Primality Certificate for (8917^2689-1)/8916

This certificate uses a theorem of Konyagin and Pomerance to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 30.377017% factorization of N-1:

From this partial factorization, we use sufficient of the largest prime factors of N-1 so that their product F is at least N ^3/10 :

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 30.377017%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 41 suffices.

Express N in base F

As F³ < N < F⁴ and N ≡ 1 (mod F), we can let N = c₃·F³ + c₂·F² + c₁·F + 1. Let c₄ = c₃·F+c₂.

• c₁= 165532 8412839406 3071795962 3851518826 0023590596 1091475432 6818754298 6113712789 9419000251 5137593121 7964863786 6327734634 6191999273 6522665251 9067165203 3268945256 1798802293 1533781081 4065544083 1442585745 3141201341 7933576178 8104268906 3489866404 2119557893 5707855454 0066251680 8227144423 8032650250 2026766255 8920639944 0834051545 5229669726 4507664829 7094932895 6328303165 1620937167 7991757326 0612090244 7857710624 0026620459 0281355551 7463826915 9282381474 6308844705 8583519412 6220502267 2554965256 3811437802 0963474923 7432542050 3888341923 5677467351 1700153100 3283897269 4651417384 2325560655 0819337726 1856344693 8852340613 4474125887 8482498340 6513665459 6551455091 2089489396 2054932680 2277064943 6863586386 0125572168 8513210411 6568514263 5819195323 6537521335 8733967269 0999794671 0181447497 5450064180 0817187767 5695141023 2779219388 1708292581 4816964621 8072454509 1766133279 5060325236 5727944086 1615861732 8505041326 4558640823 4423852929 1108129813 4483771932 5253680424 3492458996 0645066306 4557239333 6009857499 4597068301 5149763772 8876876829 8075790975 2975178215 7115943439 4616985361 2077974224 9541995872 2375720722 7791675863 2778694022 4366231603 5436394162 1633923092 8685395845 0822789936 9335459255 8651730624 7902028128 7683238159 4202580913 5794866768 2004260821 9671262897 8157748159 1880208592 3953277253 8034462760 8200108242 2538182507 8238144597 9764737154 0588513022 9300154092 0412558116 0384280847 9843880933 6290424218 2225682988 4679271310 4565961620 2221780022 0073392066 7742470487 7144163731 9326449964 6902944854 8231703113 2843756873 2612649684 0782089281 6229476703 7466768207 2881252108 1052015368 9589130308 4604043895 5703775575 8197243003 7287198336 8082260068 1501519052 7835049426 5503359800 8887170751 9619060878 3371363270 1652021295 3959861192 1580454331 6083970334 4812498076 4518509190 8846610265 6699581715 7940584731 0973302185 6601181988 8223152425 4540738220 1594842429 2155938757 2244335227 9518983385 1021678356 0808328679 2955315361 9597704178 9311496930 2651021125 7912368888 3714796959 1508760853 7961993216 5545810074 5207800743 6376696369 2529789055 5082264218 8092032516 8871574295 4440369080 3958065989 5017397463 2437185100 5922372686 8374547826 9508176838 5692639917 6096624955 2208031658 8584420291 4036644366 2423966716 8916517128 1614559850 9215860639 8154545564 8722536106 5645875041 4457035667 8436014147 0219889065 9234745457 0910462881 3616293470 0813641483 1709846852 4139787721 0844711411 7532102741 2584176779 2644628530 7298437135 1711403682 2343009930 2563147466 6480514040 9264125117 0778005917 8534647233 8164557722 2109856575 9208648593 2953508500 7579250049 8384653809 1780017174 0436573750 6254451068 6405979082 3438773840 9214798589 9693780543 6388778785 6781410119 0435283258 9864184899 4747405235 9631440229 2910490162 5290845251 2287987984 5390297916 1089608290 5524397765 9925987685 1766056197 3493688307 2980871190 9396123328 6300603928 8502174879 1041966491 3111425309 2072762867 4539180557 3471766511 2289381360 8667647875 6478112474 7833948862 3479656147 9019184816 7794135631 7860094024 9113057272 0544772738 0457618161 4602952754 5341813477 2115907521 5119853233 1849589254 2588466025 0238283518 2603988240 1266681043 2354814127 1074309347 6073472394 9261561619 8549974604 4898531865 2390947455 7984754450 0680254409 1584745234 0355780961 6741728320 8044750078 3241728570 6183172884 5801302496 6033929856 7505833014 4257008454 4975475134 9531560359 7826031761 9533539779 3530294822 3212192825 9394086855 2754737529
• c₂= 66438 1079550551 0162140642 8216162709 0726644321 6017923797 8246547684 7227878448 3444347348 5598933674 2781599290 8026493684 1707101195 2145272772 9822131086 2751669360 1358436514 9694350933 9016445134 1387335319 2767452413 8834926328 5247723782 4017325345 5416746303 9843898298 7760843706 2928950175 7692386923 4714222826 9309994515 7783679112 4625495774 9530226665 0365263691 5309293817 9248824026 3650715647 1291824736 0982895724 2264000280 2372824866 4494492066 1030626980 0937992670 5205032686 3676278366 1958808872 7512743365 6477748333 6786905141 6410579716 0532196268 6345655306 6431931475 0095957740 9563299517 8084722529 7909229763 4673641676 0506961832 1189160844 6778847625 2815155947 0260643112 0701827980 9436463316 1084311615 1836006806 2643248213 3385984351 8430853789 9719170337 8266053560 3323163254 6727143183 3886336281 3354855612 2720765923 4349156848 4135720477 5855448431 5248832235 0578940843 5074740302 2314329944 5187217347 7205619258 3105426889 0976577290 4394029304 2718150370 6778642904 9474705603 8571800114 7170618217 3658425575 1048453916 5312708993 7501024151 6037463903 1893786881 7511323100 7919809272 5713951903 9672999210 6976068365 6280516249 0110228163 0119305378 3906852896 6512552198 4050394323 0485935234 2373740927 0653030503 9204625487 8301153054 1123292618 4302945540 6044864462 3214278004 0212553011 5047911439 6146217470 7032382313 9035466759 6251583511 8629161094 2597111928 3125058510 4084049690 3851461833 7893589375 0987471505 3337066142 8145189751 3030857085 8013151036 8376650076 8531770841 8476378712 6889392623 6911465620 4087262705 8365425560 8004659222 8312739405 6480647707 4487354000 6768888105 2309376092 7005586064 2974332034 8921806512 4875298226 5190370721 6197582062 6009465437 1933254773 0286662498 2871874779 1444000380 9924207916 3912702856 9038130194 4462016267 5567283073 4740616159 8609372030 7774060410 7115583545 8655234723 8244803689 1432941071 2164453285 2528579763 8101692470 3667281629 9349285587 1648244451 7268813077 2629050821 7891060201 1051420405 5518538996 4403654962 1056179077 9306989531 9481907813 8275425697 5988564924 2571644751 9581291190 6177430881 2982191710 1318563598 5449392088 0492754985 7550435826 7516700263 5358169828 9303290402 1389292023 0359794702 9905520817 7835496137 5700442383 6963612462 9198038597 6948943849 6066063586 8870316234 5588694736 1554773298 6603193162 5334425426 4841435247 1377452178 4551823908 4528129826 9807696436 0773294515 4232232460 2923850472 3316988033 9980520935 4317766382 5103457594 5904464907 6030226372 3792083717 2005424997 5967099271 1434313719 5447453701 0659542558 7860620123 3244808573 0051776849 3452276945 4275712466 9272916457 6438582908 3365716360 6246512097 8346895211 8515447848 3699779912 8187499904 7107074045 8947657153 7654019280 3099053254 3572563836 5160520909 2972545433 5150854988 6221191648 6824190465 3151502922 9185508793 3523435483 1468497482 5232440127 0533499144 7464590564 8104973167 5001664577 7570127242 5616491225 5327919010 2319988306 3850241002 6019302375 3957532084 5531731624 3917368944 8149974715 0479879379 5854317074 4131487841 3062375841 4346014418 2756702615 7555044265 5712720905 6099041957 7861623357 7318709720 1849923286 2847005044 2743233809 2228967542 5703502695 3173081377 7464082245 7104787673 5884063402 0086866309 5418681568 6173913181 1304421130 5929551530 3813342181 8023036681 0203901774 5766690027 7138537695 4260344341 9987592211 7532745655 2241661224 4499083850 8473860748 3212467941 6787304078 3617647595 6287398856 0463589636 5138937211 9595109483 6304623705
• c₃= 52 6990739310 5670042271 9450920862 9286702750 3919018051 0209899489 1691031561 5137359189 7670753357 4631812696 7091275471 8364060997 1462401787 7121222761 3672546344 1615157119 8338208237 1828277841 0424390971 3554462619 6236694974 2987546677 3328494721 7580130140 0785210280 8437223858 5146997405 2182566842 4378228849 9770801950 9419754348 0171992689 5777342061 4290533593 9431727226 1085238300 2865913244 5362597217 3167671683 4459916189 0343686021 1842004124 6256157997 0440780408 2545200892 7984730045 1176088101 5341763374 0615932276 0574142057 8275757604 9299145181 9602852936 1617715114 1719187978 0097498961 7536648973 1934463850 2305874368 5074232509 3796627545 3962245520 3080197122 7471093052 2277836770 9793289830 1535874523 0844083054 5801816149 5974025491 2861560367 0165802056 5914673370 3417402594 6299468575 0332895967 0156279461 2257590459 2784755453 8807280102 4897880067 8189468383 8199434535 1921979599 5925364055 7689355644 0408309145 7071465216 2194786412 3628217723 1296273822 6972577420 1628213406 0463241320
• c₄= 16239268 7458384236 8583001245 2584172996 7664536432 6838185088 0802230207 9039128414 5648143245 8367493754 6736356714 3988199640 6853562803 8250421275 0925726504 7543328661 9148379183 8415175520 6613802393 3337594671 3125726323 2875557772 8473064943 9211837966 0109991884 2943442921 1437731221 4205407484 0715159424 1037978742 5193107685 0874110411 8765915482 4499480804 2819671572 2381616997 4371618731 3028023720 4222602103 0120450181 4455519727 8212645655 0202302662 7327456501 2860278749 6442866991 2191246362 1740081326 8436215884 8164747762 8460327157 0184467039 2100222930 0378154265 3993124852 1688386617 1606602064 4413179470 4462659669 7471358343 7905122858 8711900376 5875667404 1765259413 2759066681 8232798329 6157430524 0506046418 2131198711 0049324509 4347825682 0387634329 8496383430 1874178679 4996645202 8839520650 2175582005 8135514136 3505382851 1640712229 2784783196 9197393864 2111182702 6834534446 6474148833 6715391618 3112084779 9035340467 1516326260 1354144046 6751295195 9068745970 0038296564 3762995619 0942005033 8062200525 1944400835 9516374574 1821354362 4141326866 6590763753 1568439372 5333510694 9870962918 6764427282 1676425560 7138634832 3771206167 4595895809 9472317380 4514528838 7588569852 0844136378 6088079194 1304721965 8539953682 3698362809 9795266009 8487978990 4005080449 4344859465 5153737093 8418842999 9562930154 8818391501 9469090225 3661958391 0367998169 7471496393 1375533268 8001882868 1055534814 0773567232 7798735298 9037914487 5698884662 6049782570 4963927561 3696651909 2641019664 6314897866 7537998122 8643546765 9735529891 5377397961 9565805554 4517101483 3001436122 4131606610 9398112479 2782944295 0383968758 4899256580 3281482331 5982880271 9614441022 0229331556 3511546859 3925777748 7607938450 3007193787 1063930597 8830825165 0027842038 0118696796 9865588640 3276713313 4152213529 1956167449 7945709954 9872814958 3655811326 6577614565 6153256055 6389798030 7463854191 7702013907 3901074381 3754595212 4310192265 7201758189 4952698622 8911677025 0204744702 5834659506 3179873688 2614735561 1024016658 4088022278 6956561559 5934404914 9263085429 0511554143 0381857790 5627759666 3127493608 1609055613 2608774535 4562421374 8108190382 4500045633 6970160909 2617734476 6150285871 4507201753 7483006947 0794514449 9432768378 0981524805 5966999244 7852970946 8425504926 9348454716 0170997414 0434713711 5885299058 2378026546 7635159193 1306079105 5896720947 5481292022 5044643967 2000609400 1965926831 6595960492 3462730348 1920569235 0293444528 8431707663 9545543222 2668256356 7089480657 7048500183 4842144637 3184062634 1837108974 2233034588 9301651930 7569745305 0508020325 9114046659 1120150416 0976275220 5324064071 6972461765 9017019748 6489363157 1094701701 6500296752 8147531471 6044574703 7726133458 8879146472 0287127379 4319821493 1183596010 1434471922 7778143320 2014718271 4983460900 6875461371 5066065134 2134177312 2330277380 1021823122 3809647506 1712484975 1660242698 5275958626 0787977415 4699143988 1462260742 3599002156 7488884223 2872581632 8496882858 4498155657 5145019986 1818144724 9768095062 3447571089 8508697584 2594859405 6170726007 1169436421 8954305174 8636222704 0107039541 5540654551 7798610532 3410445345 1762388447 2914447441 8704053198 0413064509 4800170620 9576003101 1910124785 5099882784 2950673352 4072124896 4956006048 3319958077 4655402781 6618806793 1196235244 4214215477 3697340778 3165672983 7606116488 5955448244 7049559106 0214751505 6412059766 1093633365 3031718405 3730957027 3290312853 4854123013 7706549469 7903405812 0408785545 1107165923 7120734638 0030558269 6017055933 9622470747 1400805243 8097615038 1805266223 0301978315 9935628041 7347392419 0523071991 6984230631 3497730665 5153534887 5018319132 1650015693 8442744703 7282100453 1847174858 1288939738 1476875103 8454498659 3976378350 0805015934 5822965192 9882621958 8779637810 3477286740 2908898675 4344306701 0172485327 7947014909 3673013511 0884442774 4640619420 6604137343 6401459891 6798352598 9780836669 8093300463 2049155847 8656750404 2832213881 7682680071 7655953767 3109298443 7097188079 1693950923 5143966880 2714376830 3864309304 2122500618 2916432971 8775208514 2473963665 4676997357 3799512043 8895806982 4190895171 3937589212 9972581180 1193018576 3762023136 1184462351 8386134604 6688927995 4224570567 3061953509 2409994441 7039858165 0935624863 0920630976 9053883407 9535340598 6289948732 1473164986 0950764276 9625559883 8897984337 8365401746 3283631505 7516847531 2375623729 9245680832 0087414795 1167754990 4166530965 4780885047 9614356938 1123690965 6754804380 3689149548 3988832053 2944086105

Square Checks

For t = 0 to 5, we prove that Q(t) = (c₁+t·F)²+4·t-4·c₄ is not a perfect square. This is done by checking whether Q(t) is a quadratic residue modulo a variety of bases. If it happens to be a QR in all of the bases, we calculate s = floor(sqrt(Q(t))) and show that s² < Q(t).

• Q(0) is not a perfect square: it is ≡ 13 (mod 64)
• Q(1) is not a perfect square: it is ≡ 27 (mod 63)
• Q(2) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)
• Q(3) is not a perfect square: it is ≡ 62 (mod 63)
• Q(4) is not a perfect square: it is ≡ 29 (mod 64)
• Q(5) is not a perfect square: it is ≡ 41 (mod 65)

Continued Fraction

We approximate c₁/F by a continued fraction u/v such that v is maximal while remaining less than F² / N^1/2 = 76 4680914760 6413350407 9419466670 0153267689 2933474528 3772308978 8189183890 6616860715 9208703833 2524105271 1146090444 5137687527 5346784942 5106852789 2358207988 5583078919 2336434495 8521978719 4223736271 6246043847 2045948898 0061849234 4106709388 7575448803 1434777930 4988729122 3136318304 8306954112 7799433494 5486251060 6271138180 9730072682 3110396204 5287010139 7110856408 1787041414 4362206754 5428758003 1203817461 6570024490 7474139556 3279816533 3363619052 7971912095 7141607345 7085625367 2858139237 9880740826 9849968804 1368698006 0007763653 9808502308 7122654363 9766242466 0023949193 9550400841 5740108327 5883086312 5797241773 9273044091 9139596162 3624527934 9401953919 9365447928 2567640361 0083250050 1124777439 5095581705 7570186709 1665279161 9203980456 2852042159 5409620750 1014216843 3770648857 2374273747 8496974175 0688527958 0768876972 7820154391 2815969650 3394319422 2056985206 1502546560 9493506617 2405980626 0407422289 9947909820 9199069263 7885407859 0847200188 7364367433 0479573449 9486690286 1209320984 8110717534 8293726596 9248373875 5760996732 4943057989 2802527231 3840033467 8785322613 5230417661 3763231509 8336811823 5766698684 4534821435 9441136841 8457057632 4409583042 8725079677 5828646074 6535001795.

With those constraints, the unique continued fraction is: {0, 1, 1, 6, 4, 2, 7, 8, 1, 1, 1, 7, 5, 2, 2, 284, 1, 2, 2, 24, 3, 17, 36, 4, 3, 6, 20, 1, 5, 1, 4, 7, 2, 1, 9, 1, 18, 4, 2, 47, 1, 1, 7, 1, 3, 1, 2, 1, 7, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 6, 60, 7, 4, 17, 2, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 45, 1, 34, 2, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 8, 3, 1, 24, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 44, 2, 1, 1, 1, 1, 408, 35, 1, 4, 2, 2, 8, 24, 1, 21, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 20, 6, 2, 3, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 10, 26, 9, 1, 2, 16, 1, 4, 6, 2, 1, 3, 5, 30, 3, 11, 1, 46, 1, 27, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 38, 2, 2, 1, 1, 37, 3, 1, 1, 14, 1, 3, 1, 3, 1, 204, 21, 3, 1, 4, 2, 1, 3, 20, 1, 2, 3, 6, 2, 1, 2, 15, 1, 10, 1, 3, 1, 1, 29, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 1, 3, 16, 1, 7, 6, 29, 1, 3, 1, 1, 9, 3, 5, 3, 1, 4, 2, 1, 18, 3, 13, 1, 4, 2, 1, 14, 1, 1, 13, 1, 4, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 6, 20, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 9, 2, 2, 1, 19, 5, 7, 1, 16, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 7, 1, 8, 15, 1, 1, 4, 31, 5, 122, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 108, 1, 23, 2, 1, 2, 1, 2, 5, 4, 8, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 46, 4, 3, 1, 4, 1, 3, 2, 65, 1, 5, 1, 15, 2, 2, 5, 1, 1, 1, 26, 2, 1, 108, 1, 12, 2, 1, 1, 20, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 3, 1, 10, 1, 2, 1, 2, 18, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 1, 6, 2, 3, 26, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 11, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 21, 1, 2, 7, 4, 3, 1, 1, 20, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 4, 2, 3, 1, 10, 3, 1, 16, 1, 2, 1, 20, 3, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 2, 1, 275, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 20, 18, 2, 7, 1, 9, 1, 7, 11, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 626, 15, 9, 7, 17, 4, 1, 1, 7, 6, 1, 47, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 3, 4, 1, 66, 1, 1, 5, 3, 3, 9, 1, 5, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 5, 7, 1, 1, 27, 1, 3, 1, 24, 3, 1, 2, 1, 7, 2, 5, 10, 1, 1, 1, 5, 19, 1, 2, 3, 1, 7, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 139, 4, 1, 1, 1, 3, 6, 1, 4, 1, 11, 1, 1, 1, 51, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 22, 1, 9, 1, 209, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 61, 1, 1, 1, 6, 117, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 2, 52, 1, 2, 1, 10, 1, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 53, 1, 12, 8, 2, 1, 19, 3, 10, 8, 2, 7, 10, 1, 1, 10, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 16, 1, 65, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 1, 3, 4, 3, 4, 10, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 9, 1, 4, 1, 8, 1, 2, 3, 6, 4, 23, 1, 20, 9, 36, 24, 4, 2, 1, 41, 2, 38, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 28, 1, 11, 28, 2, 4, 4, 2, 1, 68, 23, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 1, 4, 4, 1, 1, 15, 1, 1, 15, 16, 1, 1, 2, 4, 1, 5, 1, 1, 8, 4, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 5, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 114, 1, 67, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 2, 8, 1, 1, 3, 5, 1, 6, 1, 10, 2, 1, 1, 3, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 17, 2, 4, 6, 5, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 22, 3, 2, 2, 2, 35, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 5, 8, 5, 1, 2, 5, 26, 2, 3, 5, 3, 22, 21, 1, 13, 1, 1, 3, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 14, 56, 3, 3, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 10, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 7, 8, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 7, 2, 8, 1, 24, 3, 1, 30, 1, 2, 1, 2, 7, 5, 3, 2, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 3, 1, 9, 1, 1, 7, 1, 5, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 54, 1, 7, 1, 1, 2, 23, 6, 1, 11, 1, 2, 1, 23, 3, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 28, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 1, 23, 1, 3, 1, 8, 6, 7, 1, 4, 1, 3, 16, 9, 3, 1, 6, 1, 1, 3, 5, 6, 1, 4, 3, 5, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 4, 8, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 9, 1, 1, 13, 1, 1, 13, 7, 1, 4, 4, 22, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 5, 2, 2, 50, 2, 2, 5, 2, 1, 3, 2, 1, 21, 1, 1, 4, 3, 4, 1, 5, 1, 5, 3, 1, 3, 3, 8, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 393, 54, 1, 5, 1, 2, 12, 6, 1, 2, 53, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 2, 11, 1, 4, 16, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 28, 2, 5, 1, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 59, 1, 7, 1, 7, 5, 1, 2, 2, 1, 28, 1, 2, 1, 4, 2, 17, 6, 1, 2, 1, 12, 1, 1, 309, 1, 5, 1, 3, 2, 1, 8, 45, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 17, 8, 11, 3, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 31, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 12, 2, 1, 2, 21, 1, 48, 1, 1, 3, 13, 1, 367, 5, 103, 1, 94, 2, 5, 1, 2, 34, 6, 2, 1, 5, 2, 1, 30, 2, 34, 78, 4, 55, 2, 9, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 15, 29, 2, 1, 13, 2, 7, 2, 1, 1, 3, 6, 1, 2, 2, 1, 8, 19, 2, 1, 3, 6, 5, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 69, 1, 1, 3, 4, 2, 36, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 1, 7, 2, 7, 1, 1, 2, 4, 16, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 11, 5, 2, 2, 3, 1, 1, 12, 1, 2, 1, 13, 1, 25, 1, 2, 23, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 3, 5, 6, 2, 39, 2, 3, 2, 140, 1, 76, 19, 5, 1, 10, 5, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 15, 6, 2, 17, 7, 4, 64, 15, 28, 20, 3, 3, 2, 2, 36, 10, 2, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 4, 3, 2, 30, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 10, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 556, 1, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 3, 10, 1, 2, 20, 1, 14, 2, 2, 2, 1, 6, 22, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 14, 2, 6, 1, 1, 18, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 3, 1, 9, 1, 13, 2, 3, 2, 3, 3, 23, 15, 1, 133, 174, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 4, 2, 10, 10, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 13, 145, 1, 1, 14, 158, 3, 1, 1, 1, 3, 7, 2, 1, 1, 21, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 7, 11, 1, 34, 1, 5, 1, 7, 1, 4, 11, 7, 1, 75, 8, 1, 1, 1, 6, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 6, 10, 1, 2, 5, 2, 1, 45, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 55, 4, 1, 4, 2, 2, 1, 38, 2, 84, 1, 3, 5, 2, 2, 2, 7, 2, 1, 2, 5, 4, 9, 4, 1, 2, 1, 1, 16, 1, 9, 1, 7, 2, 2, 1, 2, 10, 72, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 67, 1, 3, 2, 1, 1, 11, 11, 5, 61, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 11, 19, 1, 31, 3, 6, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 30, 1, 4, 3, 9, 1, 4, 1, 23, 1, 5, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 6, 1, 1, 7, 3, 1, 2, 6, 3, 6, 1, 5, 8, 1, 3, 2, 1, 11, 6, 2, 1, 33, 1, 8, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 20, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 41, 2, 16, 1, 3, 1, 4, 1, 2, 3, 1, 3, 1, 20, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 1, 58, 2, 2, 76, 1, 1, 5, 1, 3, 3, 1, 2, 14, 3, 6, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 11, 1, 3, 1, 6, 4, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 14, 5, 1, 20, 1, 10, 3, 27, 1, 1, 1, 1, 34, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 12, 1, 7, 2, 7, 1, 13, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 30, 1, 19, 1, 1, 3, 1, 2, 21, 1, 20, 12, 88, 11, 1, 27, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 27, 1, 4, 3, 1, 8, 1, 13, 3, 367, 1, 1, 4, 6, 3, 9, 40, 1, 3, 1, 4, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 1, 2, 5, 12, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 56, 1, 7, 13, 3, 22, 1, 1, 1, 4, 6, 10, 36, 2, 1, 30, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 7, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 32, 1, 2, 2, 1, 5, 566, 1, 1, 17, 3, 1, 5, 1, 2, 1, 8, 7, 4, 4, 1, 1, 1, 63, 1, 1, 8, 1, 54, 3, 1, 2, 2, 5, 1, 1, 1, 4, 1, 12, 48, 1, 17, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 18, 8, 1, 10, 1, 1, 3, 5, 8, 1, 1, 1, 3, 6, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 9, 1, 6, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 2, 2, 2, 4, 8, 11, 1, 1, 3, 1, 8, 1, 2, 2, 48, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 16, 1, 2, 2, 1, 1193, 1, 1, 7, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 16, 2, 1, 4, 669, 3, 1, 5, 2, 5, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 14, 1, 4, 2, 20, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 8, 18, 22, 1, 1, 3, 1, 2, 7, 5, 1, 1, 1, 1, 3, 6, 46, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 32, 1, 5, 1, 25, 16, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 14, 7, 2, 1, 1, 12, 2, 10, 1, 9, 1, 3, 7, 28, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 124, 7, 1, 3, 148, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 5, 9, 1, 44, 2, 3, 28, 2, 3, 1, 1, 1, 5, 2, 9, 1, 2, 1, 7, 2, 5, 2, 4, 8, 2, 3, 8, 5, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 25, 1, 48, 1, 6, 27, 1, 2, 431, 8, 18, 9, 2, 2, 2, 11, 15, 3, 26, 1, 1}, giving these values for u and v:

• u= 2 7191782978 2450377565 4221317689 9334998323 5850078187 3115260008 4567150187 2324081523 3017353892 1830987150 1982449472 9454432567 8717580679 9139027509 7002696804 2400852310 7780257229 4896556475 9490762151 7627788367 1538322297 6820607448 8844220165 8263991883 2997519628 2224642302 5945592230 5673508696 9607389189 7429512798 6892174313 6192366843 1355089598 0577532710 3623533162 0033109463 1442754667 7631867253 7752934067 6087429342 2397221847 9172582553 7117493003 2297220227 2346005175 6806020581 1041346452 1104968605 5380983504 8092877121 0252089279 5835516385 7611145514 6981224071 9794503440 7664658213 5240352902 3710962763 9566732341 6876022878 1981767749 1735890774 2292196995 7589967955 8033960545 0317802842 4508558648 6946763339 6401784036 5707308736 4933673302 7077434932 3979902078 1369329668 3741929628 2028490198 4316048690 4164789458 3460461248 7553419867 3426888108 2115877526 0157223041 1675893536 9098859999 9412230924 8863372399 5441639464 7422966485 0301620418 2277754962 0804558011 9193185167 4890582783 0026781560 2337099942 0312232959 5800941884 8242049489 3417098080 3331829933 6572193550 8241127093 0298889963 1327112942 8609428014 6041023452 2654905070 7354100937 3539962704 9883115387 8193478417 8235506487 3217674271
• v= 5 0619400970 1881959151 6860470056 4506984609 0176664627 0953939017 8898938394 4697222240 0429396303 2350319990 0429535982 5139487854 2412226370 0901256440 8330086355 9749581853 8069733822 4721907793 7690652776 8239905583 9504759972 0956905510 5432962301 9176933311 7392448305 8969288487 5810167359 7841146988 2596857128 5227377778 4904688708 7518163541 2231132075 3028169911 6324410364 9385157618 9027758155 2452004431 3988946833 2119242844 9770345788 1134473689 8984599749 7483269185 9179338445 7476672138 3231556926 8796273280 9742414010 1641960920 0198852831 7247759184 5969980867 0873203141 4084288394 5729439956 5315509499 0215605116 4056581150 6518566820 3088842514 6588233707 5792157180 8542257710 2883471671 3079837379 7985717051 9839991230 6005757019 8791470667 2107685562 6562195498 9801699299 2259764747 2467336059 6522609429 2039485220 5825436577 6303439912 9938668711 7279026825 5976628060 5693925988 3770782180 3385353401 7098975748 9756714321 8715557384 1171089175 3683735837 0151226696 7981595088 3594848073 1411704832 4917782525 2948597414 6934697063 0204084078 8648151485 7618375956 2080661774 7716681790 2747241955 1822431026 4131972136 4679303610 3139704214 0687321573 6108937516 6564473443 8632213594 0121352649 6245215855 5579563657

… as taking one more term in the continued fraction would give a value of v of 129 1266460734 8903046324 0013819120 4110292461 2540500375 4217972515 9830982712 5731863336 7873661559 1432038014 1987530865 9846739022 2001370804 7986505826 5386585910 8119074032 1270143749 8197576776 8295935083 8015450805 0878089353 1188380406 2948759490 2412168231 8683607978 2186748031 4594267571 5266549853 8459028055 9007577348 2735595014 5772039332 8964546680 8015291228 5255355615 6171571014 0985167866 0723151754 6780442311 6692120702 8857741745 1967964971 9317519122 1971722641 5891662437 3193281032 9359779183 8450830095 3447504982 6614196849 9440585137 5347780888 1813994602 1240997693 9976334677 5776169873 2207477566 0244434680 4076797098 4820665154 0053775019 0985568135 1808444884 0111442909 8438448112 4271993997 2368362423 3557912912 8186148402 4832692858 9003701653 6435276335 3356228165 2071579940 5348570960 5922864949 0792440505 8879473191 7878506875 4482843774 2405558239 3027709446 3781804503 3139342278 6267076405 6173974716 7369069140 4422681307 9698260744 1432605458 9962894895 4883520956 9724752536 0068900274 0435644583 2190981823 6935208375 8923781437 6401781739 2568782072 8135861952 7312572508 1504858292 6814070367 1558085866 8919486701 8128966128 0636545849 3011863146 8541586409 5173355054 4848924245 0859260846 2958114675, which is too large.

We also need to calculate d = floor(c₄·v/F + 0.5) = 266 7595554073 7510049497 9755821450 3529597781 5155264291 3827321750 5873912258 3040915052 4979991730 2612659613 3868965536 1673185605 8310428104 5007897057 6228750898 4624536900 9047744525 2932631019 0861092721 7166173102 3719889015 5902283576 8406470266 5088793459 8626670169 0772115516 6421064420 8427781913 6441378122 5577058753 6864890517 8841825890 8867896773 3828759911 8991850202 6467191675 7098641538 1355522876 3663377996 4620377059 5475055997 5864206396 5502166141 7839122856 9502249485 0270736815 2837949496 1207152068 4007080749 8321881968 0045607156 1071234560 1196211338 4065448625 0622988829 8994776312 1026422805 6835372744 1079306809 0195411591 3619011973 6947959883 0294488125 0097682620 6969458342 1618379581 5578757311 4778628754 0101400277 0233444001 3075427979 7786277517 5185541722 5562006518 0296935393 0722693835 5887115479 0500002625 0475883620 6640989506 8572972857 0949759293 9476403000 8980953814 6032095420 3499839040 2372419518 0976550876 3718565507 6761682802 6882167820 0765496846 4608212527 3718159140 9947353371 9647906350 2890973156 7789035087 3286263288 4065618192 0480206873 8340045996 2848561076 6763735909 6005337349 1758447152 0971150363 2298187894 2088556690 2781597327 5559990556 7337593149 9672711649 4197140420 0576028860 2301450050 4489761566 4971980202 5868106525 1020316853 6328434727 4723743748 5367123104 7920544530 2738413601 4749803246 8814395999 8443599262 6937165733 3683860007 2579912205 2546683095 2959734828 9383473919 6966554961 9229409580 9695200613 6287479535 7335077885 6021359566 1648148228 9054752088 3039148618 7042597377 5287457717 7030931615 4815900280 8937168480 8796578252 2467008135 1389685426 9438752685 6098535104 3595951306 0590969442 8333719228 3966025575 7492943050 5677858679 0525155151 7775167934 1209127652 2218408423 1478748697 6686480161 6212548578 7702300441 8442128386 3160712377 7265551932 3382452495 6571200519 8172493235 6204153855 3949429033 3782181372 7974633337 9171587341 2529980259 7776839095 2677260647 3903506769 0905189611 9619702997 9416304028 8983555286 7842105231 8467192026 1240100308 4980849592 4839510167 3987218968 7334759503 7173437985 0574874351 6813859156 5190840201 2461416585 5165969006 3931040035 5662835648 7538407534 6990776236 0347424742 4988953094 6345933115 6682062379 8186007182

Cubic Polynomial

We now consider the cubic P(x)= v·x³ + (u·F-c₁·v)·x² + (c₄·v-d·F+u)·x - d, which we express as: z₁·x³ + z₂·x² + z₃·x + z₄, where:

• z₁= +5 0619400970 1881959151 6860470056 4506984609 0176664627 0953939017 8898938394 4697222240 0429396303 2350319990 0429535982 5139487854 2412226370 0901256440 8330086355 9749581853 8069733822 4721907793 7690652776 8239905583 9504759972 0956905510 5432962301 9176933311 7392448305 8969288487 5810167359 7841146988 2596857128 5227377778 4904688708 7518163541 2231132075 3028169911 6324410364 9385157618 9027758155 2452004431 3988946833 2119242844 9770345788 1134473689 8984599749 7483269185 9179338445 7476672138 3231556926 8796273280 9742414010 1641960920 0198852831 7247759184 5969980867 0873203141 4084288394 5729439956 5315509499 0215605116 4056581150 6518566820 3088842514 6588233707 5792157180 8542257710 2883471671 3079837379 7985717051 9839991230 6005757019 8791470667 2107685562 6562195498 9801699299 2259764747 2467336059 6522609429 2039485220 5825436577 6303439912 9938668711 7279026825 5976628060 5693925988 3770782180 3385353401 7098975748 9756714321 8715557384 1171089175 3683735837 0151226696 7981595088 3594848073 1411704832 4917782525 2948597414 6934697063 0204084078 8648151485 7618375956 2080661774 7716681790 2747241955 1822431026 4131972136 4679303610 3139704214 0687321573 6108937516 6564473443 8632213594 0121352649 6245215855 5579563657
• z₂= +2342 4030578171 9619911933 3945723783 2998493964 3044091005 5725384015 2636013441 5175337915 6349916139 1176898334 7773119161 4976254143 9330694019 0001043008 0396770258 2461170053 5390401675 8715818973 3675907045 6239120866 2381416317 8500329768 6278839073 9411890800 5198244357 0850405090 8059746628 4185355289 5131744380 0010991835 6578561317 4639563633 5539248220 0036012104 8216538651 8280856723 1465995295 8414385088 0207470909 5510583062 6866575246 6100864851 3867660288 3894246493 8860592039 6916445117 2210934101 6178002874 6090061680 3891349441 0297398206 5663838321 6062806716 9709345907 3446893302 4807261347 0392987408 3849897789 9419192436 9888321058 1883070669 7377128422 2794041669 7563134969 6256161861 0136199656 2978918581 4589775547 0288524644 6089043344 0026878551 9540837600 9147585697 5538369511 6900769502 0402136595 1886855368 2134104462 1246301915 5001674627 0165096934 8703494761 1168799375 8756185686 2402043344 9144830213 7727058698 5862265245 2927280607 3815928991 4180457012 6183603236 9555884543 3129333707 8555147468 1157212054 1510533881 7761037827 8685146257 3041208388 0381601531 7408170055 1780660889 0864544150 7673464296 3170786697 1489321648 7242894844 5317671877 2094752782 7513124620 0933397622 4679259656 3101640859 2790367410 7107159839 9632234212 1188564408 5180654340 5159171618 3298178026 2211120036 7060311278 1858913366 7904818600 7073923192 5645583397 2806516655 3052008168 7702757331 7212715270 0429908829 9335005919 1787208554 5414573197 0634993448 5724283868 2552971492 1610663320 4906046153 4428411237 0435364747 0906255116 3014703921 8335164734 6096309550 8978889760 8925747120 3288723287 1624919934 5772347884 2479569737 9533038631 5098630396 0385782368 8050627307 7720612026 9684908898 2109019657 4714524144 3315365952 5896744543 0147701953 4678774287 8154705003 8867279640 8946538303 6198401821 0773391081 4136753273 1077729911 2674368174 2144190893 6910114106 0908601470 4199815126 6379473305 6038022076 6383826153 0300559146 7277195351 9341599260 5603938892 2533450616 9831062485 3784727075 6990532228 4229588923 7519599059 5472313573 7541113971 9722725755 1518626967 0505630702 3018543581 8017470578 0939125048 4637365164 9978862456 1476390236 5800612543 1259859998 4341267077 2750328795 4143516164 8020709327 9807031535 5629055167
• z₃= -143837 7068283593 1740594798 3115063046 0279839611 0209500110 2925372341 1984712673 3678759720 6922782788 5192115970 5626973370 5731608117 4733479421 1350812189 1639561727 8479447538 5173348019 7817588064 0945574363 9889512772 3113087342 6056332810 0806191248 4431500827 8357325533 6969353021 4862016515 2135257970 8858287671 9068450714 3444804583 7997395862 8648225805 2791648927 1090174015 3799973325 8818298768 7460219647 8449991314 8077284377 8462207733 6700046317 4572283964 6550187192 6956905324 9968684270 7350919974 5641404807 3157439975 6696646423 1854396930 5284790372 4165587957 3509408981 3598857430 7145264338 0416030461 9478216849 4668134839 4067935835 2995401811 0883157466 8005832349 1127009318 9064569205 6517679884 7015884567 8256291463 8024068479 6421100295 7974229040 7985556028 6309320796 5345791233 2342558571 0670635491 7811905709 3191939851 6788695773 2220424252 9287586931 8104796142 3166951752 8312227772 2829481903 1699393266 1091323493 1285473990 5238766287 9138018358 1915837649 2873871827 1649540282 7094369661 3194057278 2666102705 5622708683 1859926847 2772222534 8358423623 8285451176 2886154578 3387411986 2900124170 6345708870 3537531184 7893364036 7743705005 2963579673 0616165344 6196673030 8329574831 7811835729 1278646383 0138394874 0090113107 8825329487 6422159435 1079218097 5827124034 6918870826 6120253651 0633127718 2039079835 9530626699 2101432773 9384465474 5883054054 4193363317 6839878162 6966925026 9771589349 2688982963 9477195145 3484409538 0799629698 8753576674 2062579371 7729626233 9448612993 7454453614 6388866120 0712472490 3221386471 8224543695 8625743283 1509406342 8055970532 6915040333 5804457584 8805407534 9165991462 7276412819 3141353118 1082880874 6637795923 8399209694 1373262978 4193667830 6469719828 2834028321 3532180988 2483311794 1816444395 6150394947 5142473999 9758630421 6564521912 9880205664 4891928607 3049854827 1673675553 8974983354 2093037980 3041594337 4792912373 7383678007 7086046989 0700625603 6586140072 7969618744 1045448932 6021141008 0308107813 3292535736 4884404693 7123812308 8640245742 4941624335 6033234933 7553006729 3383616349 3291360660 2342124373 5234548531 7481261371 6648858452 7508898181 7580330915 8196356149 8939744300 6940888530 7969528933 7395508232 1657144362 1456670569 3482903640 9888313199 5791541871 9171391016 4836373739 6621301473 9509638914 1034225298 2009038068 9409915406 5156087118 7290040591 1680739716 6472531023 5567309130 2939210401 1938036229 9931989947 1079094921 4265074671 1501545867 9228105610 9707602803 3539929107 7718485117 3486420526 8786791050 3034925819 6152364403 4647946713 0117915845 6532566827 3434838512 8093803815 6189353784 3050648154 5944400606 3191423044 6093542485 0836699580 7771491422 1327458237 3774680974 5534903959 7909715998 1355425368 8586186180 8108463056 0100403504 5824694787 2477445712 0722667986 8328557962 7129589917 1288343531 3181178152 1850935631 2041217156 0066446367 2037058411 8252285283 6321627283 8271840465 1050174203 1910657225 4615759071 1844341186 5020576308 4004343996 0545691223 4474996071 3066980359 7024659737 7593285376 3297457288 4514772590 4371416244 0950717167 4208349893 7007078974 5631813189 0961167029 3602678182 9222334088 8585457362 9307795579 1804679161 0492717051 4136645088 6694558774 8885751129 2250142647 5388869322 7716971718 5375398757 3134784584 3789541395 5271412092 9207619693 5968354404 8597091231 1470588810 0532309506 6298584423 9821583507 1879173667 5984081931 8301845737 1199203011 0511039975 5274116388 2081154534 7631287604 2897720880 6352669170 0915761984
• z₄= -266 7595554073 7510049497 9755821450 3529597781 5155264291 3827321750 5873912258 3040915052 4979991730 2612659613 3868965536 1673185605 8310428104 5007897057 6228750898 4624536900 9047744525 2932631019 0861092721 7166173102 3719889015 5902283576 8406470266 5088793459 8626670169 0772115516 6421064420 8427781913 6441378122 5577058753 6864890517 8841825890 8867896773 3828759911 8991850202 6467191675 7098641538 1355522876 3663377996 4620377059 5475055997 5864206396 5502166141 7839122856 9502249485 0270736815 2837949496 1207152068 4007080749 8321881968 0045607156 1071234560 1196211338 4065448625 0622988829 8994776312 1026422805 6835372744 1079306809 0195411591 3619011973 6947959883 0294488125 0097682620 6969458342 1618379581 5578757311 4778628754 0101400277 0233444001 3075427979 7786277517 5185541722 5562006518 0296935393 0722693835 5887115479 0500002625 0475883620 6640989506 8572972857 0949759293 9476403000 8980953814 6032095420 3499839040 2372419518 0976550876 3718565507 6761682802 6882167820 0765496846 4608212527 3718159140 9947353371 9647906350 2890973156 7789035087 3286263288 4065618192 0480206873 8340045996 2848561076 6763735909 6005337349 1758447152 0971150363 2298187894 2088556690 2781597327 5559990556 7337593149 9672711649 4197140420 0576028860 2301450050 4489761566 4971980202 5868106525 1020316853 6328434727 4723743748 5367123104 7920544530 2738413601 4749803246 8814395999 8443599262 6937165733 3683860007 2579912205 2546683095 2959734828 9383473919 6966554961 9229409580 9695200613 6287479535 7335077885 6021359566 1648148228 9054752088 3039148618 7042597377 5287457717 7030931615 4815900280 8937168480 8796578252 2467008135 1389685426 9438752685 6098535104 3595951306 0590969442 8333719228 3966025575 7492943050 5677858679 0525155151 7775167934 1209127652 2218408423 1478748697 6686480161 6212548578 7702300441 8442128386 3160712377 7265551932 3382452495 6571200519 8172493235 6204153855 3949429033 3782181372 7974633337 9171587341 2529980259 7776839095 2677260647 3903506769 0905189611 9619702997 9416304028 8983555286 7842105231 8467192026 1240100308 4980849592 4839510167 3987218968 7334759503 7173437985 0574874351 6813859156 5190840201 2461416585 5165969006 3931040035 5662835648 7538407534 6990776236 0347424742 4988953094 6345933115 6682062379 8186007182

We need to prove that this cubic has no integer roots r such that r·F+1 is a non-trivial factor of N. Clearly r (if it exists) must lie between 1 and R.

The real roots of P are:

• -1+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)
  (Root is negative)
• -168 5690637041 7448138695 5938511987 2828270130 0138026783 5438183571 9793335041 5262693002 8209534777 6092735057 5399007320 3130052604 1991674329 1280152447 3557902970 4760138635 8679985078 3223151066 6038139201 2480359913 4210741986 0576891940 8024214614 6837309779 6244159383 6707466049 1648540397 5428936099 7415438349 4908162502 0350362123 1462965908 9792095755 1492936000 7080924830 3174208666 3351766059 8542610358 7133291081 2462893381 1831406524 6372303946 7941497940 7270908343 6467118521 7121186014 3571298036 6482354580 5645369833 7822168675 0559082059 0638017347 1222867684 7139497596 9777986868 3622317950 9228770622 7272983041 6594169391 4862375911 2941946472 0748997355 7095383284 7619056421 1603679437 2892481790 6622381194 8513046786 1877213432 1368642785 3419349387 5303364984 5654731493 9525833807 8345786034 4224303089 1726197938 4167450875 7930983623 9229530552 2953860892 5266567428 1217349380 7569363389 3537159333 3334806732 1028115185 5993827822 2236981564 5983582321 9231780731 9360792207 1807267359 7075037820 2284901241 1634703194 2290168724 0585070409 5015420874 8410725751 4389321136 8883467394 7912637582 2631403787+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)
  (Root is negative)
• +168 5690637041 7448138695 5938511987 2828270130 0138026783 5438183571 9793335041 5262693002 8209534777 6092734594 7918213549 6958708904 7535738041 9026863745 9689524091 2480704095 0585572612 4196158138 8799120786 0367951185 8066709863 7242124881 6083256158 3792571505 9943827106 8013267120 6054616820 4250218488 0595349626 9496746512 6808615635 0425518035 5651019688 2968290452 9894992877 5636600453 9394074264 4266351931 6095954432 3973029224 0932000798 8493242736 3445124292 6480604664 5069548082 9175573448 5461218204 3037022432 5065716415 2409131992 4243124479 0205628624 9493432843 3897705640 6211314488 0787158031 4770503907 7325928529 7055234359 6049653411 1175013232 4588007065 4683403998 2209627813 7575455006 2283478909 2403045609 4663916355 1914753601 2029882415 1264124774 0929802495 9888642458 0185105627 4019246076 0817115836 3003101935 1615465213 0258645914 3540008593 1259807406 4419178456 8315308620 0434320244 8037547276 8184791254 6277372945 1432495515 5078115301 7912377878 3229524704 3295896975 8042583672 9273637049 9374994459 2191213387 6433955394 9893226515 6601720039 4552906795 9500671167 4568729059 2027391423 9945128903+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)

There are no integer roots of P in the interval (1,R), so the proof of primality is complete.