Primality Certificate for (2728^4231-1)/2727

This certificate uses a theorem of Konyagin and Pomerance to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 30.059572% factorization of N-1:

We need the product F of all the prime factors from this partial factorization:

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 30.059572%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 734845 suffices.

Express N in base F

Let N = c₃·F³ + c₂·F² + c₁·F + 1. Let c₄ = c₃·F+c₂.

• c₁= 22421664 4063770081 1465890545 2552892981 0648035792 9081931602 6271477926 2061384932 2313688907 3066871216 5409220062 8826422892 6161029843 0310116078 2179640406 5479091485 4303588302 8646302964 8052412561 1591622181 4622924214 6444498160 2518589676 9909471026 4417212360 9910288831 8780912996 5584347398 0868026276 6855881067 4193156347 9026842682 7248360958 7867794895 2965241006 7354048628 4164040898 0862715280 1145654612 2363133291 1477434806 3586380632 9264511457 7867535576 1748910940 6101311251 3774955092 3840006430 3757101480 0614797046 4668685633 8251418735 6982898260 2295985338 7181592887 1642316260 3820771505 3975388005 8778732204 2776385846 5906559127 7982854906 2684897531 8474582288 6505641507 3278362065 4392339372 5315534469 9806392894 1477014007 2712840343 7451308640 3622472124 1277933742 1143490044 2935312001 9055851944 5353226343 4717485351 5862688867 7499060997 3775454500 9918055462 0794254221 4003143333 0159147583 9494514315 2233499717 6722332769 4967638588 9148218296 1393558747 3687100727 2862414735 7910273323 3370068267 3406172386 7715586330 4544832903 6885833815 7869562351 0165408340 0861663924 6405977997 9006481129 8345335399 4946599319 7072417953 3190577855 4692167308 0683706061 6216121201 7824721097 6604704679 2055910158 0628365902 4424644156 0999078624 9021226159 2134636668 8720175462 3460757660 1054858811 1727670659 2909070444 2133062648 6514624929 8478241171 1649946606 5093718011 3507764969 5163496049 5455712691 1196365030 3433974730 4426871655 4551512840 9275880973 7201172812 5373355202 0633249816 4831834698 3058316847 7301108776 5028497989 9103405708 0047754844 9524023304 2410144354 4113603554 3676064993 8496660577 1588200564 7093764176 2876927066 0876133569 5231179475 1907305870 6836555356 9432492410 2219183652 2368423759 6203632355 4043461265 0897161071 2762532798 9620549132 5319180823 0578226750 8391400397 4858275015 6315795100 9044819510 6217663526 6778595143 9725535557 6005510382 9420382655 8748936318 5767465960 6854613640 6177739672 6092800371 4538826268 5548753946 2947966532 0336806301 5577947177 2130915424 0002053871 5216522794 2946802472 0606958527 8511552820 4851341991 7228053624 1693340248 1032918320 3840199267 7098325643 1601729152 9773629955 9537504152 9535172843 4524188797 3666711072 8655907520 3659166193 3615297086 2922080968 3630046893 5348778514 9165860986 2525960361 1251416968 9152760613 0054783053 0115691696 8370649645 4917880045 0402126419 9469404210 7186700201 2469209334 5878900594 4025321980 4302466225 0537446470 3010697528 9690043232 0498995871 5976384345 5882071913 5771778052 0081256420 6754347058 0719443523 9931816038 9697535373 2897878057 2779086392 8620423375 2021295445 1295045496 6580830139 1179093846 1026209512 9509392080 5275445701 3056632204 5159777109 3320150216 1675377956 3442258022 1167811201 0834102337 0221886832 9603846756 9660942050 0969730142 0809616538 7530628159 5364174663 7985279402 8707693811 2109970346 5034407199 1761747299 1368030870 8686092911 9194269558 1023643608 9665059537 8695141350 0957107609 9660399217 9489939967 9354473422 1946738696 7911596751 1268441678 0167769235 6056408795 6916350335 7020550488 0241253183 6545352809 5131377303 3067595936 2606019061 3694900879 5355093186 7004075529 8073715733 9510560771 2362623588 8962122413 8806666914 6911992466 4102669659 6893182779 7025625240 1017188622 1965027507 6657726015 2941285042 2559587990 4808504280 2313691198 3451282167 9572120426 2063135399 0344753654 6026683419 8259237123 2058093804 3728935505 6116354783 7703669546 5402557872 2599668197 7438217051 3782473064 9068609326 7501459468 1580733683 4453992472 8759461196 8162312853 6466992089 5780844469 1907074592 0112352617 4692443799 9184095740 3174819726 9503350688 7458556882 2636210884 9386529107 0891853203 9681137556 5913219597 7813339587 2784895872 0740549500 9250432814 3129495475 7911391014 8630138088 5662054066 2420635562 8025158796 7076620548 4268510076 7981809339 6449369390 7890081952 0336519239 7320623262 5981581675 7223712949 8054661105 4319021088 6355575603 0460227161 5789050601 1292504453 9730305240 7612568463 6896587888 7744078650 2402028189 2668551983 0213266479 4947947922 1261738726 4268878949 1870517248 0488953633 8848694672 0885854791 3012259092 5624119656 0065236281 7068662651 5121662981 5846456532 7867469669 9705013737 5225730668 7554328828 5802883863 8141066337 8541592103 9901226261 2147466980 0105670386 3425961925 2551507794 0247916131 1650094260 8404506728 2146858830 4173113189 1722452985 5139611209 5144783339 1406178742 5201614351 0369534274 6751503668 8064451375 4831993151 9197996453 8962778580 4331027820 8321190624 6245858151 3108838196 7050870063 0107211719 5033665409 4976057870 8264974296 0902170747 7443368806 5341163015 2182850326 9243101375 9639873766 9860207869 6054160150 4352676399 4504401170 7046667773 2384017019
• c₂= 97018921 6932915251 4334571381 6151718487 3253160488 8179104404 1701538556 7989196455 0350504743 8649350947 5914033370 8149410681 8997268532 0774124225 5276472421 2574177826 9938379572 5824874418 3600326239 7206797462 4933438192 5869398449 9323101729 1323652117 1088464844 7893079219 3142705838 7506459769 4228230776 4214667032 4401314745 0657968159 3514405438 3367021247 0938216352 4603801696 6273940523 5992476234 3406636498 7033225265 4906694053 2642229204 1376241158 3278697831 2379920587 8187456046 4656723183 6246251403 5438603241 7730620925 0307773001 4356932957 5369908841 8181903728 0758290672 6181579639 5985772737 1347813688 2479829276 1626853669 9222819964 6471277395 4420973532 6769230502 0370125734 5237975786 2407436845 8862224280 4749358133 2450562841 7927854313 2226991474 3349214819 4661485206 6928877561 3452622063 0664857515 5279774495 6769451891 5095474501 2591404984 1701226182 5611221994 8479343524 1819395378 9866776447 3816943021 6120657841 1611616841 3900612055 0619828051 9305566168 3263936024 0774618196 5177088831 8275723987 1107205887 8180503694 1629408679 7401497203 4720632930 9532134391 7241117376 9200252599 4916940236 5024110147 2442378812 2436690274 6841127244 2243435845 9390170725 0489484390 3331014712 8529634749 7770300881 1870144443 4261004319 5393786368 3409472192 8628124422 9529535109 9699784460 7874573626 2732993797 0231316232 7611214144 9547861632 2368186766 8492583559 3041331196 5278309306 0840205634 2820402652 5056174852 2122702356 0557669997 9280295437 7835689337 1243755292 5580782774 0773385814 3513458726 9836559761 2492867837 2461904171 4149882689 9081587643 6348353288 0640457034 6979603590 2891364367 7994374360 5462969710 7376820270 5284513085 8083454053 2487250288 8240158956 0062396303 0098630398 7200321877 9873550410 0287190394 9384535726 6424945415 8042846888 7220946541 2996693998 9314666856 8718227551 0981135055 8256020564 1821080173 4343732450 2547238061 8906451795 9596959710 7736430717 6263571720 8004618737 6227085016 7253925888 2196389040 5760939433 0261286708 2662588745 0059671098 1232247424 8377316989 5647550676 1490109211 0864702616 5164841000 2588726651 6955812189 9622169189 1012859760 8416592547 4527072728 3318993765 4082586184 4387635138 2648722270 0143022022 6970530473 2900943131 4984937625 4164246917 6573947075 6054827643 9235029664 8994669750 7219802375 0581823554 5214656024 6064568291 0004592999 9362344987 3608706034 5594420849 1758310041 8530841063 8467056707 0313661472 1211098048 3628377924 9776862374 4811689778 8051223979 9853782728 8624276606 6254037617 1270185500 5576082965 2919708257 4406199770 9751845151 2696843736 9210343169 7089175670 8903876090 7060005771 5737065017 4236702060 7928823579 1681536294 1794238653 6457853840 0636608911 1906927990 0115836373 0821235517 6065954220 6128942609 5968797221 3187796660 6378314410 4096482715 8982080877 5322250629 2173220315 6619526717 0656811828 0836837183 4133312889 6485615619 2550964551 8317078487 7397610038 9792960759 0178297490 9150942579 3801802108 9206675818 5780877332 8103881268 4161651464 6597645200 8842766519 2637362015 5627036365 5674956330 9401915972 0311416104 7547391413 8689963073 5864012041 9947757313 9183374686 9242163968 3461393135 1293195019 1335833651 2656392590 3693340713 0198852992 3468779695 4651923174 1021655122 3733136360 9271768000 5001163014 5561150799 0927284572 0706905600 3253528802 0487723491 0802816479 1483435596 5319109588 0779224923 0449207790 7230719042 1087136249 3966704960 0648477608 7555639390 0869189276 3724739467 5552798412 4006001299 6403666738 9948406998 1025620947 6565529203 6648738631 6877179702 6742897864 2982161486 0166749414 3134000450 8944110970 5304474828 5948816469 6898540373 3772999751 7921327181 4795874361 9339328469 8739435527 3494292821 6557200474 3351282031 0053873086 9433120632 8671369439 8730715339 2532196563 4379786980 8235829424 0118957864 5554788124 2083567859 6152005197 4485080916 7911475923 6708876155 7747812622 4793237464 9185522198 4694104925 8489394427 3710040060 1406080900 8922345721 1588840213 7198555388 9767622473 6023932324 1964610977 5739612166 3498992016 8205983585 7877189761 0714582978 1826063726 3309221371 3004737005 6990716153 8885198016 9531008710 0951268781 9267807471 2886700119 5967111043 3768273664 4925097165 5732707774 7664470470 6931197850 8103447035 9918663639 8549072423 4093255563 5314076502 4834120129 7638946501 0389964210 6483644713 2879872260 2380548991 2244066202 8019946162 3371416485 3821025905 2869910014 6103933909 8359739028 6692471243 2215264351 3486048094 5687053736 9460953284 6892527997 7176294561 1690814216 6503420496 3096725429 0907919062 6734039861 4825259490 9880645349 5714367188 9498243105 7515855112 7639663688 7310808284 4507793698 5708361575 3853298014 3000369797 1314761251 3218291102 2731242855 3525610038 9162009431 4419937647
• c₃= 24457206 8148000859 1351288457 3859983261 0570916668 6467560682 3595928433 9111286415 8676928606 7400834241 6838002344 4420807363 3817772710 5848743236 3390587936 9106359506 1745688407 8006524042 9498403218 7570245331 0303522459 7443903062 7203269197 1768787305 5459799925 4850300203 5004814801 8498900729 9727937682 6910276183 3542533425 5221306451 4736714373 7046760500 6887151947 5881791855 5275354906 8059107578 3334416684 2530285250 1611751062 7721753484 2310433202 4311489157 0314599347 8550284016 9513183818 2198377247 8056765779 7913801449 0702978022 6734268401 0675957786 8489934079 3863938152 1581509000 3641703212 9621221663 9924178939 9250888740 6140169680 7133659007 7077556872 8462310109 1890597843 1531644618 8380671731 7341687532 2873178468 7600726093 9050394703 4902107886 5144163788 6386669553 5467658263 6679966005 4335189336 2852142483 2211583768 5355214126 2962330014 5723933571 0323396288 7087744132 1640989976 0888318401 8206549515 8694058379 9000790547 7694809320 5151327247 7687246462 4932908706 8538293399 4124985633 0561333722 2816834631 5792683479 3682856071 8741875378 8899203583 1902460542 5649101958 7856958645 6275160567 8762292825 3566123348 4733537795 0737085612 9283164327 7001004237 4623266511 6361538051 7279441517 8320042960 6589318890 9783080899 8566465783 1593298580 9406041481 5726393777 5571357301 3235264737 7431939053 0093096750 1168596580 3635976843 5883736216 8109888188 4419677832 5177612121 0715613272 3245871370 0288990022 6607987032 8162609093 0551834381 9363037811 5459841168 5679175915 6381112551 9712585610 3156253136
• c₄= 1357939 2814303980 4118427065 6412563925 3004880008 5420099428 3252901890 3802675337 7008586532 6033035493 0644524228 3188569459 1141850621 7621957878 0055113701 2553537951 8839210563 0412084245 0039332289 6569717200 5356022087 1957515906 6820012682 3896797307 5937691291 3999426205 3144471092 2229023912 3484840095 9780954185 3647327852 7191672301 8143277414 3268858730 5333676036 5269162250 0214119528 5932912479 6160959804 4715771883 7374921836 2573681234 8463227674 7929320638 7748258699 3005226418 1664962151 0832045474 7947177293 3136425568 0889773233 2891256091 1359400442 4946615023 6072285567 1707376746 9278718577 3187217799 3866449926 9866858056 7830171990 2247943436 8272177617 1399103337 7925489884 1999777814 2584145872 7043576110 4083201204 1516658998 2356235619 7004545287 1576534781 9001978403 0936942398 7732955991 3495700107 6432434038 5291796248 4638326193 8801845941 4226497586 6301545472 2986876636 4815820011 1967855600 2109223067 2481970327 8829569394 4998202910 9376575669 4725293366 8802694676 8557550737 7297144608 4321510409 5000790906 5207776160 0595846320 5638567381 7895613558 6177579877 4746741869 6744509694 7701820346 4676890834 3393840462 1352137695 9039786279 1754559921 2715039311 2019934852 0780025318 3567959297 7349838361 8201701560 9393080401 2899101170 6157855415 0148843737 7560974237 8919205641 6352937792 8169441422 4320330237 6584869747 9611091871 8096173968 8020965964 1040465603 8637972905 4286553642 0502979717 0923032062 9543582967 5937147858 6861092227 0662835342 1248664642 9245736703 8136903765 3177486364 3915969034 2827029570 3250918033 7742302791 9054628053 5058866580 8185445593 3351830068 8158014736 2883601470 5722790706 8395499223 4366732712 7402408651 3926852340 3981938124 8542567593 9372815247 2510905998 2207092385 5675310142 0734572880 5235051423 5249233938 9163811268 1627234305 9028923043 7486784804 0756473314 5920322455 9125000363 4011194248 9958153947 3198520275 8940718409 4582772907 8127889468 0176371753 5127596920 5736311044 4104581474 6440712233 1865504872 4426615158 6091976196 3947184378 5977411400 1653267972 7865335559 3010057796 8046698475 9809468734 5351926279 1921747455 4871698033 6455290802 5265557261 9844061678 3832166171 8359757789 8795499114 9546340105 9123092298 2283189177 1043147159 7372024057 5522914279 6746787711 4727117687 9427887424 2150225169 6770772277 3708605498 7163291708 5103987433 6023237127 9309529601 1366825011 6621421987 0922017496 7697909611 2973199080 3511160021 8410052804 4832553397 0613098788 9556646081 4722071334 2439784610 4720757955 6262103289 4291610137 5018994371 9757036734 1887847121 2436772835 6473313239 1742865168 5412941124 8844847806 2013103380 7312727585 3188877358 6816220937 4577174517 1173877184 9494944074 8980152131 2608583278 8528488863 3583454386 5742349797 1211610171 5489884119 9095048620 2146994200 7603047991 1966043644 2672871941 8190688453 9308046913 7195065389 9673824787 6949212430 6121388747 0079255294 2053064438 3529304075 4657803012 2070020820 8269930045 7478545165 0536913125 7797017008 7824537236 2793631726 8644906503 0354151795 9351053044 8915910272 9368170081 8713483801 3125616061 7457363869 0584342300 8793326244 5884706309 5275610254 5471913600 1946625492 7635956410 3965020838 0494519626 9016287125 9087279701 3733982801 0428070699 5901757319 9132571796 9785246819 1138598015 7689107957 2959742536 1646176228 5818536854 9498944484 1902841011 2590802179 0235329305 3631552277 1439443295 4478338800 3907135875 9700697149 0156682847 3000080331 6177231206 5743135980 0673276289 9707056681 7278463989 5256436672 7468736644 0152084703 0588588633 2666267393 9860157942 0794861133 8575768110 8854115555 6566347417 3083546511 9536450124 7136699629 5144669638 4949563161 8727021153 8944335769 4924979674 0177063620 6373058813 0351847100 5254147001 6641768086 9290958723 6071272268 1967046825 0330420706 5701388258 4550003312 0196569960 1251255764 4979216783 4718688394 8526087407 0884516604 8216593108 6108939675 7733688087 7317133362 8751542803 8853907292 9828005482 1253727295 3143995090 4052672859 7429231988 1001133754 0691341215 5049884667 5063575599 5570457845 7806366662 2919732160 3840837360 1811136926 3797112531 3664232864 6750627555 6931473014 8410596487 2234628562 5584207521 7335361451 8436249794 8218437741 9911404444 2690505467 4426647607 4517773559 5989736405 2120033244 5899768421 2280838395 4722207041 7184618068 8339233250 9293316886 7503677041 4081184931 2183245801 9642746800 1126592574 0127719305 4967229477 4666801864 9506920397 2027277060 1109366346 3358097964 0431131963 8085137094 9915647522 3740021645 1028373465 7912129828 6666098379 4201725065 7157752828 3914726696 4714549418 6728463288 0462111832 0555098695 6350646599 3087938642 4587003125 6931152771 8135614881 3953379444 8080218773 6340116459 2601763389 8926128727 0945982927 7831415147 7825375714 6599419585 7553544798 5927223159 7567809158 7757045888 0716253807 3129778511 1035327047 4669623991 1553182028 8787124319 0865271287 7592402231 7072748657 3761150166 6029343966 9845064554 8805800882 8062184938 6322139736 5497247999 0429282840 7795859052 4123843004 2720420568 0364666985 1187146953 7176624427 0550651750 0117515585 3589633178 7823584852 8182992181 2483189356 9174236632 7227869042 9186113092 9522675869 5195168272 6646722011 0894045327 0721137869 9758098066 3279827970 5766543065 6290510505 0170641551 9629250575 8610533719 3963912833 5017611801 9924427492 9598955910 5196348459 7260260131 0891035625 9310484436 5943777325 5755134288 6126058456 6453996056 0175981326 8051419365 1264798249 0695118373 2992992639 7703339491 6317772852 2372521355 4005091130 4746115695 8042533448 8780700469 7100085223 3556669293 0668010697 6204637262 9782831752 5361949026 5471215490 8157032369 2413906530 1323169623 1476954385 1071057783 8038210604 8457406197 7577604179 3520552610 9532226781 0061573141 8506453373 9863721586 0663081043 0987281267 5688940782 1072174963 5824861612 8737246793 7120852645 5473966207 4279712900 0300824515 0555256783 0272812033 9256284117 8436605363 6974074079 7123458567 4518221048 6186694686 4487376261 3197788624 5375656985 6445563703 2420427994 2925378552 5044101275 7628842319 5670827269 7477526341 5205728246 6057090368 5738754731 5482772873 5758886674 2936731459 6738375698 0086167078 8949159850 7503769822 7050886066 7563292649 2394014714 1489058240 3550367418 8770926883 1564467114 7845943711 0801437850 7272856303

Square Checks

For t = 0 to 5, we prove that Q(t) = (c₁+t·F)²+4·t-4·c₄ is not a perfect square. This is done by checking whether Q(t) is a quadratic residue modulo a variety of bases. If it happens to be a QR in all of the bases, we calculate s = floor(sqrt(Q(t))) and show that s² < Q(t).

• Q(0) is not a perfect square: it is ≡ 29 (mod 64)
• Q(1) is not a perfect square: it is ≡ 52 (mod 65)
• Q(2) is not a perfect square: it is ≡ 5 (mod 64)
• Q(3) is not a perfect square: it is ≡ 42 (mod 63)
• Q(4) is not a perfect square: it is ≡ 45 (mod 64)
• Q(5) is not a perfect square: it is ≡ 50 (mod 63)

Continued Fraction

We approximate c₁/F by a continued fraction u/v such that v is maximal while remaining less than F² / N^1/2 = 4 7646754065 3613894939 5034118381 3702450208 5582952835 6515533159 2301895943 6713437121 5998539354 2475735725 6054333835 4199188301 4470247704 8640039480 5436179458 9455256141 0204589038 3029909568 4768482831 0050052828 2413446894 6126079370 7852625728 8206445305 6533249355 4711935121 3924464335 7070652381 1692786729 0011570298 7000262223 2024440299 5195799127 1979565370 6312822619 7631378887 3720079032 8883951341 1605810273 3736656471 2279078916 1953636562 8897003700 3529228089 4868913029 9373091320 1107254188 8829480677 7105389957 6291733667 5800001710 3407864460 1263671812 1665188854 6540286378 9817447301 6947679340 2957260176 0154070503 8620464214 9721144387 1040692198 1670491839 1221335399 3987408160 4657033598 9912448351 7684682096 0744374633 1583292236 8788958911 4190540688 1925950754 0728093580 3976769705 7062457146 5777390858 4538292544 5895542470 9766938989 7539262585 7121939385 0149464708 4938624340 3651845746 7731564596 4648155354 8487797472 4356797962 2825424416 8477418778 6304010425 7672742052 3543161962 1708120960 1707988271 0653568749 3205084162 5181051216 5643330547 8107630478 2279082661 4895087338 9093975506 4683487098 8406279954 6625013912 6167289551 9539474164 9000809602 8671703565 5726115689 9317485346 7912186784 3052628356 1134683826 2195779235 8119946618 0049495758 2321236319 7940671330 2653582163 2723986243 8512090959 1935884056 2462300099 9064067156 1094806712 4386220451 1426999109 2650761653 7383909384 3841396483 4051680594 3679543910 2792600880 4802155941 2685897701 0337055117 7801436472 3598582617 4079070086 4652235340 9086114243 1978570899 2245180514 2740579968.

With those constraints, the unique continued fraction is: {0, 24, 1, 3, 4, 1, 1, 31, 2, 5, 7, 1, 6, 1, 1, 6, 10, 1, 4, 1, 2, 16, 1, 18, 101, 1, 22, 1, 2, 1, 7, 1, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 31, 1, 12, 3, 137, 3, 4, 1, 6, 2, 4, 3, 11, 1, 3, 10, 8, 11, 2, 4, 3, 13, 4, 14, 55, 1, 1, 1, 3, 1, 55, 1, 1, 2, 17, 2, 2, 1, 16, 7, 3, 4, 3, 1, 1, 18, 1, 4, 1, 31, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 30, 36, 2, 1, 1, 21, 19, 3, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 13, 103, 9, 1, 11, 3, 3, 1, 3, 1, 2, 12, 1, 1, 4, 2, 3, 1, 5, 50, 8, 1, 52, 2, 3, 5, 10, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 14, 1, 115, 3, 6, 1, 6, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 9, 5, 3, 1, 3, 6, 2, 1, 2, 3, 10, 1, 5, 8, 1, 3, 1, 10, 7, 13, 2, 3, 4, 1, 13, 1, 30, 5, 1, 12, 1, 4, 1, 16, 1, 1, 8, 1, 29, 6, 4, 2, 1, 5, 2, 5, 5, 1, 7, 11, 2, 9, 1, 18, 5, 2, 2, 25, 1, 1, 5, 3, 7, 5, 1, 9, 1, 3, 1, 3, 1, 50, 1, 2, 10, 1, 8, 1, 13, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 4, 31, 1, 2, 12, 5, 1, 9, 3, 3, 2, 2, 24, 1, 8, 2, 10, 3, 1, 3, 2, 27, 1, 1, 3, 6, 20, 1, 11, 4, 3, 2, 1, 1, 47, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 49, 1, 359, 1, 14, 1, 30, 1, 3, 1, 3, 1, 10, 2, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 9, 1, 1, 1, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 38, 6, 1, 2, 19, 1, 12, 2, 1, 4, 1, 7, 38, 9, 43, 2, 2, 1, 2, 6, 2, 2, 1, 1, 1, 37, 381, 1, 42, 12, 2, 1, 2, 3, 1, 5, 35, 2, 1, 4, 1, 5, 3, 4, 1, 3, 1, 6, 1, 1, 13, 5, 8, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 12, 1, 8, 7, 2, 17, 3, 9, 2, 2, 1, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 68, 1, 1, 1, 1, 3, 33, 2, 1, 8, 1, 3, 67, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 7, 2, 3, 2, 1, 15, 1, 6, 2, 3, 1, 6, 1, 4, 1, 1, 2, 7, 66, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 12, 1, 4, 1, 9, 10, 1, 1, 6, 12, 7, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 5, 1, 59, 1, 46, 1, 10, 1, 4, 23, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 8, 6, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 2, 1, 1, 6, 69, 1, 1, 1, 2, 8, 31, 3, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 4, 2, 11, 8, 14, 1, 4, 3, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 1, 7, 3, 2, 1, 16, 3, 4, 1, 1, 9, 1, 45, 19, 1, 185, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 3, 4, 30, 1, 1, 1, 1, 19, 3, 2, 3, 8, 1, 3, 19, 3, 1, 5, 2, 7, 2, 2, 3, 1, 14, 3, 6, 1, 2, 5, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 5, 69, 2, 3, 4, 1, 1, 14, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 42, 10, 1, 16, 5, 1, 14, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 8, 1, 2, 17, 1, 3, 3, 3, 1, 26, 5, 2, 3, 1, 8, 2, 68, 1, 1, 23, 10, 2, 12, 2, 2, 1, 15, 1, 1, 1, 23, 8, 1, 7, 19, 4, 1, 4, 2, 2, 2, 1, 20, 2, 1, 2, 3, 6, 3, 8, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 2497, 5, 5, 3, 1, 44, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 15, 1, 1, 3, 5, 1, 7, 1, 3, 1, 814, 7, 1, 2, 1, 2, 6, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 1, 27, 1, 4, 1, 1, 27, 25, 6, 1, 1, 13, 3, 1, 5, 1, 31, 1, 28, 1, 1, 10, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 10, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 2, 36, 1, 1, 10, 1, 2, 9, 1, 76, 1, 1, 19, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 6, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 39, 1, 1, 11, 161, 1, 4, 1, 3, 1, 6, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 1, 1, 17, 1, 12, 3, 1, 26, 7, 155, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 9, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 108, 70, 1, 2, 1, 1, 14, 1, 1, 4, 88, 1, 2, 25, 1, 7, 7, 1, 143, 6, 1, 6, 1, 1, 13, 3, 1, 33, 1, 1, 6, 1, 1, 4, 4, 1, 5, 1, 2, 4, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 63, 5, 2, 1, 4, 1, 920, 13, 17, 1, 9, 1, 4, 2, 2, 7, 1, 70, 1, 2, 6, 1, 21, 88, 1, 2, 1, 4, 23, 1, 24, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 9, 5, 84, 7, 1, 8, 19, 31, 1, 1, 14, 1, 5, 5, 6, 1, 8, 2, 5, 4, 1, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 114, 6, 1, 2, 4, 6, 4, 17, 3, 1, 3, 1, 37, 1, 1, 14, 1, 1, 2, 32, 4, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 16, 4, 12, 1, 2, 688, 1, 2, 10, 3, 2, 4, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 13, 3, 1, 4, 2, 14, 4, 4, 1, 3, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 14, 1, 4, 2, 8, 4, 2, 6, 39, 1, 1, 11, 1, 4, 106, 3, 1, 4, 2, 2, 3, 6, 2, 21, 1, 3, 3, 22, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 14, 2, 5, 3, 1, 4, 1, 2, 5, 1, 1, 23, 1, 1, 13, 4, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 7, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 6, 1, 6, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 13, 5, 10, 1, 1, 5, 1, 3, 5, 4, 22, 1, 3, 1, 7, 17, 2, 2, 5, 102, 36, 1, 1, 56, 1, 1, 380, 1, 3, 1, 2, 152, 1, 11, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 10, 2, 2, 15, 29, 2, 5, 2, 1, 8, 6, 21, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 3, 1, 12, 1, 5, 2, 7, 1, 2, 5, 6, 1, 1, 1, 25, 1, 1, 4, 5, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 2, 8, 1, 166, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 12, 10, 2, 6, 1, 9, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 18, 2, 22, 1, 1, 63, 6, 1, 13, 5, 1, 2, 1, 5, 2, 20, 1, 3, 2, 3, 2, 6, 1, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 17, 2, 2, 3, 2, 1, 15, 76, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 2, 33, 1, 3, 3, 1, 9, 6, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 13, 2, 1, 1, 6, 1, 2, 1, 5, 6, 2, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 8, 2, 5, 3, 2, 15, 2, 2, 88, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 13, 1, 4, 1, 3, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 19, 1, 3, 2, 1, 1, 59, 2, 21, 1, 102, 1, 4, 1, 2, 19, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 1, 146, 1, 8, 103, 2, 1, 61, 1, 4, 13, 1, 2, 1, 7, 2, 1, 3, 2, 1, 5, 5, 3, 1, 4, 5, 1, 4, 84, 1, 7, 1, 3, 18, 4, 1, 3, 3, 13, 1, 5, 6, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 8, 3, 1, 1, 1, 13, 8, 9, 5, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 1, 10, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 5, 3, 1, 5, 1, 1, 15, 1, 1, 5, 1, 5, 8, 1, 1, 1, 76, 2, 8, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 142, 1, 1, 8, 4, 10, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 18, 1, 4, 10, 1, 14, 1, 3, 5, 1, 1, 1, 56, 3, 3, 1, 74, 55, 1, 7, 3, 19, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 12, 1, 1, 1, 5, 2, 2, 1, 10, 1, 3, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 99, 3, 1, 5, 1, 5, 1, 2, 4, 7, 3, 5, 1, 5, 1, 16, 1, 1, 1, 5, 6, 1, 1, 16, 1, 1, 2, 5, 9, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 4, 1, 1, 70, 5, 1, 6, 20, 2, 1, 2, 28, 2, 1, 1, 5, 2, 28, 1, 27, 42, 1, 1, 16, 3, 4, 1, 1, 1, 21, 4, 1, 1, 2, 10, 1, 46, 16, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3, 12, 1, 6, 2, 5, 1, 176, 1, 1, 3, 12, 1, 19, 8, 3, 1, 17, 7, 5, 3, 1, 1, 22, 1, 2, 1, 3, 75, 1, 11, 1, 1, 4, 1, 2, 5, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 1, 5, 24, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 7, 2, 43, 20, 1, 2, 1, 2, 11, 1, 5, 1, 26, 3, 1, 15, 1, 15, 1, 6, 1, 1, 1, 38, 2, 1, 22, 35, 3, 4, 1, 79, 66, 1, 1, 2, 2, 1, 17, 1, 9, 11, 2, 5, 3, 1, 2, 1, 1, 5, 1, 2, 3, 7, 1, 1, 1, 15, 1, 2, 1, 6, 5, 16, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 110, 15, 1, 4, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 2, 3, 16, 22, 2, 2, 1, 1, 1, 10, 1, 40, 1, 16, 1, 3, 4, 2, 15, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 4, 92, 11, 1, 2, 11, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 2, 7, 1, 6, 6, 4, 14, 2, 20, 1, 2, 8, 2, 1, 1, 3, 1, 9, 1, 30, 2, 1, 1, 2, 38, 1, 4, 4, 5, 1, 1, 8, 99, 2, 1, 1, 8, 3, 1, 2, 45, 1, 6, 8, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 67, 1, 46, 2, 1, 2, 3, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 3, 4, 2, 7, 24, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 3, 1, 2, 12, 2, 7, 4, 1, 11, 16, 119, 7, 13, 1, 14, 2, 2, 12, 1, 259, 4, 6, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 12, 2, 4, 1, 1, 1, 107, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 6, 5, 1, 20, 2, 18, 9, 13, 1, 4, 3, 1, 8, 1, 10, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 40, 1, 59, 2, 5, 4, 1, 1, 4, 5, 1, 5, 8, 27, 1, 44, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 9, 1, 5, 1, 6, 8, 1, 9, 13, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 9, 10, 2, 5, 4, 1, 3, 5, 2, 1, 10, 1, 9, 18, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 15, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 5, 2, 8, 5, 1, 6, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 2, 84, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 41, 1, 4, 18, 20, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 5, 1, 1, 10, 1, 5, 1, 33, 2, 3, 1, 6, 1, 7, 2, 2, 1, 7, 4, 2, 3, 8, 2, 29, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 8, 1, 4, 7, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 5, 2, 1, 1, 1, 6, 4, 13, 1, 2, 1, 11, 4, 1, 46, 3, 5, 1, 111, 3, 1, 5, 1, 5, 3, 1, 5, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 8, 1, 7, 1, 15, 17, 2, 1, 1, 6, 9, 3, 2, 261, 4, 100, 2, 43, 1, 2, 12, 116, 7, 1, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 11, 3, 2, 2, 1, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 20, 2, 9, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 237, 2, 2, 1, 11, 2, 1, 319, 1, 1, 11, 1, 2, 2, 1, 6, 43, 4, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 1, 27, 1, 3, 1, 1, 106, 1, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 6, 25, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 19, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 45, 7, 2, 8, 1, 19, 13, 165, 2, 4, 4, 1, 1, 1, 5, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 15, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 1, 2, 5, 4, 2, 267, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 7, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 12, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 2, 5, 1, 2, 10, 2, 265, 41, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 6, 4, 3, 1, 12, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 14, 1, 3, 28, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 14, 2, 1, 3, 6, 1, 5, 3, 1, 1, 186, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 56, 1, 1, 1, 19, 1, 1, 5, 8, 2, 5, 1, 1, 1, 5, 4, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 4, 1, 6, 9, 3, 4, 1, 2, 170, 1, 1, 17, 3, 33, 2, 1, 1, 3, 4, 5, 2, 7, 1, 1, 2, 1, 579, 8, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 37, 2, 2, 5, 7, 3, 12, 1, 4, 4, 5, 2, 5, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 5, 4, 1, 2, 1, 3, 7, 1, 6, 5, 23, 3, 1, 7, 11, 3, 5, 1, 10, 7, 1, 2, 2, 2, 1, 26, 1, 2, 121, 5, 1, 1, 8, 1, 1, 9, 3, 1, 1, 2, 20, 1, 12, 2, 3, 8, 1, 1, 1, 1, 15, 1, 7, 4, 1, 1, 5, 2, 3, 1, 38, 6, 4, 1, 18, 40, 3, 7, 1, 1, 9, 3, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 13, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 1, 2, 6, 3, 1, 2, 9, 1, 3, 6, 8, 4, 4, 3, 69, 3, 3, 8, 7, 1, 14, 1, 4, 2, 3, 1, 3, 8, 4, 2, 51, 1, 23, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 6, 2, 2, 1, 4, 4, 7, 1, 13, 1, 3, 3, 1, 5, 1, 1, 6, 1, 1, 2, 17, 1, 2, 1, 17, 16, 2, 2, 3, 1, 10, 1, 8, 1, 3, 4, 3, 59, 3, 1, 10, 3, 2, 2, 2, 3, 6, 6, 1, 1, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 114, 1, 4, 93, 1, 1, 1, 3, 13, 7, 26, 1, 3, 1, 15, 1, 2, 7, 2, 1, 14, 3, 1, 3, 2, 14, 1, 1, 19, 1, 1, 1, 5, 2, 2, 2, 1, 1, 19, 1}, giving these values for u and v:

• u=1510051150 8819393175 8098084125 2798417291 5122429757 9764101202 4160641890 4614883327 8642676121 1536487616 6093984106 7732855495 1180662588 1290320465 5503992684 2208584037 8693211326 1229252941 3684825541 0895598838 1414544609 7560433601 3427978473 8080285777 0910078117 3375727296 7352865645 7019984707 2974391545 6408209082 6900890340 2744252383 8363983446 2025287718 0532675445 2060888729 3628086532 8042039783 0229864426 3508204893 1798611893 6345524871 4746196514 4850347241 3448435012 4988617499 3894278544 2834680418 9228189896 1047488873 3055805466 1040318132 5356421104 8589141048 3649939756 9224013341 6673606128 1608580505 7401930807 7662744322 2529487383 3257365648 7327361340 0886467171 2925247509 2857486959 2056148128 4518615220 4431947528 5021740294 9173555281 1035979805 6975640866 1616930797 5658205971 3441180116 4452415812 8036178097 3875869144 6340181339 3361803351 0268079178 5830002133 3658277456 2127609091 8223168596 7837259221 3303985269 6619607487 0023330550 0035326639 7278662140 6265406842 3661894795 6302852887 0896583224 1199639142 0422522336 9042407648 3611846789 3391191045 6916436489 8352917042 8243258160 4256896875 0176574701 2534251982 7248398814 0783131192 3675129642 6107282291 2146503065 2967135975 4191387637 0649839007 9809413492 0742796490 8126226858 2849915314 1255876167 1933679939 5424740407 8923864394 5420366673 8234746984 3836221358 0072857664 9947819216 9277237532 9809434253 0723862197 3657530914 0325411995 3732559050 9774929234 1884611099 0493585453 4198715364 0757024478 2050038117 0042371376 2534661938 0608449731 9316709208 1691192250 4106238419 0359632959
• v= 3 7393602407 3632997175 0787859950 7060902528 7670020507 0068706349 7030781527 7374800000 4864671280 8326632801 0550019255 2280826106 9532360746 9668656614 0953925907 6173636287 1490202598 9512049895 2394127887 5901983860 3588323916 8357026810 4106621424 0660641247 3991765498 3675319505 6793161259 2018369818 9897778446 7883308114 2433549270 3527537424 3589678996 0142747850 9289716686 2365014105 8938650719 4424047206 2827200258 4510457187 7976865393 5713037283 8681880724 8392947419 4314938388 1755841485 4594846242 5223901454 3816671756 8847228497 5175469270 5717267581 3394628373 1447234273 3315924481 4040535644 7926177308 4031712870 4462734972 2148790487 5304078711 9765003627 0521803773 7268602999 0973696214 9252248314 0300081927 0701957808 2495277448 0298486804 3325444833 8769787090 1805738180 0795629208 8979097826 1852552105 4003902075 9767074041 2165571739 4983925310 4261050180 6339320300 8479483781 5906983060 7943748083 8543637533 0461794303 3628764426 2076349018 6340889561 3843567371 7993957920 2752408508 4292214929 7189863692 5762838232 8752690727 3711186122 3434465788 8369662972 3146401049 2987206155 3736584651 6094480987 5169289153 6465001967 0590618348 1498711560 9375389382 9102424566 4387878773 6241661553 1813797880 6141341657 8278502150 1261499771 0913851292 8977827967 9495285960 6939292429 3662226645 5333165541 3228164584 7422108404 3754145398 1923708856 7580397721 6275523945 4673718444 6063900896 0521649434 2711260740 8087346220 4101210740 6665785800 8220487183 0065284292 2756782670 4188853815 2085922766 7963144783 6197061197 2867083449 3875463566 2051086298 3174100699 0670031434

We also need to calculate d = floor(c₄·v/F + 0.5) = 91454306 7627290592 1661908289 9551397025 2860971259 6572198464 3549836989 1498888268 4463420262 6803381976 4237068007 7088219715 3807293611 9654970238 6527849711 4041945344 0169909676 4638306149 0203078654 1532395885 8905798099 4096203359 1032545212 9822833629 6945380718 6620347249 6541917306 1888363399 2420664019 6090686564 6882623256 5531498804 4821613674 3224315631 8384287747 0730007345 9489697126 7311585897 7975038134 2835541018 9384263389 4684259207 9567872621 3806516241 0441028210 9027333993 6139920202 9159991192 3503075866 8099756022 8412093296 8669948144 4111165724 1827815962 6149894398 4105689756 6746009372 0314000665 2377327653 8669225103 2736404286 3725662620 3041396570 7964746502 9195165207 9923026089 9700075647 5494365488 8923611136 5393975161 3160274028 5767723828 8879435269 7046235204 9115515061 7275739597 1093806736 8291698501 3114056283 0585927520 2393516938 2467564030 7834524385 1697160858 8002517330 1701463926 0665752114 1295440404 9607818478 6583348087 9790406644 8608601199 2547258310 9744073830 4302840508 1893694608 5236056701 2636077451 6232818375 1274320470 6240941144 4171409126 3460472289 6450461078 1782119585 1322477261 0214578966 3210022090 6052333392 8639810410 9935306928 1621277550 3394344447 0887834739 5406173032 1576866876 0930261279 3918873353 2920794283 0893831518 9214227949 0871698583 2182990559 0063068387 0588097759 1124170655 2929289119 1030388780 4847816636 0649189065 9561824648 3540529227 9269869795 1767091997 4077186239 3035536278 8499801773 9483312218 0903408038 9297261655 9583988094 0144691496 4818648978 1767571383 5075433773 2812017116 0025110302 8316001603 6560554272 8195153544 8750235240 2881357492 1846534180 6892192750 4061586372 5966702429 1064833523 4631574062 7459693205 3771588096 5331878805 2678676999 8712754012 9729895883 4283893504 7202451088 6881370364 7831560769 2041468216 5569542841 7526887424 7481135074 2108741079 0310979939 5950350152 2266779687 1376586647 9406338250 9861535234 9455914312 3083131914 9484078104 3244005031 9408765556 9768363685 5696956386 2042657891 1945556443 2801031364 8967363102 8426959875 4653860654 0210349234 0325303652 6935501416 0459197170 9860707726 1770385524 2350786709 6216706944 5177293753 2321224852 4067189016 3724010771 6475795314 7732448296 9057718642 9123418862 5354263728 5156523621 3486796303 8576606447 3596684647 5853288247 2551093746 9235331191 1944509143 1597851251 5714087192 8253197798 1135910507 1251248258 8945272372 6293247892 3656569122 1293355297 3528664115 6531780585 1697019975 4796462228 1915450187 9985092911 3809954077 8180501568 2755382544 6107697997 2446722716 5005308855 2248321662 4152920160 0307662851 6974210781 9252847959 4734530873 0356453099 0939628527 0301723393 1031930729 7596750604 7231630346 4962238824 8924710903 1047818425 1513223004 4840307169 5162513656 1997370880 9774448972 3765915448 8708277903 0139327708 4908001588 9246420379 9397513289 8032164484 2700627550 6564258297 4677845318 8379143675 2213139138 7552588530 0594377031 0935065641 9657548838 8772471782 4523318533 7800609641 0223502134 6386899194 1627031813 2547364648 9069864044 6508138332 0688058201 2440126781 5233862408 3766910495 6770593054 2160715198 7719304472

Cubic Polynomial

We now consider the cubic P(x)= v·x³ + (u·F-c₁·v)·x² + (c₄·v-d·F+u)·x - d, which we express as: z₁·x³ + z₂·x² + z₃·x + z₄, where:

• z₁= +3 7393602407 3632997175 0787859950 7060902528 7670020507 0068706349 7030781527 7374800000 4864671280 8326632801 0550019255 2280826106 9532360746 9668656614 0953925907 6173636287 1490202598 9512049895 2394127887 5901983860 3588323916 8357026810 4106621424 0660641247 3991765498 3675319505 6793161259 2018369818 9897778446 7883308114 2433549270 3527537424 3589678996 0142747850 9289716686 2365014105 8938650719 4424047206 2827200258 4510457187 7976865393 5713037283 8681880724 8392947419 4314938388 1755841485 4594846242 5223901454 3816671756 8847228497 5175469270 5717267581 3394628373 1447234273 3315924481 4040535644 7926177308 4031712870 4462734972 2148790487 5304078711 9765003627 0521803773 7268602999 0973696214 9252248314 0300081927 0701957808 2495277448 0298486804 3325444833 8769787090 1805738180 0795629208 8979097826 1852552105 4003902075 9767074041 2165571739 4983925310 4261050180 6339320300 8479483781 5906983060 7943748083 8543637533 0461794303 3628764426 2076349018 6340889561 3843567371 7993957920 2752408508 4292214929 7189863692 5762838232 8752690727 3711186122 3434465788 8369662972 3146401049 2987206155 3736584651 6094480987 5169289153 6465001967 0590618348 1498711560 9375389382 9102424566 4387878773 6241661553 1813797880 6141341657 8278502150 1261499771 0913851292 8977827967 9495285960 6939292429 3662226645 5333165541 3228164584 7422108404 3754145398 1923708856 7580397721 6275523945 4673718444 6063900896 0521649434 2711260740 8087346220 4101210740 6665785800 8220487183 0065284292 2756782670 4188853815 2085922766 7963144783 6197061197 2867083449 3875463566 2051086298 3174100699 0670031434
• z₂= -10031134 8416552482 3985163705 5358283706 7440310224 6799777635 5062363802 2098687382 2871515022 1532513922 5517592946 9266725133 1646116156 0750230655 3324442022 9583642641 1727262846 8884170631 8773567674 8985370238 1547074916 2407113262 9383766947 6951818963 9648781797 2867983159 0351706074 5769136865 8760989227 1073210503 2495167489 0918549262 6732428217 6456256197 0900289769 9621011430 8674384954 5521176876 6815564214 1778785345 9543324973 4244394064 0295581285 6984601192 9457737665 4557446232 4852158564 0235121130 5107359800 7116081552 4238836141 3077969142 3948404827 4502626444 5345435306 8132472431 8312559031 7230827173 3541077677 5382716811 4424200749 8518442379 3799939316 4082251313 8362663302 7246323898 8953437324 1807707957 8207071515 8340819137 0648280216 9327743385 4133195246 2610104300 7031330980 9845866287 8249510833 6083510724 5911201686 3338428764 1388018067 0562105604 1192675291 2657741504 1747184394 6505468749 9145028050 7803308478 1087051978 4943795255 9127159727 1894567276 2532579798 8955322209 0670432636 8282865261 9984696409 9558684169 6566845943 4404508443 6747499326 5663790513 5531168195 1215767764 7837288031 5904911918 5316473125 6224766722 2926096068 6944278996 0273056369 6563559608 2525455192 5445726935 6854235792 7837489720 4823073616 8101560488 7880360134 2825895641 9160600080 7545716284 4165239614 0947829809 4604210074 1572726033 8795513776 5226533977 9688707837 7569968405 3929658626 2302213564 4385347273 3863804433 4197110374 0734027857 4120639100 0986645012 2783980481 3777255750 7348213900 3255019563 2842927220 1658052356 6002642089 6707244851 4415703360 4684033452 0975392103 2574252399 2086365058 6291995801 6077587811 3471032345 5700003800 5034523590 0302122569 3627323228 2920913657 5672850969 2153140420 0793972878 0759171483 6198196185 5749881679 5513790014 4707984687 5890967883 9851983915 9989878662 7878054801 4581435514 1094710981 0909131368 2863161012 2474720165 7429737415 0631054652 7100481845 1884139482 5235250768 9626704867 6488175454 0210481108 0867923132 1595264859 4715193552 1732701221 7795569420 4712725118 0815396718 2718904806 9356503735 5803402646 0412873051 9252120140 2501357133 2625069784 5044236759 4476317967 7063094698 7584982107 0280983747 1609131729 1477990010 7465354609 3374152836 4977201298 9927410778 1524093890 1512345585 6896748878 7373294240 3719459175 3368173214 6595574106 5824997045 2198544464 6178101131 7765541824 4572466817 6019136811 1242310122 1588950631 2437714896 8086654347 5009092777 1839639461 4937960674 7412551126 3936399915 6565462055 9003158282 9856706968 3204136929 8810219595 7355832661 0401001361 0638012903 3331156592 6882452173 7305182604 0770435256 8650655336 5121893968 8965196453 3604434960 1750254798 3411567327 7917486240 3649478372 9829901080 6758656217 2369612364 5419785258 0629524622 1745085388 0189947545 5431298597 0153045453 5000908509 2480028455 6905191970 3401279067 6642457182 4124384238 0775888696 2240510365 8299784949 6718201854 0993104844 5243989663 6669269900 6063753651 5491267625 6873066054 2840425277 0414864793 8013852656 6105552962 3815434532 5101981063 1519388100 4078396163 2762593099 3803904955 0970274801 1717346552 9257424066 1463451782
• z₃= +149467658 2186360729 4551074465 9726111996 3932132114 0188649064 5563190810 4287749532 5666826516 2576472374 5203152437 7342952161 6170596709 4843217529 1700129068 1280491643 5185628799 0646274812 0289399829 6413210639 6933715469 8949242793 6318934288 7598418058 4449553802 2122332289 9559228312 7560438186 6100290677 8845469390 2642963680 7386055230 6642072395 4783321596 7336926512 8087911225 4379288708 7697324705 3500009770 0181284174 4949296789 3182228243 6183341866 2375336160 5050027602 2661321125 7255944922 3476111794 7713126935 2798952280 0991906530 5632783072 3565483790 5053785864 0991653579 3914082046 8483992025 7353045084 8707848930 9582401488 5134875444 6669438024 9652850881 4943259403 9366137539 0352619503 8044703991 4859792302 4877679385 9706108504 9889935529 7809687017 3479898210 4900160398 1933996245 9480906398 7880468570 6226828619 0469036429 8021175883 0057430396 9134279173 0775328010 4941601494 1147395646 0527275740 0251411360 6508547633 2901356722 0308230463 8201216071 8064033923 6064942386 3765560622 9705614046 0347161193 6342063485 8913360349 9454643405 0232211239 3002487715 0962250516 7759802296 0496568698 1046324500 9397224527 0308284527 3140253571 9469103737 6283020376 0802496876 6252300210 6665985081 1521763256 9797700525 6812517937 6875274289 8727547642 4434637005 0703653246 1939808063 7600034582 2842140747 5189876008 4818386803 8003397706 2055467905 7555512570 8182466229 0172436644 3550285851 3300761057 2663009335 9911163900 7886935972 7922185474 6018604082 9740837994 9638386935 6854047601 7742104956 4345090493 3868429625 4423946234 3068924651 5283193296 9161273020 7475604647 4277787395 2397052924 3545253343 9814767909 5120597280 2086967130 5079683111 0162442501 1239225113 3197999983 7435203096 8871477161 4686898629 6256303789 5793863254 4377170661 5999953548 1044038176 0171630457 8692504334 1229833218 4487550250 1997027129 2566601722 3610461711 1607245747 7842338565 4541983832 6193441233 3913634265 4397138168 5847519878 3843546654 0513010117 9659468642 0995719220 5398667013 7521066632 4452384786 8050021257 0632029058 2311096405 8232015163 6033741547 3811823978 5279026819 2549070913 9046418937 2359258042 3163866589 7219050676 6051680866 4018243018 0982620378 0387751218 1320141134 0134913780 3379128342 5304150429 4098430519 9727833137 6314387213 8307286849 3991995362 2457581471 1125927150 9322548650 8535529457 2856591352 8355617228 1734366634 0571934979 5027974397 3855623931 8963926050 4932092923 9638236828 9876440353 0667987000 0373717952 4290396447 2227554083 8151723690 3406248982 3954932617 8405987367 9460299827 0504634911 2920603813 8747244702 8813249140 9888300379 8307699143 6031520982 0871926300 6560091736 8341188030 0324670539 7577017075 7166074945 3512308468 8893619418 4683577376 6461136149 6699431462 8666892895 2563312252 2644656358 0760046974 1457551817 7749193791 7134544597 1317297337 9677816709 8355676898 7321950509 5696863327 1794681695 2659412957 4515278865 1620549222 6856681787 2651273346 4070339517 4562457167 2605738231 6962902751 9563243539 7878204912 2747222021 2570013753 5905160175 3146030611 6103090492 5586078140 6269431097 2622442528 3679315851 8907385502 9226493208 5437194970 1015814110 6601175931 0175404481 7495082174 8915080225 7944619915 5734796883 1764355815 2853957862 2769058016 9820886584 1958546409 7247353342 8983315585 3416256198 9054127831 2453780011 7638645799 9982878368 9694650572 9399372316 0242909697 5532576233 2115686261 0962418403 9931798845 0145993326 8516939153 6633468682 8980062342 8536811583 7781794853 0227516914 2771586703 1890521535 5342839337 9591426296 2401783003 0480465541 4667269169 3033467044 4598044991 8721302651 2542564857 9750437768 8179114053 0228037619 8064230122 5750898242 2369001815 0270483401 0359004869 8563233677 0826459685 1341258644 7497818562 4326277122 7378009069 6917967414 6047344649 6104246943 3407111924 6837317865 4553607681 6909517670 0683305353 2233461436 7658279931 7188104008 0938747254 6504526316 5971837766 6943426699 1340561358 9713177817 2316233149 3279992343 4720739145 0313531209 5000392714 1851947523 8968423443 8921874272 0124248962 1152235554 8251225824 9420714221 9485745035 7048197862 4215679414 4187811174 3596654330 6022419897 2393371519 1613344710 6350186910 2315616516 2110048061 2966237269 2142325538 9960199123 1117808466 3823211959 8503733366 3324441843 8293501846 3687817260 0358356896 9581209096 5009821519 4318211003 8285167041 8906877752 0499070221 2401260168 7155820559 4098652216 4616743922 4996853656 5233301561 7320904780 3882327504 6828355781 2446961596 0066057712 5024430356 4443392304 5844423702 2122806924 6503399051 1251552512 5077524835 5318871809 2049769183 2053522443 7236947029 6503122288 9200753626 8691125804 9712060512 6595559863 6706025531 8897445018 4013101541 6325710242 6450371818 9621956704 5454076949
• z₄= -91454306 7627290592 1661908289 9551397025 2860971259 6572198464 3549836989 1498888268 4463420262 6803381976 4237068007 7088219715 3807293611 9654970238 6527849711 4041945344 0169909676 4638306149 0203078654 1532395885 8905798099 4096203359 1032545212 9822833629 6945380718 6620347249 6541917306 1888363399 2420664019 6090686564 6882623256 5531498804 4821613674 3224315631 8384287747 0730007345 9489697126 7311585897 7975038134 2835541018 9384263389 4684259207 9567872621 3806516241 0441028210 9027333993 6139920202 9159991192 3503075866 8099756022 8412093296 8669948144 4111165724 1827815962 6149894398 4105689756 6746009372 0314000665 2377327653 8669225103 2736404286 3725662620 3041396570 7964746502 9195165207 9923026089 9700075647 5494365488 8923611136 5393975161 3160274028 5767723828 8879435269 7046235204 9115515061 7275739597 1093806736 8291698501 3114056283 0585927520 2393516938 2467564030 7834524385 1697160858 8002517330 1701463926 0665752114 1295440404 9607818478 6583348087 9790406644 8608601199 2547258310 9744073830 4302840508 1893694608 5236056701 2636077451 6232818375 1274320470 6240941144 4171409126 3460472289 6450461078 1782119585 1322477261 0214578966 3210022090 6052333392 8639810410 9935306928 1621277550 3394344447 0887834739 5406173032 1576866876 0930261279 3918873353 2920794283 0893831518 9214227949 0871698583 2182990559 0063068387 0588097759 1124170655 2929289119 1030388780 4847816636 0649189065 9561824648 3540529227 9269869795 1767091997 4077186239 3035536278 8499801773 9483312218 0903408038 9297261655 9583988094 0144691496 4818648978 1767571383 5075433773 2812017116 0025110302 8316001603 6560554272 8195153544 8750235240 2881357492 1846534180 6892192750 4061586372 5966702429 1064833523 4631574062 7459693205 3771588096 5331878805 2678676999 8712754012 9729895883 4283893504 7202451088 6881370364 7831560769 2041468216 5569542841 7526887424 7481135074 2108741079 0310979939 5950350152 2266779687 1376586647 9406338250 9861535234 9455914312 3083131914 9484078104 3244005031 9408765556 9768363685 5696956386 2042657891 1945556443 2801031364 8967363102 8426959875 4653860654 0210349234 0325303652 6935501416 0459197170 9860707726 1770385524 2350786709 6216706944 5177293753 2321224852 4067189016 3724010771 6475795314 7732448296 9057718642 9123418862 5354263728 5156523621 3486796303 8576606447 3596684647 5853288247 2551093746 9235331191 1944509143 1597851251 5714087192 8253197798 1135910507 1251248258 8945272372 6293247892 3656569122 1293355297 3528664115 6531780585 1697019975 4796462228 1915450187 9985092911 3809954077 8180501568 2755382544 6107697997 2446722716 5005308855 2248321662 4152920160 0307662851 6974210781 9252847959 4734530873 0356453099 0939628527 0301723393 1031930729 7596750604 7231630346 4962238824 8924710903 1047818425 1513223004 4840307169 5162513656 1997370880 9774448972 3765915448 8708277903 0139327708 4908001588 9246420379 9397513289 8032164484 2700627550 6564258297 4677845318 8379143675 2213139138 7552588530 0594377031 0935065641 9657548838 8772471782 4523318533 7800609641 0223502134 6386899194 1627031813 2547364648 9069864044 6508138332 0688058201 2440126781 5233862408 3766910495 6770593054 2160715198 7719304472

We need to prove that this cubic has no integer roots r such that r·F+1 is a non-trivial factor of N. Clearly r (if it exists) must lie between 1 and R.

P has a single real root at:

• 0+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)

There are no integer roots of P in the interval (1,R), so the proof of primality is complete.