Primality Certificate for (13782^4591-1)/13781

This certificate uses a theorem of Konyagin and Pomerance to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 31.078290% factorization of N-1:

We need the product F of all the prime factors from this partial factorization:

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 31.078290%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 2 suffices.

Express N in base F

Let N = c₃·F³ + c₂·F² + c₁·F + 1. Let c₄ = c₃·F+c₂.

• c₁= 25693 5932682208 4641651095 3928437995 5882476892 6880217681 7510800974 7228638044 1010082920 3198774102 7570394144 7763338789 2709515035 1326673941 4813520547 7879205230 8592400887 6451951834 5405918948 3399774326 4347661859 8606741408 5293425746 9191366446 3701147879 0948683764 4235900818 7368102797 5499475648 5493271099 1581893307 1088772100 1458971044 6762016334 1825201345 2322064607 9297732481 3517242209 5843485964 8350386485 9375886253 4039819243 8439434115 5491135196 7716374898 3664992273 5701785206 9040586417 5172259107 3408748765 3671449686 6802770234 8410295298 4510317620 6031414146 4736570166 1997480424 1550108514 0709363260 3614106012 2163404691 4866987652 5254443141 6475082801 1263661649 1281119931 0516882640 4799296880 0274949389 7562619623 1151418188 4673273689 0029884283 3783323527 4546136538 9183556967 2643183400 5966584689 8682840935 4203330882 5337107048 8466380727 5182037857 0210803398 9325682561 6145209741 4003172229 8707107579 9458881776 8434336944 2864254828 2770032507 5826311987 9106711507 3645809818 7498349518 5081436579 2404720426 4643237316 4423454899 6408292451 8749982398 3255834658 6105656157 4466559928 9445421303 8886646688 8079122321 5574967597 8723825073 8715986901 0689477768 9457049895 0339933637 1753002724 1798515006 4974733716 9401695018 0047391760 6834707647 3860912728 3311892809 1144093019 9591100559 4817895418 9121411219 5833448309 2334775768 3926173574 0453008040 0801156933 5446006819 2469915761 8910783347 5312885363 2729166566 0368899568 1712780755 8028170629 9045094652 0207980707 5446350440 6136673192 9949746001 6540930161 2520063881 2906443856 1198780010 2526368928 8595272121 7734553215 8374092683 8370446074 6747983033 8074267272 5426046191 1625810449 4521265835 2931622854 5291893215 7816155583 2948424586 5547634647 2452421481 2164245210 9070008739 4679934862 4608973555 7472358996 0580922405 4402438468 4714860254 8691318896 7798517598 8186105348 2595938418 1136244355 2565875554 6744115525 1346614651 3338513626 2098586150 9061560598 1166409169 2920290039 2425439356 8405562734 9631494181 5456718768 3708449511 1457230759 5245253519 8657035204 6652003022 5486115601 7068274813 4450244123 6426521756 2763334636 1910799775 2571856080 0203266236 5950090983 2829109010 8641359748 4519726262 8658140528 1565775922 8588827792 0391719728 8750951524 0085214629 9906621426 9889659211 7892386536 1690913793 6262895609 3743636968 7699243996 3191772758 8541285412 6035003253 5369974723 9312167762 3479903796 9645407328 2789985605 0676883582 6253358249 7640064801 2879202333 3058735214 7713441231 2921156605 6332490513 6160097678 2645850886 2625408127 3562358482 2457095888 9151109205 6359362816 3814234949 1588480914 5028397994 5763464116 8480589049 9273372807 5098956505 3640474649 2202652379 1838124999 7359867123 7778134565 4445644561 6053981129 1243154117 7786421851 3066248520 8699265445 7612002286 2155280157 4479090909 5988725931 3756472227 9118416489 9115938680 9707622650 4853672147 4891983487 6282837645 8704560665 7987101277 0441845130 6394093999 1311089203 6772387681 5898008706 6018254886 0380180778 1954162040 7630204383 6873215164 5586074233 5432352833 4436700442 2545158736 6611823660 5821991359 4951573624 9633449775 4387009270 7454158581 4169599680 4474921611 6286138417 5039586307 8405227400 7083039987 4983684376 2705825798 0359990552 7146080095 0992142039 0498037387 0588665973 0922818080 2932549272 7749965309 0415591537 0412393192 0176856973 4964772666 4782986297 1191471264 0198855181 6053555557 5593189919 2403808770 2211006065 3813839810 8818466393 7153668701 8072325194 7538962421 2445988167 8508255706 8465919751 4902303874 2985869235 1082019734 8017311215 8880704964 5519068763 9143984604 3086479092 3749287054 2992408475 3605922834 7687682093 2765123724 3824738013 0391289710 1152382842 7071870969 7307013887 8934774750 8248891144 0876759392 6169791344 1058324225 9078371174 6111142949 6236662928 7731570205 0753377285 0364161201 6134560788 4202705435 4402242709 7668642846 6118720970 1153731515 0172516061 5268029898 4205161984 5998063591 0026397088 3258911713 5652238908 1316964525 3971244605 9275265389 6209117954 3293534864 2641699288 2292498813 0321503127 0965927879 6043081626 9617754185 4270237377 3416070511 1688496336 7766613567 5359895644 1327743592 8025998777 1271673267 4640073078 3826978730 3569946354 1347624464 4681346107 2801828262 9941979208 3587749488 1911429655 0404604491 2817343912 0388311004 6677077287 0173867770 6152380014 8031004657 8123890454 1335285430 8818907512 9071932336 0394849170 7857602965 3242286167 2888552341 7019682295 2266310550 0326439874 3904528392 0086578618 9502102080 3190580033 4567442171 0454126793 9364176533 9658983765 0820428324 7325874513 6596401610 0257264277 1508157218 0277385133 3146050544 7948602033 4902219164 1298680610 0979970056 9738276268 6265218071 6158406643 0485968704 7466966796 6906961917 3257458876 4890791282 9682027708 0667469099 9881399068 1024981392 0745031656 3391931930 4132700158 7076192294 8996673249 6850240092 5458693389 2366104966 3672319151 7380235821 2098378345 3830939691 0611288397 0651762157 9291333264 7711580826 4783684698 9295840776 0662898517 8491207776 2203409787 5471061411 4054389656 6579780490 2794759718 3564609572 6524068021 1356585473 5478752872 4365152554 4913901540 6652665575 0048129584 6841528101 4912904666 5459276303 9042270269 0778018207 3796768044 6717472135 2271860681 6538501588 2898285026 6351405531 5890015672 8947622884 4263139909 5758010016 6127770231 8896617392 6465408999 0369073745 5869149744 1967314924 7991942991 2564197139 4646149908 0043673323 2700238806 2555560972 5035875793 0676145012 6259481387 4163340501 2113688478 7881530088 0586699971 8620933283 7729784685 6360712713 5470697742 8944564271 5967594571 0744183540 1882099391 1821510674 0991115016 8631294045 6777362033 9259029470 5860640858 0954284639 6641409861 5339366436 2767822919 7405295328 2153799955 2231543602 9408286811 2315078360 4566668579 2995016663 4251658190 4630599881 2338481905 7859822893 9694363998 9462050735 5548457492 0805162020 7891765937 0376864150 1145501322 9777020863 5080744532 3857694832 9964874490 0612890109 7232204430 1222306024 2847265965 3294081429 1578896778 1153090518 4486086857 3952217365 7213194899 8410856719 8562912293 7555371177 0823767680 1969652488 4886224945 0402456957 9439337971 1568176616 0850209738 8037130580 3369715974 7754609704 9072704828 3122999206 9458436790 9130324370 1375330538 1354060812 1556107336 5359638944 5637981246 2770931218 2762609112 7981825774 8462112083 6711336521
• c₂= 42183 4113612575 1316508781 1565653881 8569902691 7776526254 7319217331 7812457298 3374791985 1824607468 6763452084 8367704533 1569496214 6686743487 6433045023 0390733264 0460897313 8779730745 5663524613 2105055074 2801781089 5180743822 3432917531 4318567319 7566215535 2594064420 4673178137 1426469592 1671205815 2119003962 9428210183 1548100345 5350764460 5307454990 7473242015 3512373480 4622069501 2862791107 8442383725 3902336497 2435637487 2844970217 9542444856 1350071183 7230214637 0582442514 1729627582 3867389200 1222275315 0739257359 1266627336 8295345311 1223231010 9158181123 3225860983 3522789114 5129477510 7585866229 7994889018 3059790469 3243934275 1975713135 3723548194 2576158824 0805522772 2303810340 7217123335 9646857327 2449740253 0592795985 0889674037 0489430152 7808211649 8949114561 1860061986 8479946060 8523507242 2109560575 3709994416 3217494399 1247987330 1953133569 8046062223 2256443356 4950974002 6603195551 6183262743 0861100517 1277311969 5409728623 0007535378 7850183792 9322070222 5829289073 7104920692 5435543961 0503834930 2960918390 4514835625 2951312388 6613000406 8170355704 6221954868 2096876900 3692561929 6384165751 9265566559 4858150044 5875719914 0391716032 1216550307 0594919087 5084011437 6709896899 0020097512 4280093842 9476001996 3596586779 0631753772 7746101290 3804626917 7441339921 8948523787 1880424562 2604429854 1543324651 1682077884 9011520406 0808603691 6786241784 2049274695 4687784288 0816643098 6045004413 4066224807 5018651026 0208874321 1489910442 4167375768 3819020639 3721646605 9255224551 7457812303 1485529239 0591411649 3119396150 6580072489 9356086123 1995384311 6702886276 0054572222 5580177591 8058521943 5863435928 9756706108 1913955919 1328156323 4815388273 7632347451 6835424209 7871405365 0577324274 1454185354 9438011122 4986537595 9625202654 9903897494 0600142931 1527372453 3995994665 4379933709 0516135967 4186690315 3251669906 1881408238 9949838427 7296162561 9094549738 8684442467 6947169739 0510570228 6414115744 1453941808 4596483468 6072124374 6452814684 6559368875 0690473731 6168521617 1845072852 3837988644 9624858018 4294046182 7484127672 0815071041 3984329408 5859198788 5398118988 1070135983 1110190706 9710762573 4388667053 6887006424 8059195588 0998809151 9811534465 7530194559 7344242973 4844404524 3524149892 1630873158 5803564854 2680357575 7445665324 9908781628 3309971473 2398154128 3335231121 9785723866 8633034919 7291002599 8416646840 8444858381 0890413302 5228559118 1888812187 0661832736 7737640447 6607560519 6775114826 5174987351 8463155870 3058423371 6241798379 6430487942 8110405494 3117975989 0430009484 7334615618 1991012581 6053188074 7993073664 2896439607 0018331336 1352546125 5520912809 9287890769 2863016652 2527362727 2839403481 1386069151 8228700900 8834793594 1126038796 2162488171 7079258408 9459371401 6839651833 5289746766 9885203977 9408681888 4081701335 9971742048 0303972194 4788881866 2831929641 8953592957 6962503196 6557225894 7293142524 6245096677 9242212768 6253518463 8358709951 3263400386 2494502129 4089733576 4125745195 0713121272 3425886181 8949394722 8095769402 6082920004 4285216705 9025656340 5223430121 7471041853 7926963943 4497676753 6943003579 1360346590 1902532721 1128209979 1750336195 6844518274 9080554602 0035024715 3297014324 5214898961 3867790269 9727166629 1724497471 8397462686 1322867505 1107110289 6029468990 9381999982 7059053621 7553698707 9998257398 5180889025 7520924647 3636501251 3964195083 5141866343 4558991872 3638703877 6465108434 0274853504 5928525818 3171959424 1256787040 8727661138 2676762338 0073497377 8197956432 2913259660 1799683267 5697543569 6694178572 7937582628 7887787939 8551986983 2329321107 5761062486 8438134831 2872737661 6355946238 8957899534 2157616704 7905144114 4462238636 9320102904 4792199761 7663218419 1261538847 0414231932 2461520006 9295901371 2429000687 1089478521 3284174520 0469980814 9638106100 4324715325 4455263577 3792375514 8998702718 4884819013 3982426747 2620101182 3665369443 7019089250 5568744240 6019741459 5486261546 9008202138 0139663401 8327376975 7926266087 3055467628 3206586990 0564574914 0881771256 9980813612 5131352118 5197251416 3476556043 8579900841 0843066342 8920527919 8706523639 7001245568 0672246132 3187210266 8924448842 3666005480 0299849696 3057507198 8518121130 2189936593 8138453128 4692481248 1227746453 0161794705 3663948254 0034445270 3408192406 0866778575 2297903078 3517652556 9166133385 6546531681 2061870510 5183327017 7403221365 6937857401 1754729301 8111418899 1501649374 8291246455 8128900157 8794688103 6237865177 1479765229 1685417593 8402593544 0812372727 4307059932 3866938372 1498374675 5990211439 5638752446 4209125215 8954513800 7781752972 7128813048 3284782340 3852768340 2078606875 0097571383 3576715504 7846439260 5997402620 6091411628 9931305758 5637152971 7926555257 9696561215 1919035014 0863990316 0957577378 9782290933 2038911491 8706820385 3147227815 6154811846 1381267696 2550769502 7264574605 6393301374 6378473016 6753623412 9939177695 1810339963 3916342978 9576062010 4817764353 1625263165 9243238258 5371718026 2125541225 0318138911 1781203159 0295733004 4535476018 8354815581 7950365592 8614571688 8612947645 2391888289 5049659862 3478284530 4316999335 1143046297 9449719884 5441316539 9096566382 2251043836 6870350775 0393682546 8341312123 6346357311 1332741228 6091406929 9318461756 9613451730 2171367535 3173827453 2644598949 1739135265 3618805555 3263565721 7158035436 9644753799 8334069781 2286281966 6776200363 8813007062 1980281820 0785100879 1437510982 8427881379 9418762621 3264204576 8822050146 1247818934 8404601945 9761913727 8226280805 3846773129 0832616738 4860449397 4529818028 0742813693 0714401724 5695061017 0587052373 8731301585 8929428663 0497857275 3167923212 4584100480 8593466870 7930743944 5962385465 8684485148 4322362836 7130984658 0888619460 2408733895 3348754898 6128322727 6218367463 8572995549 7657354084 5738596168 3221591850 6843556185 5886953200 2414047921 0488540779 5196044126 1845889329 6450720630 1897190332 3287294431 4758829069 4104207212 2582842067 7628878075 6595483155 3375806208 8967710880 5633139055 4131503060 4337026763 3875282257 2594416414 0404105582 4475463660 9587948487 2974277063 3338664306 5750283222 9456093596 1117329939 8078611261 2791230849 6652153251 9967767766 7302254252 9039428508 8927484561 2215433051 9988326542 3776355539 6999948724 5785692753 3610545428 3953599172 0942325591 2056871931 2490282471 7026588884 9652504833 5269151125 3141568869 6365514961 7922427809 6793186216
• c₃= 217289 9885494797 7500543610 7201636225 4472718000 9216143718 6736881405 1014552578 1806036593 7032281224 5267883225 7584192820 0254705684 4351674185 2173075928 1722224665 9537878471 9132421654 2379846480 3904112876 6237193768 7045553568 2693985766 4685794536 9734795322 9262162265 5212908094 2972444230 2484425909 1803653025 0688447250 9355615506 9729197258 0832209619 3181302429 5644311551 5554063206 6152063805 3385127652 7828776291 0450666333 7963303896 9094156283 8702289487 5064775943 2090808354 1299032164 5355897451 1154990202 8245578868 4835404515 3495473436 2657995764 7838361013 2170956849 2910921783 1086375159 5038220650 3524739507 5724655549 7712598377 2637826085 1815415023 2001384366 1078540773 2861107882 8089093791 1921764286 9845693164 6820484587 4969734474 3909842242 4094413623 0341088149 5290423910 7200500108 4677490261 2343753812 7983350840 1091045904 5947357486 0965082898 7621939669 2575963173 0187747550 4586154181 0044757653 4910931467 7426732051 6746565099 4412590274 1353976168 2870718100 0389929372 5957352349 5571407346 8626919067 1283896816 4207461779 1201068601 4292790395 8009174873 0568815458 8995930540 4994786679 2247161503 4238571973 7981545234 5229212004 1747349848 7422348994 3924257294 9965988903 7711807417 8616945434 6253812694 8014296755 5483806677 3086634351 7508846438 2160510982 0021097758 0978201001 0168391872 7332478084 8847871327 3027423368 2660059242 3028147299
• c₄= 1 0942235337 0314077859 6774483668 4252807496 3155046769 8524110335 5922772906 6294010892 5624342125 9952957356 8841719562 7849989503 7109530492 1280012547 4400724730 3414397489 3077951504 5739303636 8853855668 1278443003 9551741167 7775089645 4036535097 9425579462 4175697650 6386957502 4936521896 9464411624 8005591148 7788070262 2051992972 5367460787 2109045277 4570550244 7549014348 4383939999 4490061738 6041098874 6400269275 0195319090 2931425140 3231630255 3468952754 0236801545 2007827967 1518040424 5009245779 8488551004 0918392371 2607429560 3716185377 7328806335 2257962400 5562955324 5092504229 5581958756 1341405017 7850295137 5624365763 8140795818 2453334342 1657365599 2017723167 7318917181 6905964925 5462817675 6880387646 2405297742 1672221888 4239184751 3769871323 0021878478 7332892730 4788028183 8192426461 7381352501 2327750265 6974888733 1539786446 0675765339 4183635241 5941260358 6907149120 2276613505 4658275473 2969032945 2109625086 1733477901 5129850828 6886078367 2960620527 8117919305 4744609848 5070655152 9957729320 0123239683 0452554497 2327201467 7314733304 4639318297 3502419231 2617660492 6722339453 3152290458 5397509707 7634566407 4525326813 1231675137 5414621309 0243382187 4134824375 4694090464 9051204839 3757246944 8739926610 1404466257 1342242731 1482183722 1075722023 5019394846 7048541606 7266762187 1525984108 1059343296 4867881226 2391359126 1237632181 6994353022 3282778275 6892569596 5551554083 5173386576 2221119859 4659906744 2355062622 6195240750 9096602970 1575348710 4784670406 6995228551 6899877303 8041906355 7016318177 4129500860 4634262535 3708043992 1370010078 4195941651 1446884540 1436316129 7417034380 4292855477 7788516943 5470750553 0702117682 9389420311 2192799316 7133769936 8451480778 5922278776 4860309527 3247031100 3137199313 9931085017 9545113428 4102601543 1984616131 8011087588 4438131584 5450999642 3980528307 3489941623 7957132581 9941673843 2357168021 6994750156 9993126523 0014927967 2355596717 0667250218 2918810284 2160928460 6849381111 4073659540 0058011385 2110523738 0466789149 0768552476 1271057768 2553852185 6551585463 8712632279 2284788130 1638858937 9176450156 0720071847 3393029332 0877804172 0170969881 7539149578 5384029537 1503466111 2753476538 3085391617 3053032347 2927075275 5991491948 7260068339 3591237614 6141137565 4057781272 1621704719 7814385944 2298441618 2962308117 2673470928 5143418156 0176725467 5280638382 4156978489 4868689739 0593972731 1408970880 4650136094 2225777605 4903802648 5194419365 3616313114 2953398549 8231291915 5118890929 0815718939 0229257394 0506216158 5437543935 7207652115 6397626247 8858901287 0153758174 8639457106 5511015182 6206667591 5421187788 3134887024 5235956398 9242175170 4722715420 6089696155 1806915681 7087318659 4198104793 7701582438 6668438550 8181078445 7473857523 3355061573 9386426106 9776312110 9905019803 1145660845 3689523178 6769626588 5092831396 5100119227 7177147872 1056553375 6704762430 4038321351 4649966890 0587177869 9144954114 6292620259 4727179987 3655190414 3039987338 2189528778 8171513533 9411059192 0785953459 1872924966 7442304490 2866004994 3424285981 1252566941 3639931847 0842642784 4413482276 2157420910 3907224180 7884731470 1089001791 7370159015 2958009191 9035286810 0589074139 3188678132 3699966734 3000619642 1054748732 0985019307 6764362341 7731167041 7428052388 2360789926 6484102332 8088837285 7622121940 0234689719 2850272394 7165825886 7391814806 0502057413 8916002821 3336140494 2273406775 8414455693 9472730222 5870863747 9860337069 8223458803 4518927464 9946064098 3635064813 9711860944 2340737779 4199014192 7987035626 4594217469 8154912475 7020891428 5242569631 9170169060 0380536678 1784959942 3827731196 2259568366 5661854647 8195639134 2466444742 6968481338 0862837721 2114782196 1528307558 8436929445 2350572969 1960123756 8122478477 6842621166 7852684553 3779581467 4844624362 0461227942 1251675945 4396800837 8374424244 1981105891 9765433917 4239182054 8780540775 6873057446 1103017275 2719787656 1118239601 0243454282 4856057362 2145680254 4563627428 5081684623 9818301746 5753804951 1961912936 4417692415 9156847120 1093456289 9360141132 1227790418 8768375581 0504706091 2814616670 0107510351 4452832130 1819681446 3845749583 5348626952 8540096849 5815614241 9098277415 1663694919 7183621838 5945764197 3218901988 6934581236 9593374776 0962417479 7754058541 5129541719 2237004926 4184982850 1649201247 8192202804 6050533879 2629854432 3339992230 7265804414 6415592104 3910879876 1045653877 2002460595 8545579080 7621852191 1269565233 3066570637 1455236504 6062343480 6908615010 9558564385 3689930605 6607943328 2561307945 8849400695 3870190909 1504012219 1424016184 1393790862 1015742835 8102365828 0712431267 2241980196 7770465150 5618851662 4497585636 8185898824 6779053742 8192967124 3156177946 8883852661 1578295961 4505076218 4632025274 4864081643 7087437779 2380906075 8159229414 4490624383 6058318124 7191741901 5274821721 7154888284 6722657093 8884966993 9711469197 1313310411 5837639922 2467763702 4975786959 3676868886 3074476822 3639957038 8345938493 2454096788 8304349695 1941650740 1999114897 5387362537 5372004594 5659370451 3443021815 3227303290 8356322704 4406247549 2290288372 3103095791 2347878607 6900373523 2148663253 6930173706 0397474636 2890623001 0769448856 1286108523 2590056568 9343109906 5556853251 4923723634 3820598082 6473025705 0877115005 1966865917 2270699326 3355104711 0673145067 7414644469 3073837354 9137198559 2126021745 8469547493 9727370132 0677502102 4096363923 6128023030 5004037755 5358199173 5418387308 5427792562 2520778028 0542852777 1056526359 2257712381 3709418459 5730324464 5245403691 3411568163 1892328328 7918076082 0837911722 8071576585 8097434404 4094481543 7828478817 8220917762 5730984170 1836447496 4750244428 2251958296 0027326397 1603405159 5031510076 6934226213 8605339830 8939718615 5004666146 7523569061 4852739420 4984272741 8964027541 5520017588 1721481720 0118282866 3931666240 8825859711 0597857634 3669066816 2381356833 7444052388 1619325331 9550714809 2754688679 7861190794 2202231563 2940713836 6608864313 2993660907 0283593186 8688911818 7877795086 9174628402 2901009889 5402811419 6432625526 1892942768 9588518616 4449035087 9064769318 6189008407 8534066364 9032554562 4222731603 6149470200 8197583618 1310381231 2378158069 4739133809 9020602685 0650177814 4410529149 1317152595 8586426525 8271409534 3275483271 4744751673 1511319513 6249573069 1414315958 2883982956 9054105498 3448653899 2260251669 5147487669 0979829177 8245875078 3113634595 6259234220 3718943164 5631280663 8893706036 2644791631 9405389921 2752140244 8062336870 5128990877 0851780045 1177972041 1063039521 5611021275 2113349856 9334353085 7789546141 1344972885 0761883498 3312813474 8017328332 3756748083 5835103334 9840417066 5004330903 7485525597 7718851327 9478890760 7353312932 2908614955 9444288384 9827657282 5024192886 3065080773 1322698926 5175872817 8704173755 3051053891 0235819892 5464707389 1397171276 3713965212 3367748228 6029790169 0314001627 1383205840 7223362782 9430145551 3434134978 4266881782 7876683314 3584314414 5065716887 2672857592 4901735890 3531848375 1576983565 4533362442 7188434619 2984408464 3763723107 8524775048 5501467945 5046869414 8147542963 2840513597 9749650543 8391334323 1826728788 1930714063 8305469622 0592153712 3954679258 4220393963 7085356790 5244169871 7892051344 4762745146 6008235597 5058792864 6668553119 9649136624 8705651469 5227617190 9017770942 0262147233 9805297295 7959524667 3977917668 0998460920 1982939100 0249805000 7032551008 4253264756 4610189645 8239918078 3837479538 8066022138 1105862224 3179883901 3823285839 8281923913 3472364215 5644699049 6585749098 7733742453 2085019718 8365193259 3686638849 4078205840 8987608514 6576301704 5458512900 4863558805 8364366187 0463950186 8086258204 7929816283 8039348174 5273416819 0716455527 9545088526 1568876611 1510020115 8916386805 0143348441 2295017748 4353396291 9976400182

Square Checks

For t = 0 to 5, we prove that Q(t) = (c₁+t·F)²+4·t-4·c₄ is not a perfect square. This is done by checking whether Q(t) is a quadratic residue modulo a variety of bases. If it happens to be a QR in all of the bases, we calculate s = floor(sqrt(Q(t))) and show that s² < Q(t).

• Q(0) is not a perfect square: it is ≡ 3 (mod 63)
• Q(1) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)
• Q(2) is not a perfect square: it is ≡ 32 (mod 63)
• Q(3) is not a perfect square: it is ≡ 5 (mod 64)
• Q(4) is not a perfect square: it is ≡ 61 (mod 63)
• Q(5) is not a perfect square: it is ≡ 53 (mod 64)

Continued Fraction

We approximate c₁/F by a continued fraction u/v such that v is maximal while remaining less than F² / N^1/2 = 4814080059 8487658504 1218072421 3797973079 8348448516 0470373303 5243560432 6742166310 9683970477 4719471888 1538758255 0259234034 5228462704 2835107789 8068749770 9821095289 1499065201 1542550544 8137994995 7472701586 6023156435 8814797345 8541875549 5956865271 2651005689 5396285096 9307672391 9538462331 6329713166 1338155885 0179675370 2219456066 6618433014 0677396898 5152713109 4789978183 0614343020 5650239225 3741857907 5000989749 0618434141 8184782281 8014542511 3369790532 1513786018 0829504533 9117448022 6007397050 5747631051 3616221267 0765367837 8795232368 2053472798 9928970537 3674929163 9387380251 5892389886 9240990337 6537770070 1686393833 9325981427 6517532851 7240596373 6803130986 6468261713 5100808786 2841353826 4901531763 7761893234 3212731710 0930721501 8894063847 9710095408 4051425278 9300549537 0517079810 9001145851 0948370782 6874072202 8574220072 1650603020 2004744108 5763902005 2975612768 9019095413 5533492934 9729908965 1229004762 0085171676 8440960398 4993966081 8973291319 5870076591 4426172203 3909893584 9664745667 4680550399 0513201105 9270190361 3455923415 8410328533 1162221435 0897045451 2440972732 8224857176 8443253934 4587902500 0792171984 9143087733 9541240117 8953840124 3928021115 1847318793 5139404608 3819582389 8576196497 5982829406 7025929413 0974366023 6264460519 1790826132 7310353643 5426515671 5534970566 0932397517 6430822558 8177377733 9735137162 2092795669 1887808211 5114258427 6666981725 3429525749 3671941678 2399993307 6692544449 9210933385 9656840833 9416638614 0179294390 2879094752 1326867491 2094551860 5332571420 9198836640 4460567602 2490614277 1642089709 4763770709 4482313618 6960400665 3795784122 4747247565 6410861650 5087344091 9043173116 9053615388 5424538959 8436378882 1368081392 6297143912 8778167602 7109532124 6491458291 0566787588 8157883349 6356738451 6218626473 0924959457 5692503153 2939310007 3805154392 8838047530 2022846928 0346642524 4351276974 0306951548 4666397239 7922304516 9706705737 5811334476 4297061688 6250649094 1645471281 4315275071 6112879224 3231007259 4272185239 0244177153 6081453151 5964696877 0628912583 1429632433 5437826534 9867514164 8479077480 8061051163 5401444806 8787811250 0264076257 8176921547 7239563207 3606232500 2007083976 3127532888 2957633333 1392399813 6638880377 8781802587 3768977927 6423639512 1828061462 3585391902 5809037725 5972733897 4827332430 3334004274 0776473981 5445440983 8587957887 1790628317 1410770824 1757631426 1748772252 6608028399 2390619116 0763425764 6491287832 8523961297 5536350677 4554816349.

With those constraints, the unique continued fraction is: {0, 1, 1, 23, 1, 23, 2, 1, 5, 7, 2, 1, 1, 39, 4, 11, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 17, 1, 10, 1, 59, 1, 9, 5, 1, 3, 17, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 16, 3, 18, 1, 4, 3, 1, 12, 170, 1, 1, 2, 17, 35, 1, 2, 3, 1, 1, 10, 1, 22, 1, 395, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 4, 5, 1, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 5, 4, 2, 3, 18, 2, 4, 2, 1, 1, 56, 1, 13, 4, 1, 3, 2, 3, 2, 1, 15, 3, 1, 15, 45, 2, 1, 1, 13, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 8, 1, 3, 1, 3, 82, 1, 1, 16, 3, 1, 2, 1, 14, 3, 23, 1, 1, 7, 16, 1, 1, 1, 3, 3, 23, 7, 30, 1, 3, 3, 3, 2, 10, 1, 3, 1, 1, 25, 7, 641, 2, 3, 2, 1, 160, 2, 1, 2, 6, 25, 13, 1, 1, 1, 113, 2, 6, 3, 3, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 4, 2, 46, 3, 4, 69, 13, 1, 12, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 7, 2, 8, 1, 2, 1, 1, 222, 10, 4, 1, 13, 2, 1, 3, 2, 13, 1, 4, 151, 2, 39, 3, 6, 13, 4, 1, 6, 21, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 6, 2, 1, 2, 21, 1, 1, 2, 295, 1, 3, 8, 2, 4, 1, 7, 1, 35, 1, 24, 2, 13, 3, 3, 3, 1, 25, 3, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 1, 5, 14, 1, 2, 2, 4, 4, 3, 2, 1, 34, 2, 14, 3, 19, 2, 7, 1, 14, 1, 5, 5, 6, 7, 1, 7, 2, 4, 2, 1, 1, 2, 3, 6, 4, 3, 1, 1, 1, 5, 2, 5, 1, 5, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 260, 1, 1, 4, 1, 3, 2, 1, 7, 34, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 3, 99, 1, 10, 1, 1, 2, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 7, 1, 38, 1, 1, 5, 1, 4, 5, 2, 4, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 2, 1, 23, 18, 1, 8, 1, 1, 7, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 11, 2, 42, 26, 2, 1, 4, 4, 5, 1, 4, 31, 20, 2, 111, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 4, 2, 2, 8, 4, 10, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 37, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 3, 6, 1, 2, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 19, 1, 7, 9, 2, 4, 2, 25, 8, 1, 1, 2, 1, 23, 1, 1, 6, 3, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 55, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 7, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 1, 5, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 4, 3, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 53, 1, 5, 1, 9, 1, 1, 25, 3, 3, 2, 9, 1, 1, 1, 2, 201, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 10, 3, 2, 7, 6, 1, 1, 4, 1, 79, 1, 5, 3, 1, 13, 30, 2, 2, 4, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 4, 1, 79, 3, 9, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 69, 1, 71, 24, 4, 3, 1, 2, 4, 1, 10, 1, 2, 2, 5, 3, 1, 10, 2, 1, 1, 1, 2, 16, 77, 6, 2, 1, 10, 56, 12, 11, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 5, 446, 1, 7, 4, 2, 8, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 2, 2, 4, 4, 3, 1, 25, 1, 9, 1, 6, 8, 7, 326, 2, 2, 2, 5, 3, 6, 1, 3, 5, 2, 2, 4, 1, 4, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 14, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 2, 3, 1, 18, 22, 7, 1, 3, 1, 1, 1325, 1, 6, 3, 1, 3, 1, 118, 1, 1, 1, 5, 8, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 13, 1, 1, 4, 5, 2, 8, 1, 12, 2, 1, 2, 2, 1, 9, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 21, 1, 1, 27, 25, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 1, 1, 1, 2, 2, 7, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 4, 42, 1, 11, 4, 1, 16, 11, 1, 7, 3, 1, 17, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 88, 289, 1, 1, 3, 8, 2, 4, 1, 12, 1, 14, 3, 1, 14, 1, 8, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 17, 3, 8, 4, 4, 32, 2, 2, 1, 5, 1, 5, 6, 102, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 18, 7, 6, 9, 2, 1, 3, 1, 1, 113, 3, 1, 3, 1, 2, 108, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 13, 11, 1, 9, 2, 10, 6, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 8, 16, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 7, 1, 6, 16, 1, 2, 1, 9, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 18, 1, 12, 9, 8, 3, 6, 1, 4, 1, 2, 1, 41, 1, 243, 2, 1, 15, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1040, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 11, 1, 4, 1, 8, 4, 1, 4, 12, 26, 2, 1, 1, 1, 1, 54, 4, 3, 1, 27, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 5, 4, 1, 3, 6, 1, 3, 4, 5, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 9, 1, 8, 3, 1, 3, 2, 1, 13, 5, 1, 4, 6, 2, 47, 1, 22, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 3, 12, 8, 1, 7, 2, 30, 1, 3, 12, 2, 5, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 18, 1, 27, 1, 7, 1, 22, 1, 161, 1, 26, 3, 1, 1, 4, 2, 58, 4, 2, 3, 5, 19, 2, 6, 2, 2, 9, 3, 13, 3, 137, 3, 1, 1, 1, 11, 7, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 10, 75, 2, 1, 48, 1, 1, 4, 3, 2, 2, 2, 6, 1, 3, 1, 13, 2, 9, 10, 13, 1, 1, 31, 9, 1, 2, 1, 5, 7, 3, 4, 1, 3, 7, 1, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 3, 303, 9, 25, 1, 11, 1, 3, 3, 13, 10, 3, 3, 10, 2, 11, 1171, 78, 2, 6, 1, 335, 1, 4, 6, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 65, 1, 9, 1, 2, 2, 1, 91, 5, 61, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 19, 4, 1, 2, 1, 13, 1, 2, 1, 9, 1, 23, 1, 1, 30, 1, 3, 1, 46, 1, 2, 2, 18, 2, 1, 43, 2, 1, 10, 18, 7, 8, 2, 1, 2, 3, 1, 10, 4, 1, 1, 94, 10, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 2, 29, 1, 50, 1, 45, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 6, 2, 6, 1, 6, 1, 1, 4, 1, 48, 2, 11, 3, 32, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 6, 1, 4, 1, 30, 7, 2, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 1, 1861, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 28, 1, 1, 48, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 5, 2, 14, 20, 6, 1, 1, 1, 5, 1, 97, 3, 4, 2, 18, 1, 3, 6, 1, 3, 1, 3, 1, 6, 1, 17, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 9, 3, 1, 1, 71, 1, 7, 483, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 3, 8, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 35, 1, 4, 1, 2, 1, 38, 6, 1, 5, 24, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 8, 3, 4, 2, 10, 1, 3, 1, 11, 2, 97, 1, 28, 1, 3, 1, 7, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 119, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 4, 1, 68, 1, 3, 3, 1, 14, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 8, 800, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 19, 1, 9, 31, 2, 2, 8, 2, 6, 31, 2, 3, 4, 1, 3, 1, 30, 2, 1, 7, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 24, 20, 9, 1, 1, 16, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 2, 1, 29, 9, 1, 15, 5, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 9, 2, 6, 7, 6, 1, 1, 3, 4, 9, 2, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 144, 5, 16, 3, 1, 7, 4, 4, 2, 4, 1, 1, 5, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 24, 2, 1, 1, 3, 1, 9, 1, 2, 1, 5, 1, 90, 7, 9, 4, 1, 3, 208, 2, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 11, 2, 2, 1, 3, 1, 13, 4, 1, 1, 1, 5, 5, 3, 4, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 2, 55, 1, 2, 1, 1, 5, 12, 1, 3, 4, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 10, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 335, 1, 2, 10, 3, 1, 1, 30, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 11, 1, 2, 2, 1, 8, 3, 1, 10, 3, 2, 3, 1, 9, 2, 3, 1, 3, 1, 60, 2, 4, 2, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 834, 1, 1, 5, 1, 2, 32, 1, 5, 1, 1, 2, 2, 10, 1, 1, 15, 1, 1, 149, 6, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 6, 9, 1, 6, 43, 1, 10, 3, 1, 3, 7, 4, 3, 8, 5, 7, 2, 4, 1, 6, 5, 74, 2, 1, 2, 3, 1, 6, 2, 6, 12, 1, 13, 1, 14, 3, 1, 50, 10, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 1, 4, 7, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 1, 20, 1, 1, 1, 8, 1, 5, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 4, 3, 2, 131, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 9, 4, 10, 1, 6, 1, 1, 4, 8, 1, 1, 6, 1, 7, 1, 147, 1, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 7, 7, 1, 2, 2, 3, 7, 1, 2, 5, 3, 1, 2, 9, 1, 193, 2, 1, 61, 2, 1, 3, 1, 16, 1, 6, 35, 5, 1, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 60, 1, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 139, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 4, 9, 2, 2, 20, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 43, 2, 1, 22, 59, 1, 2, 5, 1, 2, 129, 1, 8, 1, 8, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 27, 2, 6, 1, 1, 5, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 6, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 3, 13, 22, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 5, 1, 3, 3, 14, 1, 5, 1, 7, 3, 1, 10, 1, 2, 1, 7, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 15, 3, 2, 2, 1, 5, 1, 3, 2, 37, 6, 41, 52, 1, 4, 39, 3, 1, 36, 1, 20, 10, 1, 1, 1, 29, 1, 2, 2, 2, 2, 15, 3, 11, 1, 2589, 3, 1, 3, 1, 2, 47, 16, 2, 9, 10, 1, 6, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 7, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 19, 3, 195, 2, 1, 1, 6, 4, 2, 3, 10, 2, 1, 1, 8, 6, 12, 3, 4, 1, 3, 2, 1, 20, 1, 1, 1, 9, 4, 1, 1, 1, 11, 8, 1, 6, 1, 7, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 5, 9, 1, 1, 3, 3, 15, 6, 1, 1, 3, 3, 2, 48, 1, 29, 2, 2, 7, 1, 2, 15, 4, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 17, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 6, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 2, 7, 7, 4, 7, 9, 1, 4, 1, 5, 4, 2, 6, 6, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 13, 5, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 15, 1, 18, 5, 1, 8, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 3, 24, 4, 12, 2, 1, 1, 12, 1, 17, 4, 1, 23, 2, 62, 2, 1, 10, 3, 2, 1, 1, 17, 1, 2, 1, 11, 5, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 32, 13, 2, 25, 1, 2, 2, 10, 1, 4, 2, 2, 6, 1, 2, 2, 2, 1, 10, 11, 1, 12, 2, 4, 10, 27, 1, 1, 1, 1, 6, 4, 6, 8, 9, 1, 6, 4, 1, 1, 1, 5, 1, 10, 1, 5, 1, 7, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 16, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 2, 3, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 8, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 2, 5, 6, 1, 5, 1, 1, 2, 7, 68, 3, 1, 3, 8, 1, 5, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 2, 4, 54, 3, 2, 8, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 19, 6, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 40, 2, 4, 6, 1, 1, 4, 2, 1, 3, 1, 3, 6, 91, 5, 3, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 11, 6, 1, 3, 3, 1, 11, 2, 1, 6, 8, 76, 1, 9, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 8, 8, 7, 10, 1, 46, 1, 2, 2, 16, 1, 2, 1, 3, 2, 5, 10, 4, 1, 4, 2, 7, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 19, 86, 1, 30, 1, 1, 2, 8, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 21, 1, 8, 1, 5, 2, 9, 1, 12, 3, 1, 1, 6, 33, 8, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 22, 1, 1, 3, 21, 2, 2, 1, 5, 10, 2, 1, 5, 1, 1, 24, 5, 1, 1, 1, 15, 8, 1, 3, 1, 16, 1, 2, 8, 2, 1, 1, 30, 2, 1, 5, 1, 13, 1, 6, 2, 49, 1, 1, 1, 8, 4, 44, 1, 5, 5, 2, 6, 5, 1, 2, 2, 1, 4, 3, 3, 5, 2, 6, 2, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 9, 1, 2, 2, 1, 15, 1, 1, 2, 16, 3, 1, 7, 3, 1, 2, 7, 2, 54, 4, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2298, 1, 7, 1, 22, 1, 4, 94, 3, 3, 9, 32, 3, 5, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 32, 1, 3, 1, 7, 1, 75, 4, 765, 2, 4, 1, 4, 1, 127, 3, 2, 1, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 20, 2, 1, 92, 1, 222, 3, 2, 2, 2, 3, 7, 24, 1, 15, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 1, 1, 7, 7, 1, 1, 2, 11, 1, 1, 14, 95, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 13, 3, 1, 10, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 8, 1, 8, 1, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 13, 14, 1, 110, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 10, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 12, 1, 5, 7, 2, 2, 17, 1, 95, 7, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 6, 2, 5, 3, 5, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 3, 23, 2, 1, 1, 3, 1, 30, 1, 1, 3, 1, 1, 27, 1, 1, 13, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 28, 1, 1, 4, 21, 2, 3, 22, 1, 18, 1, 34, 1, 10, 11, 1, 354, 3, 1, 95, 2, 1, 7, 1, 1, 18, 1, 2, 1, 8, 2, 2, 1, 2272, 2, 1, 1, 2, 7, 2, 2, 1, 5, 194, 5, 3, 2, 10, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 19, 1, 3, 2, 7, 1, 277, 4, 2, 3, 1, 508, 1, 1, 1, 9, 1, 5, 5, 2, 1, 1, 2, 2, 11, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 2, 1, 31, 9, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 7, 2, 8, 3, 1, 167, 2, 1, 4, 1, 1, 12, 1, 8, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 6, 23, 11, 1, 7, 1, 14, 2, 1, 1, 33, 94, 1, 36, 1, 3, 41, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 5, 5, 7, 1, 25, 1, 1, 2, 10, 6, 1, 1, 6, 2, 2, 6, 1, 4, 2, 1, 9, 1, 2, 1, 6, 9, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 9, 10, 1, 1, 3, 4, 1, 4, 3, 35, 3, 1, 1, 25, 2, 49, 1, 1, 10, 4, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 51, 153, 1, 4, 1, 1, 38, 6, 6, 1, 3, 1, 3, 8, 34, 1, 13, 1, 1, 3, 2, 1, 29, 1, 13, 2, 19, 1, 26, 3, 2, 1, 1, 5, 4, 1, 2, 2, 5, 32, 1, 9, 4, 1, 2, 6, 1, 40, 1, 1, 3, 6, 4, 4, 3, 1, 4, 3, 1, 1, 3, 1, 81, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 4, 3, 2, 8, 2, 9, 1, 2, 19, 4, 1, 2, 2, 1, 10, 11, 5, 1, 4, 1, 1, 3, 1, 8, 1, 92, 1, 1, 7, 7, 3, 1, 27, 2, 4, 1, 15, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 6, 45, 1, 3, 17, 2, 1, 1, 39, 1, 4, 1, 25, 1, 1, 3, 2, 17, 1, 4, 15, 9, 1, 15, 1, 6, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 1, 5, 59, 1, 1, 5, 4, 166, 1, 6, 6, 13, 1, 11, 3, 4, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 54, 2, 1, 23, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 259, 3, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 30, 59, 2, 4, 11, 5, 3, 1, 2, 2, 1, 7, 16, 10, 1, 13, 6, 1, 4, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 1, 10, 5, 3, 1, 12, 2, 3, 2, 1, 2, 21, 1, 2, 2, 4, 1, 1, 2, 26, 1, 12, 4, 6, 1, 10, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 5, 2, 2, 5, 7, 2, 1, 5, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 15, 3, 1, 2, 1, 2, 8, 1, 3, 1, 1, 15, 12, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 7, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 2, 6, 12, 12, 1, 1, 1, 81, 1, 4, 8, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 29, 23, 1, 18, 27, 1, 4, 2, 1, 1, 13, 8, 1, 1, 12, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 1, 4, 96, 1, 3, 4, 1, 13, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 5, 3, 2, 1, 8, 3, 138, 1, 3, 2, 2, 2, 9, 1, 1, 13, 1, 2, 1, 70, 1, 2, 5, 1, 12, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 16, 1, 4, 16, 10, 3, 1, 66, 2, 1, 21, 4, 1, 3, 5, 24, 18, 40, 38, 5, 1, 2, 1, 82, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 259, 1, 33, 1, 1, 1, 4, 1, 6, 2, 1, 5, 70, 2, 9, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 13, 2, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 2, 3, 1, 37, 1, 8, 2, 1, 3, 3, 1, 10, 1, 88, 1, 1, 17, 2, 1, 11, 6, 1, 1, 15, 1, 4, 3, 2, 4, 1, 2, 1, 1, 7, 5, 3, 2, 7, 4, 1, 4, 3, 3, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 29, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 2, 6, 9, 1, 71, 2, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 53, 2, 16, 1, 43, 1, 17, 2, 1, 1, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 10, 1, 5, 1, 2, 66, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 21, 1, 1, 10, 6, 21, 1, 3, 1, 1, 10, 16, 3, 4, 1, 1, 12, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 9, 4, 1, 11, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 3, 5, 2, 1, 11, 3, 1, 1, 2, 1, 9, 1, 1, 1, 13, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 11, 1, 3, 2, 1, 5, 1, 22, 138, 1, 4, 1, 1, 1, 17, 2, 6, 1, 3, 1, 23, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 9, 9, 2, 2, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 55, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 13, 1, 2, 2, 1, 9, 17, 1, 1, 11, 2, 3, 24, 2, 3, 1, 43, 7, 2, 2, 6, 1, 10, 1, 2, 3, 92, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 5, 35, 2, 10, 1, 13, 6, 1, 2, 1, 26, 1, 3, 2077, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 8, 4, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 1, 3, 22, 1, 1, 1, 4, 8, 3, 1, 47, 1, 11, 1, 12, 1, 1, 2, 1, 23, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 1, 1, 3, 40, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 18, 1, 85, 2, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 1, 29, 119, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 12, 1, 7, 7, 6, 7, 6, 1, 1, 1, 25, 1, 9, 5, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 7, 9, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 7, 13, 1, 3, 1, 6, 1, 4, 10, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 5, 2, 1, 2, 9, 1, 13, 2, 27, 5, 3, 1, 15, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 18, 1, 168, 1, 1, 1, 3, 1, 43, 2, 11, 3, 1, 5, 4, 2, 7, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 1, 2, 3, 167, 4, 1, 4, 1, 6, 1, 3, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 6, 6, 2, 11, 1, 1, 6, 11, 1, 3, 25, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 12, 2, 1, 3, 7, 1, 1, 5, 1, 18, 1, 3, 2, 1, 1, 5, 1, 21, 2, 2, 6, 15, 1, 2, 1, 11, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 7, 3, 1, 11, 2, 7, 1, 7, 5, 2, 5, 2, 3, 2, 1, 1, 74, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 4, 2, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 3, 6, 1, 15, 1, 39, 1, 6, 1, 1, 7, 1, 7, 1, 20, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 2, 2, 1, 18, 1, 3, 6, 1, 5, 1, 5, 1, 6, 2, 1, 2, 3, 1, 5, 2, 4, 4, 8, 2, 1, 5, 12, 1, 1, 20, 1, 19, 1, 1, 13, 17, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 25, 3, 3, 256, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 27, 1, 25, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 6, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 3, 1, 1, 2, 5, 2, 11, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 6, 1, 2, 8, 1, 124, 2, 1, 30, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 1, 1, 2, 1, 1, 17, 5, 19, 1, 1, 1, 27, 3, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 2, 1, 10, 1, 1, 38, 1, 2, 1, 3, 2, 21, 2, 3, 17, 2, 3, 3, 14, 1, 7, 3, 10, 3, 1, 71, 2, 4, 1, 48, 13, 1, 15, 1, 4, 3, 2, 63, 3, 1, 2, 8, 1, 2, 1, 1, 1, 21, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 7, 3, 1, 24, 2, 17, 1, 2, 82, 2, 2, 1, 23, 1, 24, 1, 6, 2, 220, 1, 8, 1, 8, 4, 43, 1, 31, 20, 2, 8, 45, 1, 1, 197, 154, 40, 1, 5, 2, 1, 5, 1, 4, 1, 1, 18, 1, 1, 1, 28, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 33, 9, 3, 1}, giving these values for u and v:

• u=1070443031 0394665293 2566352824 3352592768 8320020501 8367522717 4938419703 6688030571 1420075798 9815837413 3514495511 0430805122 3737992544 0271083606 6149826109 2792173814 3458488155 4505131122 3213855566 5903496240 8801782080 5801043519 0952270967 0607338521 0485253750 6118797833 7950161994 7592617849 5963827458 6895268873 7984081407 5080830078 9598410861 3286157316 2678413276 7664235255 4922588036 7905551099 4465361162 8376972078 2815603519 6233141341 2854539847 7759435321 1750658585 2371394907 9845103786 9412810267 3754577847 0319585158 5126798810 8190652221 7473236314 5957718352 3446942218 6129437552 1109915535 1773236411 5972369190 1437405347 5843570297 7468104305 6281080142 3769232956 5231789733 1840391562 3017656187 9496316783 4135499453 3432528312 7383553575 9692904603 1273723435 1222268074 9182878841 6131057272 3812608690 2930744330 8065203777 3461865003 4879582146 0027924058 9037837268 9809508054 7001100855 1983258836 6077301604 5343335450 3758443176 2048910947 9448046348 3449053592 6610841308 3174607921 0695648816 3878584634 4004069375 2073103061 7408033009 8675163531 2904466074 1359087324 7163333752 1705377705 3308656215 8900122231 1451327008 9662466773 6474551412 5944442108 1846219731 8478727146 0872307739 1948796479 7328721933 8517199703 4026518683 5649245830 1756667860 0925008767 4228572352 5541660482 6996502625 3706276786 2695788428 8343883196 3794278011 0112924748 3531308142 1212819445 4179378658 3972762968 2577319778 8111290516 8200826324 1367529393 7538385717 0855868918 3846272004 8534969274 5006946672 7898854337 3680414670 5547552961 3321184775 5261485815 1722155967 0329179940 5778503517 1023246475 2654384861 5442352830 2424714968 7278060354 8062914835 9523113498 7111740074 5768904828 2767580861 3548208488 3886958431 1214643393 7787549823 6862529625 4153108846 2799900733 6998163967 1383052027 7608876402 1135041090 2599878143 3355450807 7119235212 0281006697 1070780080 4921761451 9131542256 7593890447 0467999772 1805012829 8351129176 5586445253 3860220552 0511998796 3686533559 1592519166 1079313419 7388525071 9386731969 5783049025 3606384669 3561250002 8002015429 3334772752 4459898299 7576309712 3080508121 5736411706 7145497443 8602304684 8811887248 3066430622 2407458098 9061771163 5646582265 5838564662 1671477021 6411309643 2631729795 9447407914 4382065862 8656156048 3346201206 9036176114 4392963368 2570984495 1512406721 2961568396 1072291728 2336632744 3958583657 6692414480 0682795878 3947996901 9618769804 3983856264 7804828849 0268112892 4404169529 3100988702 6106190751
• v=2097997895 1839743141 8022565087 6350659893 9803639798 7359191913 6394098978 6840589922 8659606054 3095341996 7370742257 9023267646 8060942557 4884313583 8889532066 6820838244 6792207153 8754612823 0898718795 1205977253 5789190339 7486332196 5109898437 6401648968 9704798469 1689070164 5400168719 3524515263 0098014402 0898648274 3278533379 8223628958 6096545635 4900912604 1472387881 2408470973 7628491972 2869129570 3739238178 9292289273 0057898978 3699551585 6970578912 4092090979 8637413370 1154864978 9149497621 6883404779 8055282510 0841101467 9453629393 1124418728 5842918838 8023629659 0517416247 2638485240 5309083134 7322883230 1862391834 7550620864 1100848455 6026165425 2727635380 4195607185 5640185299 3444641552 2154468981 9301903465 2399144066 9518323091 7216605491 5813645534 7547181968 9937161573 5355615925 3080888924 5909633506 2133042805 7374122389 0530309892 7938134343 0935335811 1553618067 3464945514 5742760705 8763142817 0682817906 6967901625 0649242598 2482573748 9936812358 6752387880 9943447384 0631292054 0221452160 9113623323 9360197793 7418626967 4928892457 6446609068 2881476651 9833967965 2978407236 5618813900 8276450103 2024928712 1664689212 1864022839 2919520191 6015510327 0746424072 3159392342 9703865570 0614871526 5626154573 1615834949 7906683064 3805555703 7368358904 5035584305 0807813478 7729781945 3682762957 3395598874 1402947636 7174216169 4424538600 3721147285 7055329560 8007441790 9267260135 8869659129 6430041160 9032541881 9863334458 9642311835 1486956314 3480197488 2009429275 3382313582 6858055213 6664144564 9577193880 3298707579 2312279638 5624438549 0696792809 8541519098 4601331486 8199611071 3746238889 6135196415 6084421591 4010450614 5586603502 2909560947 6609238507 6219995735 3306838018 7810831175 4739960610 6311496179 6851562998 3910596633 8768316689 5227418568 7357046428 4965242158 9957320044 9059128541 4614223433 6831433090 8770317538 8605314256 6382335243 1282468596 2321007580 1098879901 2686427365 7156525807 4006035458 7755466365 4468301155 1997084868 0280087100 0223937180 9258313229 5870317599 4235307286 5747521340 6759190676 6179051387 9850402580 1291751614 0509000894 8354242410 8808360771 8874221381 5623650450 7312759982 3713557543 8155299452 2363539625 0951371107 3922862835 4029454230 9450357709 5578003098 4729363922 4348171367 8312250149 4563330442 1757992466 6396322278 2987463509 8134924612 0149174311 0892077027 1792676555 4372405910 3467997018 3957019653 5667028230 5360905412 1826082180 0935661109 7132497588 8091119854 6723180409 0765833981 4258904191

We also need to calculate d = floor(c₄·v/F + 0.5) = 45587 3938621358 4479280981 9274477137 0103273668 2801433990 2334375219 2772167736 4166460904 5573888667 9950468956 9379645082 0777864147 7496349722 3625144504 4428356903 7554016790 1498805645 7175691894 2270739513 4413393212 2874878869 2452300030 3585243377 3906538923 7079767927 5160420929 1424388788 9658816112 0831683829 4830244755 6023457081 2806029467 6237992080 8088402912 4456397385 0507773528 5240837781 5773815109 2561035012 0464722686 3949419286 3136884340 7124904199 2631060004 8150310648 5669615179 5133954327 1627867437 7130311226 5009142052 4940562852 2113007801 1471349207 7445366933 7154606892 9784690187 6674471065 7099926331 8669836544 9577863263 3980633258 4294761130 1395208117 7834540888 5564500532 3469958468 4775611507 4684316873 9738279308 9080471519 4870891683 9302284904 6353871595 5635422492 9454857636 6216974325 0105216116 7762447055 4716163280 3269573931 0256910934 0125150638 6585175507 0419523429 2557429537 3353912874 7511061999 9434382793 9421171616 0478755588 6699255201 6056575103 2418134504 4813374345 5431207359 4193095522 7230767857 8358175650 1032239301 4034047949 2592295401 2474680267 1840058458 4205351358 8589039510 5279928198 5208883606 3880308746 3150628667 4264840044 0635628455 4008683564 2036796787 4694052671 2157400351 8173112621 0680996628 3022660262 0684895918 3796904181 5206911587 3685012462 2984501028 5372949071 7633881471 2233973664 5192022217 7346398372 0356570929 2940904783 9077440478 1952215938 8148406712 1499212938 8045482970 0253208740 2683317675 3343295670 9989214336 3239898491 3150063741 3839152615 0219396258 1032365834 1190603547 7045347522 8200941510 6165715322 7018209474 3652172567 8365969142 2489851794 1088140355 3967589998 4356526271 6494034958 3060275189 8907734086 7168565733 7575740977 8332065122 3632148944 1551128068 7884725244 4378350076 7571398449 1107730840 0677245725 2338743416 9970300857 4869319358 3017622985 4689956449 3678225575 2902977160 4655636036 7020037359 0999965219 0606323686 1052663483 2654000052 0205540384 4938923486 0510604473 9267787603 8520887499 5953901973 5792113622 1395506712 4847190734 0741331013 8246067954 4107634440 3460451636 2636672824 2691277813 9296769394 5837736836 5322525769 9122629380 4365046043 7637006358 4499993855 8816464197 7482070525 1656495448 5381779081 4507951768 3861567760 3443271559 6488098897 7044850532 7406547238 0083395331 2454485710 7866764102 7570974296 6392077392 5251719212 8126943038 1522437435 7034560158 9062458652 2904971470 1116318127 0684398321 4883787430 1481950526 1602100525 1981753959 9221868887 7198498086 0041343321 1072697594 0866460345 0901679552 6963701434 1813749583 5795343568 8260296256 3057917924 6183526794 7567846590 8380872933 9261143922 0377345284 1535250964 4132938578 5780673670 6859745291 2597651632 2183482875 2836234940 7684436392 2006760624 4675330856 3460526812 2179492416 1819021467 5022422169 7459420154 7463563816 0539149480 2849261361 3522795402 3127599096 3838615994 6034021275 7193335204 9336689783 5607603893 1120141965 5340681011 5107793316 8539770231 2592298076 4433370178 5516233792 8246987018 3961455419 5760205362 7931654539 2522621012 3347536439 6779548885 0475278718 2694599105 5057918485 0911419586 3942117057 2000182702 5773028815 5473147999 0354545869 2754440602 7207652469 7022418872 3002633012 5410409027 3353012523 9768497500 1811996187 0417715975 4498344015 0439307128 3508338046 8394632220 3102820366 5592657161 0706420720 1718148645 1052659634 3711546392 7813824867 7776966732 5613319977 2265428352 5033313235 4759087240 8591854392 9403612699 8893311877 7995055059 3022573526 0535276785 6750611709 7025584184 7626422583 9061246057 3284100494 1437884355 0363823800 8241603875 1262626508 1385090670 6507812564 7166911302 4357149322 4548587678 3320165043 2940915344 6020336903 2908345151 0804014408 0536471036 5179708459 4082441060 5185213914 6037421117 6341342291 4605872107 7772125153 4221342864 9060985782 2886355721 6149459826 4259829009 8881261738 0327727529

Cubic Polynomial

We now consider the cubic P(x)= v·x³ + (u·F-c₁·v)·x² + (c₄·v-d·F+u)·x - d, which we express as: z₁·x³ + z₂·x² + z₃·x + z₄, where:

• z₁= + 2097997895 1839743141 8022565087 6350659893 9803639798 7359191913 6394098978 6840589922 8659606054 3095341996 7370742257 9023267646 8060942557 4884313583 8889532066 6820838244 6792207153 8754612823 0898718795 1205977253 5789190339 7486332196 5109898437 6401648968 9704798469 1689070164 5400168719 3524515263 0098014402 0898648274 3278533379 8223628958 6096545635 4900912604 1472387881 2408470973 7628491972 2869129570 3739238178 9292289273 0057898978 3699551585 6970578912 4092090979 8637413370 1154864978 9149497621 6883404779 8055282510 0841101467 9453629393 1124418728 5842918838 8023629659 0517416247 2638485240 5309083134 7322883230 1862391834 7550620864 1100848455 6026165425 2727635380 4195607185 5640185299 3444641552 2154468981 9301903465 2399144066 9518323091 7216605491 5813645534 7547181968 9937161573 5355615925 3080888924 5909633506 2133042805 7374122389 0530309892 7938134343 0935335811 1553618067 3464945514 5742760705 8763142817 0682817906 6967901625 0649242598 2482573748 9936812358 6752387880 9943447384 0631292054 0221452160 9113623323 9360197793 7418626967 4928892457 6446609068 2881476651 9833967965 2978407236 5618813900 8276450103 2024928712 1664689212 1864022839 2919520191 6015510327 0746424072 3159392342 9703865570 0614871526 5626154573 1615834949 7906683064 3805555703 7368358904 5035584305 0807813478 7729781945 3682762957 3395598874 1402947636 7174216169 4424538600 3721147285 7055329560 8007441790 9267260135 8869659129 6430041160 9032541881 9863334458 9642311835 1486956314 3480197488 2009429275 3382313582 6858055213 6664144564 9577193880 3298707579 2312279638 5624438549 0696792809 8541519098 4601331486 8199611071 3746238889 6135196415 6084421591 4010450614 5586603502 2909560947 6609238507 6219995735 3306838018 7810831175 4739960610 6311496179 6851562998 3910596633 8768316689 5227418568 7357046428 4965242158 9957320044 9059128541 4614223433 6831433090 8770317538 8605314256 6382335243 1282468596 2321007580 1098879901 2686427365 7156525807 4006035458 7755466365 4468301155 1997084868 0280087100 0223937180 9258313229 5870317599 4235307286 5747521340 6759190676 6179051387 9850402580 1291751614 0509000894 8354242410 8808360771 8874221381 5623650450 7312759982 3713557543 8155299452 2363539625 0951371107 3922862835 4029454230 9450357709 5578003098 4729363922 4348171367 8312250149 4563330442 1757992466 6396322278 2987463509 8134924612 0149174311 0892077027 1792676555 4372405910 3467997018 3957019653 5667028230 5360905412 1826082180 0935661109 7132497588 8091119854 6723180409 0765833981 4258904191
• z₂= +82624 6559958332 4698161246 8014001984 3694865869 5834440583 1077620336 4241172112 2240942510 3415379162 0345549359 7390332343 9367374859 6590679149 9818665402 5631082386 9558876071 4558363982 8129977614 4043351167 7232957505 1251170901 9890154147 4389849141 7819058502 5280972419 7060197618 7312477212 6349312173 3481303912 6922759840 0124046075 2914072624 4871408213 3466812939 7099041335 9866144005 2386904566 5201742258 3070352489 8398959662 1556242850 4272172407 3149555267 7384391005 6191320158 5930753933 3962747217 5144240438 2721137787 7099925346 8213678513 9846801425 7665579619 3250139630 6295855539 0665789192 3780334096 8826650805 9543534207 4007421946 0697308370 5203698159 2175696861 8350791431 5687325478 2192429540 0282253355 8338037888 6678305170 6479668559 2680227823 6181450668 8431203114 0582695725 8876312966 8122710377 4565571419 7086593114 9502678827 2623397762 1169738601 5581654360 3659057660 8657080280 1713714712 5414531895 2012750152 1421591769 7424881888 0091115159 2124134122 4595517968 8107127606 6890660209 6527605257 3017429676 1257953205 5524000320 1096592818 1839124949 1008681198 1760734351 7035246646 6663333337 5636599917 8610646968 8765746602 0825638151 7364457560 9089016016 4971187788 9682540811 5476173058 8652487163 9640217285 7902545044 2024255810 0775439961 4291104390 7636579689 4599626833 7093720789 0010164728 6527922754 1266781504 8011064583 4252551202 3206767565 1350518548 8569245195 0568348036 4095967959 4512877128 2752779540 2845866732 3038920021 7804773964 6657588309 7094394247 6069719553 2652277891 9004242123 6480647057 0690043564 0449282204 1735143904 7344691065 2172546857 7366557889 7805430499 6143091656 3425372083 2326540837 6865944727 1029974688 1957638723 0030998257 7295162209 0793051696 3062949686 1663788234 3052856861 3754717203 3814412880 8261692836 1462224886 3864621145 6435067039 1250425336 1361477758 7057269834 7236025839 9102329596 5669514340 4662027827 2840101302 8339005310 7554166284 4221843428 8396448382 1793938779 5777664089 2113320113 4724825360 6660235758 8791695554 9969890505 0619493584 6687814530 8072255485 2532033574 6617562382 5318975046 2005061601 8008886564 4300250650 4816107679 5695288150 1612613717 8335975310 7206193221 5463649530 2682181648 3115782695 8249115864 8403073326 2809791974 4095672355 2655319272 7274644579 0648140053 9586070111 9603165159 1463658426 0620491778 6541199124 8047601048 7510971239 7715986982 3836082996 3558673583 5859826565 4125335829 7791447919 6432884326 3176663296 7815067364 2185054039 2325505957 6801844407 0717785269 4929371800 9995722353 0318188306 3961333146 7007558358 1446545850 4197772063 0873069652 9007732701 1674376335 9531681259 7249067612 0426021118 3682004182 8476888641 7620095251 8617229949 2756382881 0033496737 1926316328 7117302661 9424552406 4652203546 3999049731 3171992867 9838572651 4902596998 3112904683 1247052831 7695481215 8304086595 1118523110 0269473629 7072680866 1521706409 8902456682 6562881591 8497264542 3829970175 3332919418 8203251280 0697638542 5906335826 2341184192 0329953719 2948927900 1890779045 6797799829 5059290142 0740759865 6314960225 9381641576 6814544285 9644870675 1287274262 4928400804 6838250549 7245467368 4307731516 7586644160 2781050540 1822501726 2954579725 0108904285 7847985154 7037730041 3329743331 8600544980 3263335112 5056525976 9699338516 1246643708 7787765162 7856272514 1069425552 8809692599 4077561812 7408507133 9407488061 1305634717 5968730744 9540352365 5220438086 0983398508 3376435853 5552125161 9441763361 2564234397 8328941046 2836608776 2260247246 1385767060 9961897450 7576337220 7300282493 4597358481 9041531401 1307740437 9843189911 4235363973 1852767225 6966192555 7051427802 7696360301 0652796519 9652233303 9184005216 2699398193 4570046871 1891672159 1336839338 5576188771 2698372219 8666249203 4202646416 2771668333 0875577856 7373846989 3010545524 0540213030 6896387492 4727712891 4014229263 1373851681 6733511721 8824227525 1849697173 2078330223
• z₃= +15937 7343864947 7595241842 8460627724 1218030381 5901911282 1514814225 8714727897 7441011672 7695318564 0597012062 9005261700 3181436193 7153236047 8510933510 1847257514 8286202945 8278801007 2213114230 0477294706 4798459348 3596606821 3871941067 0456898666 2289715047 8023163023 5117208652 1924820848 1214345342 7657351946 9125909139 3614748185 0835306242 9219069722 7668572088 1515816729 3567314250 1728607537 0761426401 9924680873 0522551850 8141951268 9605937565 7793810419 3118031764 7442340809 6678664127 4855458042 0495416014 5517569432 2007234035 3359627343 3955128333 6367339721 5040191825 4157017415 4205571812 1036561312 7864489067 1534720289 4251751655 4228916608 6561893085 7282033748 7054932433 7554218789 2388708876 2810660328 5274078014 3528552496 1761805719 6898877106 7542949256 6555580717 7902521216 8804473938 0058881829 6476087754 8103434231 4936478013 2378596231 3717585130 0753277674 7150891884 4573374540 6331266884 2245079436 6607379847 2748680410 5927893755 4357799291 8574645824 8863562507 7200840607 4860393675 3206234441 3920667255 3159477289 9855695472 4271742624 6224755273 2173785852 6903346971 5106628639 9801885473 4502737346 0739694232 3282426395 3178409134 9718137059 7630924202 4164172272 7971278714 8357393306 0407536863 8364710600 0428677656 9764695421 1009084408 6875735849 5484279550 4072522004 8061245056 8499689061 5368380193 3794451467 6414164559 7459601883 9091767893 3840278921 5454447545 8584469384 6911505805 3157154738 2035642427 5385432255 2693400236 6708659000 0968844443 3604776955 7368500567 5034323933 8033278826 8376564350 0337631402 0228762890 0143990844 5657473863 9648252323 0392285683 3334104281 2415025728 3317498834 4936396824 2514463895 9390130364 7182935645 4068508957 2292696588 2926980663 9199908181 4952620312 5285659483 4746306561 3843967460 5531264905 8127847430 5099026208 5714087800 9566797522 2149384178 2429314203 9267340003 6099376736 9507278766 3196657767 6778217425 7498164998 3893847639 4632973608 6319328973 3612008054 3141522052 7110987334 1038454453 3983294967 3929928928 0369715951 7523566708 8228982157 5948605293 9305989594 5716284628 0641571937 8483646876 6083879320 1884175807 3511477719 2862395877 6357191662 4387654207 2395654123 5329150085 2600783350 2943937990 8014687528 0312457236 0756286254 4089878107 9191864093 8966442223 9813298500 9703882848 1313539733 5625403056 8721793938 5539745820 1861940284 4778059516 3129206146 8870101364 5790361114 6824470967 7583666788 9901774483 3187069631 4024680972 3230952473 2880111687 0165498651 6081961926 6361543438 5219355626 2532789297 7899530640 9443413580 0830805258 8532671398 7366927963 6556817795 9442959063 5128464636 1739055982 1041219534 5951294869 7292158085 7311508459 2400123575 9099364704 3117820582 6489885602 1463391369 2119679736 6394865905 1328715603 5400902809 3321722112 8366259135 6875331696 7423995795 1054849808 5602562003 8219800352 4508361590 0233965566 1288929382 2589623645 7548946194 3567692644 0800266537 6274624340 4887191476 4239131267 9655208303 4983345239 1139688869 3826072876 5022864014 7977272024 3605584941 3700003472 6204774584 6887598179 6547330195 5127499590 0269985638 7137039340 8384483840 6732735201 2428865794 1941241623 9808675923 1109695487 7858008268 5300493398 9545456424 3335917666 0415343994 5223594279 8410049333 5408882170 0243119345 3081129835 6663681675 3782184228 1646322839 2458832557 6176300936 7784149826 9746110902 9776230813 2566365815 1809876365 5902888525 0319603215 2319954165 0010332219 0940254866 8858395531 9376895402 2406594103 8506558619 4085778622 0342147190 1074573051 0582374032 7859012247 9717556217 2409370916 6150193355 8803303131 7078982140 9874277655 2617997722 2347302658 0681340377 3541285900 6146913551 3410606711 8819998471 2052638831 6017237933 8760475267 0384999690 1981546534 1594137927 7721725570 7943505295 6376780538 9676609053 1588764573 5387865048 9656763053 5229009731 6563300188 5953469475 9595282043 9569670965 4622947402 8670795362 1646084137 2855520570 7258279107 0043036699 3519118217 9117331060 0082564246 3629603890 8673383041 2480695904 0723754746 4283701243 0487325125 3620734257 7613343901 2004247570 2467063461 1004070260 4350247629 6121076764 5726853558 4299196757 5181366033 2728423365 8046902191 6034075434 8778384841 5835482321 3508465179 0304998346 8763314006 4961788965 2244198535 4739078175 6190513971 8364782158 0689772684 2578739817 7569477753 4741041243 7478021882 0536636075 8513129225 0583101303 0038110645 3543874501 2292998457 3367766589 1467050702 8098179321 1084506958 9528020025 6420731451 8960774889 4187768294 2044012239 8987714972 0819249322 6069781286 8820667861 1847516221 9705835347 7823211906 3177670547 2569674726 1505661194 3898092338 4034137046 6961812638 2355649045 1939847316 8824500839 8077517434 4131536979 1740170197 8045427113 8476242914 8816567613 4307246850 8410332322 2313783184 4718394114 1851961093 5249408054 0244526183 5828354691 2932854306 4877727982 7912639426 5219443669 1502560593 9078372497 8632888997 6117261982 2730893925 1268317228 6316103159 3360662445 4596529350 3083765166 3894534076 5738865316 7909780720 7971905977 3414130293 9823804310 3486293378 7441806661 6982565038 4896376251 8416806952 8038683393 7980568566 6016331362 2923842801 4815086210 8578846465 1412562874 0702493424 1153336786 0647650536 5598922678 8563872338 1936467104 5330480469 2167205614 3872229074 8130649117 0552144312 9050478811 7754668271 0304879634 5814729651 7590911145 5499345407 9587553667 6931158748 5438214151 0722194242 3316394230 8520140300 9844224516 9159911992 2339234964 4119801043 8011310947 4453729621 7456260646 7828627233 0228434099 1407494778 9378362989 4273882039 8916785039 8159704475 9440591273 1930985298 7505344397 6732445043 0832282385 3637512143 7562600870 1759542775 9705438163 7352596395 5339407252 2579106416 9853395117 3603269105 3234997785 5786578615 9596031749 8285015704 7084769409 0272823481 3603141817 4678034720 4591080501 2152246516 6319395563 8654350486 1233721524 8794106831 2499051780 7664491833 5029813089 0751115888 1500676252 9509093420 5411791823 9410247607 5973319765 2396638159 0543162385 3675410031 7560379571 6424975811 1372189972 5269077507 9268148017 6893207681 6976175576 9877087204 4748294255 5302227033 5169919731 8812679283 1173247237 1367666055 1064683196 6489454139 1582565734 6685854547 8723722760 7882324956 2634280866 4201313787 9686431446 0662997461 0555112805 0552216288 0973669036 5918607924 6025714006 3896045642 6073191790 0847584345 2851202143 1042671939 2535010673 4899745727
• z₄= -45587 3938621358 4479280981 9274477137 0103273668 2801433990 2334375219 2772167736 4166460904 5573888667 9950468956 9379645082 0777864147 7496349722 3625144504 4428356903 7554016790 1498805645 7175691894 2270739513 4413393212 2874878869 2452300030 3585243377 3906538923 7079767927 5160420929 1424388788 9658816112 0831683829 4830244755 6023457081 2806029467 6237992080 8088402912 4456397385 0507773528 5240837781 5773815109 2561035012 0464722686 3949419286 3136884340 7124904199 2631060004 8150310648 5669615179 5133954327 1627867437 7130311226 5009142052 4940562852 2113007801 1471349207 7445366933 7154606892 9784690187 6674471065 7099926331 8669836544 9577863263 3980633258 4294761130 1395208117 7834540888 5564500532 3469958468 4775611507 4684316873 9738279308 9080471519 4870891683 9302284904 6353871595 5635422492 9454857636 6216974325 0105216116 7762447055 4716163280 3269573931 0256910934 0125150638 6585175507 0419523429 2557429537 3353912874 7511061999 9434382793 9421171616 0478755588 6699255201 6056575103 2418134504 4813374345 5431207359 4193095522 7230767857 8358175650 1032239301 4034047949 2592295401 2474680267 1840058458 4205351358 8589039510 5279928198 5208883606 3880308746 3150628667 4264840044 0635628455 4008683564 2036796787 4694052671 2157400351 8173112621 0680996628 3022660262 0684895918 3796904181 5206911587 3685012462 2984501028 5372949071 7633881471 2233973664 5192022217 7346398372 0356570929 2940904783 9077440478 1952215938 8148406712 1499212938 8045482970 0253208740 2683317675 3343295670 9989214336 3239898491 3150063741 3839152615 0219396258 1032365834 1190603547 7045347522 8200941510 6165715322 7018209474 3652172567 8365969142 2489851794 1088140355 3967589998 4356526271 6494034958 3060275189 8907734086 7168565733 7575740977 8332065122 3632148944 1551128068 7884725244 4378350076 7571398449 1107730840 0677245725 2338743416 9970300857 4869319358 3017622985 4689956449 3678225575 2902977160 4655636036 7020037359 0999965219 0606323686 1052663483 2654000052 0205540384 4938923486 0510604473 9267787603 8520887499 5953901973 5792113622 1395506712 4847190734 0741331013 8246067954 4107634440 3460451636 2636672824 2691277813 9296769394 5837736836 5322525769 9122629380 4365046043 7637006358 4499993855 8816464197 7482070525 1656495448 5381779081 4507951768 3861567760 3443271559 6488098897 7044850532 7406547238 0083395331 2454485710 7866764102 7570974296 6392077392 5251719212 8126943038 1522437435 7034560158 9062458652 2904971470 1116318127 0684398321 4883787430 1481950526 1602100525 1981753959 9221868887 7198498086 0041343321 1072697594 0866460345 0901679552 6963701434 1813749583 5795343568 8260296256 3057917924 6183526794 7567846590 8380872933 9261143922 0377345284 1535250964 4132938578 5780673670 6859745291 2597651632 2183482875 2836234940 7684436392 2006760624 4675330856 3460526812 2179492416 1819021467 5022422169 7459420154 7463563816 0539149480 2849261361 3522795402 3127599096 3838615994 6034021275 7193335204 9336689783 5607603893 1120141965 5340681011 5107793316 8539770231 2592298076 4433370178 5516233792 8246987018 3961455419 5760205362 7931654539 2522621012 3347536439 6779548885 0475278718 2694599105 5057918485 0911419586 3942117057 2000182702 5773028815 5473147999 0354545869 2754440602 7207652469 7022418872 3002633012 5410409027 3353012523 9768497500 1811996187 0417715975 4498344015 0439307128 3508338046 8394632220 3102820366 5592657161 0706420720 1718148645 1052659634 3711546392 7813824867 7776966732 5613319977 2265428352 5033313235 4759087240 8591854392 9403612699 8893311877 7995055059 3022573526 0535276785 6750611709 7025584184 7626422583 9061246057 3284100494 1437884355 0363823800 8241603875 1262626508 1385090670 6507812564 7166911302 4357149322 4548587678 3320165043 2940915344 6020336903 2908345151 0804014408 0536471036 5179708459 4082441060 5185213914 6037421117 6341342291 4605872107 7772125153 4221342864 9060985782 2886355721 6149459826 4259829009 8881261738 0327727529

We need to prove that this cubic has no integer roots r such that r·F+1 is a non-trivial factor of N. Clearly r (if it exists) must lie between 1 and R.

P has a single real root at:

• 0+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)

There are no integer roots of P in the interval (1,R), so the proof of primality is complete.