Primality Certificate for (10986^2857-1)/10985

This certificate uses a theorem of Konyagin and Pomerance to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 30.042039% factorization of N-1:

We need the product F of all the prime factors from this partial factorization:

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 30.042039%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 105 suffices.

Express N in base F

Let N = c₃·F³ + c₂·F² + c₁·F + 1. Let c₄ = c₃·F+c₂.

• c₁= 6548880 5397751142 3837210145 3258085891 1254605773 4218923145 5884634972 8099707943 3866561492 7489180087 6807974790 7118546001 6439487436 5089340894 4182871347 1790059828 7456834549 9841751328 9542571922 2969309206 3281848556 7163992018 5763332418 2832718918 6161667082 0955712244 1080863451 8162018163 4720060688 9280572756 9995468724 8448887657 8278150644 5094630524 9672143243 6963131598 5551516780 3779678248 6876413870 7633408520 7312960569 5102759240 2995451179 9978628378 1101476930 9475392492 6507476355 8245585012 8548178406 4356855920 4504607597 2205611461 0130966058 5785251731 3440585652 9000630106 1980117191 5361949327 1181944586 4728968032 7248209088 3557423232 9197136280 2320347203 4513847679 3660574087 4022255268 7991970222 7401320355 1274952123 6523476249 5545868338 9411022158 8273879453 1829803456 7137057842 7403184318 7253272710 3626024936 1682608982 6391231250 9686192455 0301663700 2755565439 4965116295 7161752721 3011481042 4519468379 7731619135 0056253544 1270025035 9290344112 2312764613 7511366808 2229978696 8726514478 9083277724 4483529461 1904325078 1049567410 1352553893 1428118039 9186056797 7591593918 2883756102 5096956554 1340094885 7901595632 7895529526 8468577977 4491106380 9776951739 5898928294 8829690990 8869352776 0711885513 9842921448 2981453033 9233785259 2770520518 1657515865 5486595426 6481561820 6380826969 6193538199 0354110058 7303370755 3216041935 7861180219 1629280790 6197864473 3151063154 3786654414 6132288251 7735939422 8253304253 7582649093 0993057435 4700072652 3243321564 3124137799 4415182769 5386995194 0967042874 5810915912 2624064178 9870775234 6207980974 0115228412 2989389056 4791485831 0276718416 7092134939 5232830714 9276438380 1156502863 7277007095 1753402789 7761812337 9452410710 5929949064 6528836362 3440984072 1756546914 1649942974 2802808777 4493769991 1811506770 4681047101 3173593091 1795812839 0774215298 3926000709 4771652084 2713249436 1956374423 6611316175 3623599473 0155387314 9184351064 3059747039 7826569374 4390807068 3642989309 0788326382 9395234385 5064841426 4709412783 1072111775 9287784293 3166026383 6974048732 4825379819 7906156474 4670001769 1528866406 2012387105 2092457800 1253024553 0903448337 3420568266 9534366042 7045728347 6220393169 1276455457 7817231029 2959188147 2079544989 5711871443 7944673490 7451664227 4265081376 8750733639 1856554512 7706834730 7035974453 1665351392 5493466778 7402932335 0622476840 7143712115 6206085672 3699769065 2891627065 8325809997 0131321426 4562545660 9439063549 5229936822 4013082874 3790772455 5418543598 8836009878 9628675041 4559929256 8010510949 8561663878 7601247876 3029359153 2336321837 6474620122 1910591193 0702310474 0950814517 1609731302 8641329932 3915215879 1797056679 8754383170 6964800188 7809335443 1043561392 5880274834 9504649608 7380487273 4771687861 5974979546 0480062999 6429929691 5517817336 2237575445 7733294919 6015854584 6074950083 2610474473 4013993265 9324831666 9454862344 4686042921 5521844644 2376561160 8134416155 2145253541 7537109390 2871613671 9442141675 9548891555 2093531972 8560887478 4880763785 0921742414 7637128727 1631958328 9320340556 3156205308 2439193022 7127767644 1502907291 2214375416 5484948750 0388080962 9239772031 3177697230 4289152346 5402709935 1145969053 6536455391 0816496664 9850391383 6555713703 4396819521 0754051894 7055529858 9180414876 1451411068 4607167540 6802145642 8419002224 4302420910 6626796432 1011500439 1496590327 8423046202 1262228857 0208628898 1561213443 5999553787 7394003388 2178178691 9807770331 1826520413 1440882536 3933046048 8007360007 5057158333 5514074011 6093782701 9693668288 2991814990 8446630148 2041531591 7610283950 9174923686 0059800851 8231919147 5001043079 4731511406 3841773105 6454315839 4138580215 3321248757 0598821095 8445426321 9024338346 9785875314 6729412528 8732161741
• c₂= 8862869 9330025225 1962917641 0056681542 7379295322 7013458248 5060610549 7970045412 5283045196 6187353963 7930835871 3471046713 1226892765 2674231349 5546399305 4893762189 6320706269 4205166015 1152285156 5402685128 7745894395 7473237477 7671978104 8452986578 0325293947 3652723872 9758368962 0229709112 8139917431 9114101513 1957719260 0674833430 4957062433 0975764180 7395941212 9614857851 7555247621 8625355159 2023429372 7329071437 0730957219 9569532397 6602656195 5075333988 8090489438 6423046309 5519400025 3234905479 6142688676 7870828942 5175112156 7741633170 6951018022 5512875958 3864310652 3038654576 7860860494 7351896033 1872923807 1486830486 6038181693 3121280669 2347326376 5706069911 4324181278 5623566985 5079792570 9696833263 8921785165 4385425151 4685499446 8104073661 3920454681 7910343153 7638527835 6050082081 2237708162 1805953537 8482189972 1791880458 0363048015 7966325993 4524160620 7092770702 6269608289 4780779558 5663782157 9678027890 2653075678 6257157543 5522397751 3527164561 5197529818 1336515333 1368550895 0147732211 8243836769 1256930585 6080008485 5617131730 6409292734 6989828491 4136834837 3293110028 5865895943 7940513265 5964708827 4354201881 5740231994 0471901989 5449788393 9453373816 9003251544 0156345753 5171110147 4496531691 4163417003 4406128577 0391422896 2462756935 4062914233 1325527541 5509293515 1121444994 9053089437 6400856325 6024639767 1300236504 0306707758 4300825824 2364951050 5504373546 8467265088 0395853794 9164963958 2068043519 0518625324 9421897792 4749872751 3079675338 4762949985 6915823191 6333830714 4799652543 3942529921 9138949989 0794919223 0348785569 1696434488 8693915536 2090759343 0467149790 7705176661 6271484942 8472481236 7504072940 2339861867 1351055563 7555980140 4384110397 7392006674 2557664743 3741435309 0156008385 5030411969 5581211635 3584397702 3731675863 6698699196 8999912639 1735945076 9900119870 8471884110 8884041924 0345178507 2525149261 9467627833 5193538993 5133848558 2645447647 9485027462 2605614997 4650946685 7885192317 7789397494 4359492707 9042274594 6018065218 8993361490 1124528179 6543476327 5939071979 0303781313 5662113073 8761782824 9562214346 2513610939 4243351896 1674214432 2625437627 9982112696 5944261527 9465176431 3481456587 9373288773 7998978371 3031119477 7722909856 9363570926 9461553000 9275870929 8755949604 0662152681 5605227391 1923458474 3457893388 2160771684 5381315316 0643764063 3264108373 7231806388 5796452199 1300466406 7497082748 1215857496 2447963158 4032365782 6622948047 0779076152 6278788351 5450717479 4605325240 9506490859 3876381511 5475673185 7893491785 7116513122 5717405526 5659398300 1022613347 7132375296 2422723223 0000178694 3716786682 5613743844 0010350343 0416520019 2777540757 6800570323 5988835791 2762317683 9172668263 0992854394 7718253940 0632836562 9937555130 5094321197 9382266543 9544872122 9583506545 0614402457 5976636129 2370085258 8152478687 5770464801 4873728016 6310693062 4798722330 4275165346 2419686346 6291802670 3594959251 8371474621 5638811240 3858338404 4219052113 3468284415 5010064537 7422264531 6899264332 2200902893 6482107277 0647687470 4401312655 8227461551 3689061467 5479945792 4017198867 1761806789 6845980353 5808915194 1879046775 5315149914 8310304199 6177837022 0173647191 7808605716 2851697625 0429230766 0404490696 9034265545 9830338129 2984377074 8741908655 7311795087 4235652080 6666282708 4019002531 2194742483 8982363870 3340549341 9281165702 5854139168 5826239901 6409944896 2571581041 9224575740 9511438817 7954992854 7745571924 4517169303 1101699538 0517320576 5471974888 7350365078 6193296393 9274463287 9166796875 7951647358 9188972424 2016975226 3840377734 1516483685 0179840957 7454047166 9462720182 5338636924 3509586582 1489848094 7605511463 6994500108 6518032141 3747983993 2740347182 0693216773 6002971385 1619713355
• c₃= 3229768943 3459025202 1025791999 3710390546 8837198766 4020210494 8356569866 0021000932 6461671756 8646709363 4413567989 1157741413 7563982856 7144527357 7862126088 9038618220 2504548947 2973751681 8034613240 7542632837 6132480287 5341477684 3860561416 1326662634 0326077084 8578702454 9481604680 1054397680 9407645871 0362339564 3302976254 1891873537 6645662343 6793174606 1169006181 3025156694 1773147126 6359461022 9342801738 2283159970 6093698035 6358877743 7234410485 1532237970 4819566074 5603512604 0421838535 2449285456 9506627150 9281248077 0768825672 9190704465 8391559849 2022356708 7615991077 6855971901 4897217552 2247220811 9792615587 3942815041 8215023455 6842890544 5036002818 7177185772 7786666622 5228068053 9089389625 5408924515 0200764239 8325912191 0842341137 6911023338 0180492374 9993580890 0468389805 5167222367 7316870328 7985812540 3176653168 7429084055 1555592209 9925918511 8566963932 8277318152 9301286954 1399082982 6670714618 3344833029 3066575705 6189918117 8293004333 4736971396 8563342901 0147663413 9822923243 4085008013 3840149559 4592209008 9571797279 3577019459 5930771382 7515544176 7107560983 4816049666 7142385929 6483962327 2798032488 5633249417 6118011376 6277824707 3744777808 1946660282 1811772081 4957299293
• c₄= 3565236 0371251979 6395537088 9838094908 3991154586 7205027429 2002637098 9632947013 3247645202 5896567440 7070124987 8295942584 4706571654 5539404078 6987678761 3393819693 3471623192 9430273691 6529399998 3303742692 7262936767 4294351131 4846687650 4716782235 9578629181 2249518844 7121201173 2771650540 0100072495 5701091720 0067798924 5431831938 3977219049 2200962890 4308800901 5968901917 6578881266 4468792191 8284742761 7368514526 8658005694 9781080417 1587078427 3624341048 4868356303 7469124066 6068396904 7698547544 5056888683 7464951743 6728346499 0733641341 5834201296 3840216328 3690725996 4330558146 2781942676 4667983456 6691154649 5176098689 8942779398 0684038219 0289828617 2390178488 7650201379 8961500072 1259354962 2820089810 8821518935 7649139664 3864668917 1076967373 4418364703 7127144450 4117647879 9495787838 1371599458 5401696043 0009367372 2481678897 9132392871 8947771163 3310116976 7674594684 7252476041 4516929114 5127235133 5171479037 1120329566 9630157132 0768676652 1231096255 1480596842 7829974896 3979621158 0432394207 1736080033 4040412205 0802524387 9928931156 4735944042 1996008498 1157083056 6793776820 1394322145 2291605744 8292575240 0246176467 2431958873 6528985043 5210766087 6985145124 7312866542 2942882883 2529071424 1917252310 8761429647 0405112336 8142593883 1240098709 4277026206 1309575378 8465314410 5554236752 3962073907 1948084531 4061318726 8149808447 8833637765 5475615984 2252593243 8249764754 2911318621 0831731071 4312484132 8041709168 7777981524 4576249576 7643675533 4135736748 6212719686 8730332185 4480276515 1591067356 4959555028 1918843506 5427990218 4003344486 9898125804 1197746506 2484261602 7413780401 3171732861 4883780747 2676335209 7649671766 7433299975 7485533003 0481192384 9328811425 0850182961 9557074658 6062383037 9744415534 6824006447 0762790957 4098973918 1984333772 6519439097 5992514011 0018814521 6449183342 5788713750 0392728837 7743816674 2405815823 9247698363 0191572323 7461511489 2644319912 2130254434 7135389042 0631846275 7449103000 3876788065 7990108608 4063638588 3488330083 6537732848 1093515119 7578904251 2513770566 6986781891 8576642866 3501410677 2968959331 5333094781 3899367259 6096092856 0093440344 8485705442 4879824723 5356688188 6219689091 5238753230 6971099379 3948038203 3456889083 3671351127 9882855279 1692289302 1963614185 6297113113 2817164156 9813036034 1923188879 8976030102 1512872039 4867625158 9424736315 6982783845 8554264576 9950485071 0781215319 2640759390 3660294253 0192078852 5060712508 4133116987 2407799290 9293118033 6229505401 0502277625 7977630699 7214699270 4474545772 0504446061 0504520546 4763787043 3385915234 7967176508 9745334783 7573179234 7292653252 7541916900 8045910068 5133736478 7498108318 9532081359 3988641652 5531106236 6792585042 5836033126 1658036709 7190545481 8072862425 2325723356 8206534888 0195184992 5225335989 6469990034 0374740756 2329007439 0651301626 4664942617 1737699370 1373114639 0013961143 9171715690 5541851825 4004589283 6632493984 1406019378 3874288187 7169325493 1910606211 6021661783 8371256153 6906840101 3166587393 1553401024 9010727438 9114890148 7672411201 8246210000 7928519874 0719376804 1723298090 3734239363 4644706583 8785728602 0200516671 3124140844 8232356593 0756266157 7232605210 5140738721 4914932460 5279381037 2770387010 3849443718 7787976920 8899403230 4128999146 4379212576 2394458749 7409545340 1004163709 8124021130 9181325401 2050735059 8971584500 4863648609 6940828613 4826657896 4282641394 8248251977 7846325484 2168710935 4827004797 6158068256 0106488915 3121803338 0159640539 8371423035 9958868233 6547992698 7860154812 0858958380 9108659304 1765476803 7277058532 6455543299 9020462603 1254496116 5976709725 8896311902 4278738614 0886961737 4022614449 8956329300 2277739434 2838731198 5339158648 5323356710 4263619863 1980097046 1800297791 7621340612 3888957891 9446616721 1723255085 7463655338 8175883098 1083436674 2439736888 9190494665 4493426213 5902508222 0431493559 6717813186 0705049014 8980915118 0437949748 9545456776 7792827325 7899712663 9728323327 5334334410 1482871701 8769208696 3721395856 1448312210 7659571041 1891702332 5538093091 0846863410 1020996063 1134784584 9914710194 3326991787 4811378483 1832493619 8263112445 3150376634 8079717324 5337031369 2620596237 8334493529 0580338977 9450588103 0757337845 6095949552 3750992218 1802641052 0641892054 6789163693 4150597003 1307123343 7228473791 4683515489 1434256866 1894061177 9758339549 3254605467 1775135440 7686757853 2881572780 4015979320 1936024436 8970869021 6935732723 9284018295 4998466117 9434611220 5695340914 5359327400 4940319436 0049660446 2949687327 0434427700 2363967915 2200884849 2407736443 7379990481 5678883995 1141845192 2491307634 5301936072 9357090276 3591556346 0614310939 7778027414 9260102247 7429517446 1164519004 3879915746 0275614453 7546991254 3541716040 8245275519 6079565823 7022402221 7463588833 4053327283 0290421780 7831059147 5492682921 8445435620 2966814689 6455525947 2942585800 9655534736 6485510664 6765736988 5785380700 2546908197 7539147973 9706793720 3896930242 3591217021

Square Checks

For t = 0 to 5, we prove that Q(t) = (c₁+t·F)²+4·t-4·c₄ is not a perfect square. This is done by checking whether Q(t) is a quadratic residue modulo a variety of bases. If it happens to be a QR in all of the bases, we calculate s = floor(sqrt(Q(t))) and show that s² < Q(t).

• Q(0) is not a perfect square: it is ≡ 53 (mod 64)
• Q(1) is not a perfect square: it is ≡ 60 (mod 63)
• Q(2) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)
• Q(3) is not a perfect square: it is ≡ 52 (mod 65)
• Q(4) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)
• Q(5) is not a perfect square: it is ≡ 3 (mod 63)

Continued Fraction

We approximate c₁/F by a continued fraction u/v such that v is maximal while remaining less than F² / N^1/2 = 5846 1868225570 0323974142 3457783331 8132876574 7988437759 4948160348 7512847480 5008138945 7260060579 1781972171 1366471483 7521427497 5615744033 9910880969 5715409486 7615163431 5251992251 2426334308 2466970176 4802356602 2985002703 9737872062 5912468287 6773798271 7619201862 2846348099 6177554115 9736983030 6673259648 3475223950 7725299969 2176763932 4627253471 6180559407 3261725935 1234622537 9234179216 8997838186 8574575684 8776723317 1319767167 5236777930 6595465737 7366811325 6662211603 4076579571 5370761928 4313731809 4964418580 4615605776 4589333558 2050026181 8691754596 4932091422 6468718539 2767036068 8414182034 4464595025 4692016601 6984623000 1522906097 6777242539 0020592911 1077983672 9699739072 3343622147 1651038966 4616465842 7880656316 0968176172 0959471627 5928950269 7713246168 6939317789 4992328210 7067900943 7736652243 0850750588 6631658703 1420821625 8627475569 7785679002 8318184263 3349388739 7824924497 0282426816 5969684705 1942830218 2627408040 9317606801 2190506913 6847139537 3644975283 9308068647 7309664837 9815086281 1438803194 2772361222 8668359989 4324396642 0109781715 1918117360 7277648753 1118489108 9590793521 6983599516 8002507926 7470973313 3028238304 5340186101 2661476253 1617005276 8865429013 3355945232 9471947286 1177519047.

With those constraints, the unique continued fraction is: {0, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 38, 1, 2, 2, 10, 1, 10, 5, 1, 2, 4, 4, 1, 2, 3, 5, 1, 3, 1, 858, 1, 3, 6, 4, 5, 12, 17, 5, 3, 6, 1, 1, 2, 11, 5, 1, 3, 1, 1, 2, 7, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 8, 11, 3, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 11, 61, 2, 16, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 16, 3, 6, 1, 1, 5, 5, 4, 1, 3, 4, 3, 4, 1, 1, 4, 1, 8, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 7, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 230, 10, 1, 8, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 7, 1, 1, 24, 2, 8, 4, 5, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 12, 4, 2, 70, 1, 13, 1, 39, 1, 12, 1, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 8, 1, 11, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 15, 2, 2, 1, 1, 26, 1, 1, 2, 1, 2, 11, 1, 6, 34, 11, 2, 3, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 12, 4, 1, 2, 1, 2, 7, 1, 2, 4, 3, 2, 3, 1, 24, 1, 4, 1, 54, 2, 1, 2, 1, 5, 1, 15, 1, 1, 18, 107, 1, 2, 5, 1, 26, 1, 9, 23, 1, 7, 1, 2, 2, 17, 15, 1, 95, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 11, 2, 80, 1, 22, 1, 8, 3, 1, 1, 3, 20, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 9, 3, 1, 177, 3, 1, 6, 1, 1, 66, 17, 4, 12, 1, 1, 2, 1, 1, 115, 5, 2, 1, 5, 6, 1, 1, 2, 10, 2, 22, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 13, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 1, 2, 19, 3, 3, 4, 2, 2, 18, 2, 5, 1, 1, 30, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 16, 5, 3, 1, 3, 6, 1, 1, 30, 17, 2, 4, 20, 58, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 2, 2, 1, 8, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 10, 1, 19, 8, 2, 9, 1, 20, 3, 1, 2, 4, 3, 6, 11, 1, 81, 3, 1, 1, 225, 8, 23, 1, 37, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 5, 5, 6, 1, 1, 1, 21, 4, 1, 16, 3, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 20, 1, 2, 17, 1, 7, 2, 6, 2, 1, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 7, 1, 1, 7, 1, 2, 2, 10, 1, 1, 1, 6, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 23, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 3, 12, 2, 1, 9, 41, 1, 6, 1, 1, 23, 2, 2, 1, 517, 1, 19, 1, 2, 1, 2, 3, 18, 9, 3, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 13, 12, 2, 5, 9, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 4, 3, 2, 1, 4, 4, 17, 4, 40, 1, 2, 1, 3, 10, 1, 5, 2, 1, 1, 7, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 8, 1, 5, 17, 2, 1, 3, 1, 1, 30, 1, 11, 3, 2, 48, 1, 1, 3, 7, 3, 1, 1, 3, 1, 12, 2, 60, 4, 4, 15, 1, 6, 2, 2, 12, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 2, 4, 72, 9, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 6, 1, 10, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 2, 13, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 13, 1, 2, 6, 5, 1, 1, 8, 3, 1, 1, 13, 4, 1, 6, 1, 7, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 18, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 4, 31, 3, 5, 1, 17, 2, 3, 1, 2, 7, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 1, 73, 2, 8, 11, 1, 1, 8, 1, 1, 14, 1, 1, 12, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 30, 4, 1, 7, 1, 3, 1, 1, 11, 4, 9, 21, 9, 1, 8, 1, 16, 1, 1, 1, 1, 3, 15, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 3, 3, 3, 5, 1, 10, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 2, 2, 723, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 14, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 7, 3, 2, 2, 2, 1, 4, 30, 2, 1, 4, 5, 2, 2, 1, 8, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 8, 2, 7, 2, 1, 1, 2, 5, 3, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 5, 2, 1, 4, 1, 2, 187, 2, 19, 1, 9, 1, 1, 7, 118, 1, 6, 1, 5, 3, 39, 4, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 4, 3, 3, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 1, 15, 2, 4, 1, 1, 298, 1, 1, 2, 17, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 8, 1, 1, 4, 1, 1, 10, 1, 3, 1, 3, 2, 1, 3, 6, 1, 3, 3, 2, 88, 1, 1, 3, 13, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 13, 5, 15, 2, 1, 2, 1, 4, 192, 1, 17, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 13, 1, 3, 1, 57, 6, 3, 9, 2, 1, 8, 1, 4, 1, 2, 10, 34, 9, 1, 43, 2, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 17, 8, 9, 7, 1, 6, 2, 4, 7, 4, 1, 2, 11, 1, 14, 1, 1, 3, 2, 3, 4, 2, 6, 1, 4, 1, 6, 2, 8, 75, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 6, 14, 2, 16, 1, 1, 1, 1, 33954, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 3, 7232359525 8613818659 6888410498 5957792416 5219177895 3618277284 1894350206 4126102851 0387962400 2218212692, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 1, 14, 1, 17, 2, 51, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 1, 140, 5, 1, 18, 2, 1, 29, 2, 1, 4, 2, 10, 2, 2, 1, 4, 1, 150, 1, 2, 69, 2, 3, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1, 22, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 2, 11, 1, 1, 159, 16, 12, 1, 7, 2, 38, 5, 14, 1, 11, 1, 17, 1, 11, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 8, 3, 2, 7, 2, 6, 1, 3, 1, 120, 41, 1, 2, 1, 3, 8, 1, 4, 1, 9, 1, 1, 3, 12, 1127, 2, 6, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 29, 9, 1, 1, 1, 11, 1, 6, 2, 1, 7, 33, 1, 4, 5, 1, 11, 1, 2, 18, 3, 1, 33, 1, 4, 2, 3, 4, 3, 27, 7, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 5, 5, 2, 1, 1, 1, 60, 1, 2, 1, 2, 11, 4, 1, 2637, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 4, 75, 1, 38, 1, 4, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 5, 1, 1, 11, 13, 2, 1, 65, 1, 3, 1, 45, 6, 1, 1, 1, 3, 2, 14, 2, 1, 2, 1, 31, 1, 126, 2, 5, 1, 1, 3, 3, 1, 42, 1, 1, 2, 4, 1, 10, 1, 1, 1, 6, 6, 16, 4, 6, 4, 1, 1, 4, 152, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 4, 2, 1, 4, 1, 3, 4, 3, 1, 1, 1, 5, 1, 7, 22, 1, 1, 1, 19, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 2, 2, 12, 1, 4, 2, 7, 1, 8, 1, 1, 1, 3, 15, 13, 1, 11, 1, 3, 2, 1, 1, 5, 8, 5, 2, 1, 6, 6, 6, 1, 50, 1, 3, 4, 1, 2, 1, 41, 5, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 2, 8, 1, 1, 12, 1, 2, 4, 8, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 6, 3, 7, 1, 1, 2, 1, 8, 11, 2, 20, 2, 20, 1, 9, 1, 4, 1, 4, 24, 11, 27, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 14, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 58, 15, 1, 3, 1, 26, 1, 4, 1, 1, 9, 2, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 10, 1, 41, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 15, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 11, 2, 3, 1, 1, 5, 374, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 8, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 1, 6, 18, 3, 1, 1, 1, 3, 6, 1, 3, 1, 2, 14, 571, 3, 11, 2, 4, 19, 32, 1, 8, 4, 26, 1, 16, 3, 1, 2, 5, 11, 13, 3, 2, 1, 5, 2, 1, 2, 7, 6, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 6, 1, 2, 12, 1, 32, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 47, 1, 1, 10, 2, 1, 2, 1, 1, 5, 2, 6, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 36, 4, 2, 3, 8, 4, 2, 1, 1, 4, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 77, 2, 16, 1, 1, 1, 2, 31, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 12034, 3, 2, 7, 20, 1, 1, 2, 6, 6, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 9, 1, 1, 7, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 18, 3, 5, 6, 3, 9, 2, 9, 1, 6, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 25, 1, 1, 12, 1, 6, 5, 1, 9, 10, 1, 5, 15, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 133, 1, 2, 1, 16, 1, 2, 3, 2, 7, 2, 1, 1, 2, 15, 1, 19, 2, 1, 1, 3, 117, 4, 1, 3, 1, 186, 7, 4, 19, 1, 15, 1, 47, 1, 6, 4, 1, 24, 3, 2, 12, 3, 1, 1, 1, 9, 4, 3, 6, 1, 1, 5, 1, 2, 7, 137, 1, 8, 1, 82, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 16, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 5, 2, 1, 1, 59, 10, 1, 2, 11, 1, 2, 1, 2, 2, 9, 1, 3, 1, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 4, 1, 7, 2, 11, 2, 1, 33, 9, 1, 2, 6, 3, 6, 1, 13, 3, 6, 2, 2, 56, 2, 1, 57, 1, 1, 4, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 22, 2, 5, 3, 1, 2, 48, 1, 1, 2, 3, 35, 3, 37, 2, 2, 7, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 1, 12, 14, 1, 39, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 9, 1, 2, 1, 6, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 9, 13, 5, 1, 25, 164, 1, 1, 1, 9, 4, 1, 12, 1, 11, 1, 2, 1, 2, 7, 2, 2, 1, 18, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 14, 1, 34, 3, 2, 4, 1, 2, 1, 2, 18, 12, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 10, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 8, 1, 52, 9, 1, 8, 3, 5, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 19, 1, 4, 1, 6, 3, 3, 6, 2, 1, 2, 6, 2, 1, 11, 9, 1, 1, 2, 6, 17, 7, 45, 1, 1, 3, 2, 1, 9, 4, 6, 9, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 16, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 11, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1}, giving these values for u and v:

• u= 3165 7526397571 8441576573 4239497040 8724663463 0144459967 6356092541 0157645632 7836350622 4254685904 7326748170 5910023957 9614153017 1840212402 9623086845 0232805371 2218554135 4602188625 3157761803 0905633684 4837608768 6829954691 4207043043 4161886454 5615011715 2795513156 1230357384 4912433212 4364037647 0820637394 9234333266 7558509667 5420789606 0149659751 2819154850 9561203113 8246955828 1249552697 2561845955 3477395891 0252758836 4606191975 5135868644 5616743948 9279354709 0983656377 0972739474 1576992575 0541864233 8243599549 9682015689 9066069806 2272780160 6126469139 0470553148 1584462923 8960903965 5017927744 2585753991 3511058852 8891073679 9838307781 3364830121 0437528315 5835783745 5441658164 1342025011 4312053467 2571840300 5635137155 4693736331 2756104989 5132781252 1543173494 0580488228 8628229944 0270617443 8318339998 2388607031 2196267729 7350615609 3792067017 0946059323 5711705548 5140756536 7362978785 2385203739 8494600048 1206186528 6312769347 9807254100 9159021436 6057667516 8696824564 8143929131 5068068145 7377270106 5037688831 5778286420 6384879151 5247833178 6953820387 8738037353 3196669908 9932921657 4798247982 2462183726 2078099425 6206424306 9036009880 0013985322 8106585866 5161575107 8069073113 4621070577 0848786425 1739354943
• v= 5336 1341947997 4721564089 8257714060 1983386029 8488254180 4169825037 0952585173 3077461550 8412702590 2476813397 9867489768 4985667740 5449820512 7118187712 6722604950 9673194151 1364162227 9549951132 1803703774 7890561179 7065184698 5812175491 9675993039 3122133073 8120496704 3195862510 6342104938 3793206650 8540618009 7169338651 5739834511 8779121032 7395881815 5746270404 7817676518 3850642677 7328259155 4675402314 3503553381 5059834116 2513763717 1067261196 5209700280 9288061884 5729044617 5169660143 2573286677 4157617713 0606424215 2521087171 2481659167 5700604746 4287552684 5476516001 4675387694 2319101603 8037832506 9402857632 3291870470 5115670116 4841033255 3658363823 9304057055 0037039075 3530512385 9344589766 2007089614 8508774185 6899200104 6048722518 8816683990 7410794312 2871808261 8550660606 5860033715 2802445927 7536758123 9491516780 7146417024 9670289921 9908569290 9516609780 8821957773 1902180032 7544703584 6544256398 7456423107 7885791354 0970555316 2226787319 0099514083 8758439650 9271874312 6651159321 8192585367 3271120112 0952942243 9567688839 9067815262 9870337255 5733971155 7923324444 1837878779 5063304127 6471507888 1994241947 1867114488 6372494367 5982726436 5948503923 4737402499 8822539182 9878023363 9013551253 7243628913 4416972937

We also need to calculate d = floor(c₄·v/F + 0.5) = 1723 4480499890 3179274890 6496724675 9391445080 1953443956 8626200877 6293059071 1779707668 4211339016 7177697686 8808531773 7238110520 1743422239 8111852547 3178682100 0738810389 9927877409 9149039912 9152291975 0605135901 8119368791 9477737419 5591199994 9134029474 6245898791 0260694022 8566376063 6894010262 8282153358 3670729369 6304528325 6554976213 0318773718 1020706101 1541159701 7930076821 3554634355 8677799118 1670075746 5656410601 0592219727 8118546360 8892751182 2137265546 2377664344 3890337124 5108788982 8478777879 6305454689 0433107421 8466970761 1421623887 9391400749 9335839443 8179600114 0602975199 9521736536 3046744272 1243532193 8301258403 4954794285 6578784994 5203337830 2289490093 1327438101 5382248738 4807002170 4389200832 5114468504 1256005174 3567076916 3890198508 5836211951 8546644955 2075833779 8515651078 5162718417 9962033362 5978059730 8743291016 6432173282 8963837889 9489063444 3715614567 3036491768 4576312673 5740960975 9617346528 9042146720 0806131542 7446693578 9532171868 3277247058 2119029926 2495350256 7117726976 8543534016 0268856460 9827971053 5201978290 7187913028 6728182906 1180764218 5084550736 7357305937 9127388685 9739159232 6908762303 3718977101 8204250715 3941640797 2024068879 2338625848 3588788377 6570740129 7006341393 1333908878 6902367010 4358588853 6921857721 2165622409 7323030355 7401406785 4231370131 5637964689 2332912012 5776590776 9744262278 4287610049 2793205337 5857834504 0534626022 8986068469 3682155027 4511247609 4239184023 3824754094 7213984444 1092171092 9212533329 1697947983 6629184597 3870857823 1457475950 1621894907 4099487805 7161892354 2487141563 1538065869 7402569915 0542584249 3768964327 4078247131 0162505953 1500189482 5152137909 1603604231 2069567460 5440365765 0686110839 1584777262 7173302702 4818041786 9427702489 0812121668 4394070404 9499060282 5181355538 4327269677 2775967089 0382429126 6242862631 3497463125 7177996505 8760088768 9116185307 0071216990 6845881572 8031991071 6436815480 2025574516 5197262269 5332291753 4264402066 1985655161 9144633264 1966641429 0731899906 4943425900 1491751586 5642913303 0271926600 8266400002 9055919274 8625392787 0659021724 2118722402 2150761180 3727134672 0479657571 5874223710 0389535060 3615881815 8496955324 9135328350 8034843552 4247645460 7183263581 4200943957 7540100721 9420669992 1062057977 3292320705 7269193473 8101817242 0429437694 6005000819 7573046434 8639955470 2703612464 5395190283 0927318948 0775054385 4637090941 8776961436 5440725901 0931705713 6673686145 6388413651 0678400159

Cubic Polynomial

We now consider the cubic P(x)= v·x³ + (u·F-c₁·v)·x² + (c₄·v-d·F+u)·x - d, which we express as: z₁·x³ + z₂·x² + z₃·x + z₄, where:

• z₁= +5336 1341947997 4721564089 8257714060 1983386029 8488254180 4169825037 0952585173 3077461550 8412702590 2476813397 9867489768 4985667740 5449820512 7118187712 6722604950 9673194151 1364162227 9549951132 1803703774 7890561179 7065184698 5812175491 9675993039 3122133073 8120496704 3195862510 6342104938 3793206650 8540618009 7169338651 5739834511 8779121032 7395881815 5746270404 7817676518 3850642677 7328259155 4675402314 3503553381 5059834116 2513763717 1067261196 5209700280 9288061884 5729044617 5169660143 2573286677 4157617713 0606424215 2521087171 2481659167 5700604746 4287552684 5476516001 4675387694 2319101603 8037832506 9402857632 3291870470 5115670116 4841033255 3658363823 9304057055 0037039075 3530512385 9344589766 2007089614 8508774185 6899200104 6048722518 8816683990 7410794312 2871808261 8550660606 5860033715 2802445927 7536758123 9491516780 7146417024 9670289921 9908569290 9516609780 8821957773 1902180032 7544703584 6544256398 7456423107 7885791354 0970555316 2226787319 0099514083 8758439650 9271874312 6651159321 8192585367 3271120112 0952942243 9567688839 9067815262 9870337255 5733971155 7923324444 1837878779 5063304127 6471507888 1994241947 1867114488 6372494367 5982726436 5948503923 4737402499 8822539182 9878023363 9013551253 7243628913 4416972937
• z₂= +1118 9366103787 2021504868 6819245167 0815254281 0974398021 7244709034 1649332723 1447329611 1985171509 9361261661 8369147472 3213161948 6515997335 6245455415 5782408109 3159035646 7285693895 2859553835 7722121809 7600837999 9452928853 4045652207 4367609822 5834594078 0838770766 3838863721 5979624910 5860306509 6784414965 3064515351 6320469841 5381351699 5056649191 8303696412 3976204101 6403457894 1085808337 7987186279 2866234284 7938130183 3795927735 7499763408 0448826093 5773924493 6388858254 1646460705 5622062879 2217498293 9531352044 4959878942 4250164790 1329088288 5015856200 7164692293 0131118857 1082577843 0728730084 6142538358 7313511794 2868752103 8501616478 3962060540 9402284564 3764340307 6408779030 1303479074 8065692089 1751399973 7777629478 1446012151 4602708840 2573829235 3311553716 5171797006 2173789387 6676612858 3650028883 9689389524 6561754606 9522165410 4660226389 7013886049 4106738158 2966320253 6565131536 4396238849 4828181497 7983912443 1382681093 7197944429 5558827449 0358592620 3157332385 3605043609 5986131773 8867042835 3324260516 1749910718 2807211154 4543045643 5217420500 9555072497 6613165455 0427422444 9248456703 5424188452 2381322554 0138179774 0682623003 0640523577 2755487464 5546039482 1319151950 3684543280 3202642880 9563168996 5857792454 8350190143 0841992421 7134374365 7034752984 9351528648 9666842620 1499154991 5823735335 3432465517 5803515859 1931291750 8211478220 7156396829 6319394390 5963559692 8990048442 5078701664 1205705690 7519073721 7556301350 9323198886 4357888291 9201334669 8437092048 3975142970 1337913599 6307048455 8651770486 2407339515 2950347052 0112489279 0790306921 8385175954 6670267366 6603501196 3800737329 6666477001 5714065173 5830748674 7755658077 1077184563 9736592581 9893160116 6570407436 2666647114 0130470746 7069065235 8984707376 9249367181 7063159109 2894386011 9717654103 3016254109 2998676927 1669481010 5958238255 7724938644 6136458059 9496472525 3760709945 2797161016 3842952672 2730929284 0475192426 5913787758 1350198432 9012441458 3602874920 1280630447 5354234152 2930373536 0874033273 1824940053 1554564906 4118584982 2638321931 1618045457 7264542733 2054469505 0742283984 9718091233 6371638881 1750311436 5175456145 1821404000 8431653717 8716371388 1628542601 1979787500 6869959596 9555128889 6076017600 3912084142 0581423649 8215927859 5288327285 1900381009 1772758201 1173335884 6657437880 4379364537 8277708180 0171422768 3400848761 4340600916 7491979077 3627861606 9866852413 1248215448 8765896613 9059411176 3722346988 9835025649
• z₃= +899777 9832833456 3088563473 7448910272 2759475424 2443962907 5916684517 4300900234 7316577290 6655697549 4766880024 8599099194 6910576363 2070344849 7352270620 2331721071 5822347759 9479000317 7859249576 6777163062 6461496895 5644914877 0433043678 5267464466 7703757889 2400796071 8225065113 9157782466 3795056397 9582950564 4725393721 5913732181 5243757800 5882436745 9513128947 3835927107 7639797262 9699032001 6123777945 1718186082 3192446475 9086384682 1372219086 2350709656 5780143975 3048881774 9316872424 4822015997 9172501432 8738409626 1024192898 1160881355 9922695467 7744020708 1804739495 7221393856 1870922917 2187963016 1170157105 6932828399 6931450248 3204063307 4171013472 5311614576 6292368458 1484211929 1661429883 1458431631 6992284450 2289570867 2157989966 8266227056 9081652701 0986217355 9601354547 3381585311 3607761598 6379976755 3391891629 3450389953 7165264079 6049080259 6093116528 5414306816 4268462371 5451425433 4577496954 4859262946 8746067808 4584635529 1763077317 6027026676 2044691799 6282073697 1924465368 4768586705 4472034210 2566524034 4007870697 4267267568 3567869063 5710988973 2956110538 4259985381 1286948048 3902835756 3328962471 5493944783 8880067868 6533280282 0225916473 0711142540 5424761904 3208200939 1390127359 9312975756 6865782496 5915005237 4374087074 6035790434 1468791100 9670095363 6550529598 4342774450 7439322272 4191422894 9542146021 4819986110 1433214374 1286168085 1488200271 9669733276 2035564274 7423116394 4491774269 7468048930 8264486082 4784839650 4169546724 8062318774 8041141998 6798332711 1040764251 2108084540 3500300072 1352730346 2745954824 3482783723 0376548976 2531260885 0556626264 1903610374 3997924097 6305242519 8138354468 6988270456 7974714206 8949030860 7733488795 9916103443 0705046357 5296594752 8468314506 4361865850 7797825155 1043473351 5875572818 2225588639 0425969782 8133438795 4261542000 9619686819 4997664644 9962697506 2198578547 8965291607 9821793693 0386443700 8939744752 5750547147 5839289474 2491387477 8739051136 9256646524 0860069376 8179913316 3716951437 3094910277 9026984330 1861410613 1816956437 4087759322 1912340971 1811316349 0679872848 4642136947 6687900843 6697000864 3715536075 5851109215 5308273825 3575506032 8170189911 9966187572 0539267293 2862885713 0506669347 3553104946 0018929202 3812397767 9276857639 4873669235 1099336447 5927574644 3551247650 6058324155 2360360013 1956028996 3056596845 6751308886 8139734640 1330065454 0537592823 0180711558 5401966821 8976969733 5623158075 8611717449 7065551675 9835456284 7541462588 1978438243 3522152816 5591673647 3527732799 2165644425 7931586051 6912797072 0237991390 9822764737 9411856268 4945876212 7101747609 0720211918 5106509412 3086039342 9470919450 4859669277 2670154012 3754488678 2905840828 9752722284 6867943635 2361610975 1858348706 6075482616 5923440441 1586473682 6550636264 7539220630 7719309140 6472376538 6627116355 9898388858 0914039819 6026756161 7135455564 4812053370 7029692238 5745261208 6461447134 7012458712 2934347755 9134383530 7407524065 0928604928 7414810811 6616750062 8125858952 3019385341 7962455717 8358679489 5064896238 8194678735 0669740608 3356730484 6613153112 7518299587 0093214710 7743220654 3649574456 8676607951 5812642579 0823023372 3277167871 9021580054 8214342188 8688968947 7449416406 0156874704 1420908795 3538006726 8408997138 8232827512 3382618285 9870671371 9251438876 0917863268 1603657239 0434072982 0993582559 2148775092 2993824530 6871441190 9587693909 5425198199 1479908210 8185901445 1368422302 4284371569 0587881925 0432992046 3199518967 7548808650 3823958261 8286350693 6117866185 2194427253 1527571013 6885247772 2326024192 4927366720 4901901046 2317332561 4339672577 6497661618 6964375920 4105072454 7029703207 2223580353 0914442675 9171480377 6173770566 8881211268 9771634129 9181812122 8175363262
• z₄= -1723 4480499890 3179274890 6496724675 9391445080 1953443956 8626200877 6293059071 1779707668 4211339016 7177697686 8808531773 7238110520 1743422239 8111852547 3178682100 0738810389 9927877409 9149039912 9152291975 0605135901 8119368791 9477737419 5591199994 9134029474 6245898791 0260694022 8566376063 6894010262 8282153358 3670729369 6304528325 6554976213 0318773718 1020706101 1541159701 7930076821 3554634355 8677799118 1670075746 5656410601 0592219727 8118546360 8892751182 2137265546 2377664344 3890337124 5108788982 8478777879 6305454689 0433107421 8466970761 1421623887 9391400749 9335839443 8179600114 0602975199 9521736536 3046744272 1243532193 8301258403 4954794285 6578784994 5203337830 2289490093 1327438101 5382248738 4807002170 4389200832 5114468504 1256005174 3567076916 3890198508 5836211951 8546644955 2075833779 8515651078 5162718417 9962033362 5978059730 8743291016 6432173282 8963837889 9489063444 3715614567 3036491768 4576312673 5740960975 9617346528 9042146720 0806131542 7446693578 9532171868 3277247058 2119029926 2495350256 7117726976 8543534016 0268856460 9827971053 5201978290 7187913028 6728182906 1180764218 5084550736 7357305937 9127388685 9739159232 6908762303 3718977101 8204250715 3941640797 2024068879 2338625848 3588788377 6570740129 7006341393 1333908878 6902367010 4358588853 6921857721 2165622409 7323030355 7401406785 4231370131 5637964689 2332912012 5776590776 9744262278 4287610049 2793205337 5857834504 0534626022 8986068469 3682155027 4511247609 4239184023 3824754094 7213984444 1092171092 9212533329 1697947983 6629184597 3870857823 1457475950 1621894907 4099487805 7161892354 2487141563 1538065869 7402569915 0542584249 3768964327 4078247131 0162505953 1500189482 5152137909 1603604231 2069567460 5440365765 0686110839 1584777262 7173302702 4818041786 9427702489 0812121668 4394070404 9499060282 5181355538 4327269677 2775967089 0382429126 6242862631 3497463125 7177996505 8760088768 9116185307 0071216990 6845881572 8031991071 6436815480 2025574516 5197262269 5332291753 4264402066 1985655161 9144633264 1966641429 0731899906 4943425900 1491751586 5642913303 0271926600 8266400002 9055919274 8625392787 0659021724 2118722402 2150761180 3727134672 0479657571 5874223710 0389535060 3615881815 8496955324 9135328350 8034843552 4247645460 7183263581 4200943957 7540100721 9420669992 1062057977 3292320705 7269193473 8101817242 0429437694 6005000819 7573046434 8639955470 2703612464 5395190283 0927318948 0775054385 4637090941 8776961436 5440725901 0931705713 6673686145 6388413651 0678400159

We need to prove that this cubic has no integer roots r such that r·F+1 is a non-trivial factor of N. Clearly r (if it exists) must lie between 1 and R.

P has a single real root at:

• 0+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)

There are no integer roots of P in the interval (1,R), so the proof of primality is complete.