022223 8301329591 8734764057 6387060454 9024424433 0882160142 4697675572 2493584730 3663916992 3608302892 7912032125 8002478281 0557876717 8575918023 5124316868 3258153758 5698977672 2306199584 6339087170 0776310447 9822382861 5635852978 1080086581 0648988114 6690214921 0155149194 0944255928 4980793411 9316970300 9282836767 6838519901 1830894884 6568814022 9867819782 8028268235 5041955046 1258565931 9712314685 1445649549 2445049608 5505166083 8804419773 0122484774 7502102562 7633722662 9449762025 9035420069 2166333217 8410549602 8958980806 1011869194 9068831387 0117400794 9573794384 3583630793 3387868774 7935351842 4914074103 6928428450 4792660025 1844836809 6090012755 1769347083 7472949515 8543052562 7017954248 4134711198 0533444006 6293032368 2319071478 5724434090 7044815283 4167154796 1855493784 7465982651 5742883809 1345747826 8799169361 2479801510 9339732741 7649039401 2125161901 2184880640 4295938281 7484703196 9009625971 7055387818 5870661469 9426339048 6353126134 8698472035 5975921184 7005039138 2984601694 4074404018 3470533728 0179528356 6343233409 3820205653 1685499317 7612301512 5044635608 4265476823 5086629202 5646987366 0274497552 2734979545 9530963753 5269303141 0823098138 3481010811 4322661410 8886736720 9845183182 1487474700 0433749409 2190416233 4993541178 6581711025 8002695493 3235983572 1456094349 6514142675 8611633110 6401007810 8426879963 6378750441 5875828071 4391991860 9385536068 4915259560 1824890293 8920339208 1195545813 8064928747 4695836489 6214901788 0152682016 5830312168 7849912484 5855784252 4843288885 8541635193 9871329657 0237731927 2630895344 0240487433 3281316340 4327211706

We need to prove that this cubic has no integer roots r such that r·F+1 is a non-trivial factor of N. Clearly r (if it exists) must lie between 1 and R.

The real roots of P are:

• -1+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)
  (Root is negative)
• -1110359 7830117191 8568385962 7070592822 9935675110 8781892926 4527469417 2017678715 7644830782 0360612582 4867267137 2152549755 9522740852 0557493825 2599224031 3026529193 3969277588 8964629243 5912965357 1998903099 3608236441 4619598291 5712088373 5111281819 6054383438 4157317056 7027847319 6175599465 8127696918 1550425628 4313706220 0849301411 5606136290 5837521277 6650524152 5898594529 3623932296 7765851303 6964737930 0312071957 3525183595 7857774795 7828279584 7490847444 5861228894 1453569089 7119415307 3505282933 8868725156 5437385398 5711974408 5845059230 8183686190 6098618378 4604691271 6128066547 9002358519 4906869023 7516302862 7189577532 0183557070 4580832666 4806167586 8743337284 5310804784 2384786132 0089035202 8514879935 7431937407 4915580836 9543067884 6674883247 2739245421 4718560037 1222722672 7596237974 7060021114 0417741899 5962405007 5301023531 0813220524 2219144770 2309197637 2039718604 8307249445 4280666460 2487931214 2624733684 1683198441 6881987764 1709778878 3606322486 0353915608 6054293120 1165535435 1213058244 9431855613 4026246655 5438482044 6936932613 5871125023 0702733927 7988519929 8596446850 9569234868 5827877075 7754079038 3264402033 3661617120 3797330771 7701621127 6660545670 8020296756 0730881868 9712116349 1381022126 7022523714 7472850860 9235214598 1592183346 1540179678 6793460707 4215641312 7537819481 5060964591 6715704360 9427036358 2248634415 9274458932 5568777655 9694338708 7660098734 3064843136 4288682008 6761748460 6481549675 7846987590 8359109962 6277384153 3529183127 2179591144 5506627095 4378563495 3992953317 0371702842 8957856686 8613616514 8929586172 5876803772 7021706093 2644981824 6677028589 9867360327 9572193612 0044848986 3435406444 1894518091 0051955960 9354840453 0659688779 5392828341 4178608383 2825516019 1157309155 5187105473+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)
  (Root is negative)
• +1110359 7830117191 8568385962 7070592822 9935675110 8781892926 4527469417 2017678715 7644830782 0360612582 4867267137 2152549755 9522740852 0557493825 2599224031 3026529193 3969277588 8964629243 5912965357 1998903099 3608236441 4619598291 5712088373 5111281819 6054383438 4157317056 7027847319 6175599465 8127696918 1550425628 4313706220 0849301411 5606136290 5837521277 6650524152 5898594529 3623932296 7765851303 6964737930 0312071957 3525183595 7857774795 7828279584 7490847416 6955433691 7464776496 5319882584 0552375996 6837732298 8332243580 6012898137 0268706512 9002404310 5757713993 9325696287 9159702080 8467981460 9076519806 5070148891 3505256618 8698468962 5068490773 7088135798 0106741648 0666612795 8940845989 5660190124 7324159412 1671806407 0353187444 1993791572 6510591398 4664583038 6121090646 0682466076 6578205174 6781602070 7025774990 9956847651 2723150861 2851637658 3703042118 0202260838 7313203768 2591474692 7252049568 7970504740 8573124934 9413794601 1403839470 9958804609 9667952970 6876863285 7826974110 6474261062 4800606514 8085574610 2432461275 3762265969 1567147696 8536766863 1451431959 4407324713 7093708873 1666905997 4389407089 9047722407 1304008931 7981608430 2063598360 1367338623 9922335869 9821063584 7565725838 1092436488 6536463262 0904994146 4570630095 5607431828 1854515649 9348143836 2166031552 9408969928 2297304002 3676863022 6329290377 1539074304 3898389078 0639104357 7460149495 2037239113 3065958473 4038715736 2564973980 5200488779 2738159803 8054140436 7823361857 8968809900 9055260515 9427543082 3559394419 2311967536 2392757149 0068888639 8235854421 0787500879 8118415584 0163353529 7736239802 1385191436 1932603989 1158337106 5412326912 5159419935 0583224197 8056520138 3675241492 4599245257 5597477630 1165007539 5372868773 6751766129 2663379213 7815591053+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)

There are no integer roots of P in the interval (1,R), so the proof of primality is complete.