Primality Certificate for (15637^4513-1)/15636

This certificate uses a theorem of Konyagin and Pomerance to prove an integer N prime by making use of a partial prime factorization of N-1.

Factorizing N-1

As N is a Generalized Repunit, we make use of the algebraic factorization of N-1 to arrive at the following 31.285703% factorization of N-1:

We need the product F of all the prime factors from this partial factorization:

Note that all prime factors listed above have been proven. As primes of under 250 decimal digits can be verified in a few seconds, proof of their primality is not included here, in order to save space. Larger prime factors can take from hours to months to prove; certificates for all such factors have been PKZIPped into this file.

We set R = (N-1)/F. Note that GCD(F,R)=1 and Log(F)/Log(N) = 31.285703%

Finding a Witness to Primality

Next, we find an integer witness w such that for each prime factor p of N-1, w^(N-1) ≡ 1 mod N and GCD(w^(N-1)/p-1,N) = 1. In this case, w = 11 suffices.

Given such a witness, Pocklington's Theorem shows that every prime factor of N ≡ 1 (mod F). As F⁴>N, N can have no more than three prime factors.

Express N in base F

Let N = c₃·F³ + c₂·F² + c₁·F + 1. Let c₄ = c₃·F+c₂.

• c₁= 3 2048750540 7218871408 6014206052 7877508733 4168198315 9321637659 8013994548 3913047698 8117961034 5046012094 8993450842 2596126361 5872300494 6374971185 9286928062 3307557825 8478229792 3267930464 7141685558 2474459313 2662340448 3434719441 0818245457 7591959887 3981659729 7541023349 7980220360 6344204791 6006846222 8757482993 5712201830 1524463476 3179879955 5872861867 9811364279 2816727625 9856939996 6619600340 2140455558 9648840310 1547410750 8377860788 7265615127 6638049906 9909551786 4089953347 6566984585 1976625517 8639408745 5827382017 4680181386 5392728281 2129896999 0889821801 9389046376 5901940606 8285355324 9188255620 9263101129 8253130280 3147179079 1845148301 1185927865 9459135382 0688222247 6883778189 0281700579 9987210109 5959036490 6893635815 1592731417 3597826329 6273193381 9038607712 8973260736 1175798781 7004785548 8920355075 1620340352 0326289872 9176602019 0127297465 2478363851 1653002330 9898386242 6852483783 5293192922 1290401316 3463573806 5254356843 6388429963 6311462637 6279836246 4886571831 2860540047 0602104490 3617935325 0644233179 6291249444 4491341487 2061510680 7334024612 9350813666 8868675949 2522767957 8480499770 5682135185 4632625132 4980214275 0055686388 4876471182 5195303446 5224116729 6677634215 5593120861 5492981191 9271776544 3609955817 6960132920 2035499158 8716561497 2071568945 6046407636 4534480808 5820041987 7768650280 2916571616 7480506809 6846052124 2111639394 6067160181 8953028555 3775956486 4154300345 5051608478 8659973392 0455255999 9944537924 8962480574 5291806705 0421417506 0285177561 9023752572 6552743887 4782912365 8183080168 6355833242 2613289193 0925860526 5089268645 6467151499 6161692972 4887045411 4383509031 6359470578 6069967901 9544134321 5737130899 6674290144 1634895653 9696008924 7652178412 3784296684 4772712853 2654499386 0149445551 8344736628 6221186958 0897916135 4951473203 0444003658 7285042983 3049811263 1681148077 7411691305 8277584986 4698483019 8925066632 0704423743 6601905185 7668988346 5044495526 4158337128 9284178234 1739138390 4421151730 5766150733 5155700049 7932631891 7050461973 8276091507 7094162996 8226007529 6973391636 2268654674 3132900521 1942826775 1753360210 1040583587 8639750518 2440221554 2529338100 7734620442 2759031615 9540754042 0115677509 7599312766 6074345462 1035899519 8603680145 3139653119 9424757800 8889387465 3694337108 6657886193 9688523024 0656201028 0950428342 2884251178 6354347660 5629414843 0666740953 0711759343 0379968608 9993235390 8139908705 5735303007 6081625158 0639325385 7901305447 2760457319 8749829297 7894606907 4756025786 0501014373 9151113294 9723437371 9144970041 4956961924 7698715106 7868109548 7449807968 5172019975 0135470378 9327960556 7850556031 4994244705 5025121780 8046713731 5682774972 1177316701 9646304930 4637697680 8530161451 7001093332 7801389237 1715995898 6625261218 5327041769 7666001821 7955299094 3259095043 8239504114 9697297149 8977945990 0887141118 0305732090 9445478059 1849473349 1140105332 8594694714 0958284440 0314990029 0053508303 2703189935 4227867805 3978056068 3338712162 4331043006 7819720629 8441887247 2488827875 5319147904 5600868780 2749275115 6947043477 6374084259 0032507529 6896400277 2239169261 0750967555 6893925462 1094603648 6821984228 7032977230 1704671137 4459409469 6368708756 7353127753 9736881747 6761280776 6700590729 0590854685 3796633984 2215871400 8929019672 4567105681 0247782468 4517187361 5805498919 7025031874 3072324814 1658028379 2304927849 7412350449 8971919732 4180971387 6193266323 3328808705 4160206465 8359320409 9549166941 5857167855 1502206179 8401288244 2075529992 8200529242 5190832541 1557888689 5040409402 3560926621 0250497839 3162657484 8552940982 8200269085 9091934430 8853889192 6795101840 5655855946 9973756769 1698969288 4099913462 5975268067 7156848311 5574915567 7614972913 4938447963 4781397500 9866341658 0804284502 9858276315 3434019672 4669683220 1944593955 5651592095 7480314547 6870999767 0903353269 0886895512 0662863948 1545607244 3576905072 7542098448 7086427069 9084847678 8369338245 5306017709 1534409829 5047064076 8729705914 3506877695 6386544737 1643365962 8887071960 4164943207 0056904477 4111198774 3059016417 5897499942 1797665841 4309358146 2553863892 5795067686 7859338678 9851726856 5791078313 8639860670 9766959638 5865451401 9197824667 6861934896 0924931433 4316290883 8735422498 9627311866 8330259470 2715850838 8639445186 4810176989 4918582717 2229599510 3993478826 9200043821 0278913360 4936251495 3825382476 8814648808 0955007871 3857782605 7798248935 9961580223 1100906313 9264359381 2112919975 5756244727 1705490974 1391740565 1232775867 5905726233 4100317392 8402769690 5575937341 9987671537 3959585511 7979812837 0930804085 9917485071 9435300525 7301687401 3576239593 3200045988 8264405547 1396030223 1382996594 9152148210 5330057936 8606823719 5444142605 2753073896 7663612308 9992925831 9060432664 6495072596 2748676214 0399436963 3107246990 1166447815 6601351883 2892225047 6508530526 0684717286 9329494362 5820467387 3136520113 5579213340 4440042210 8232002668 9010607143 0865832238 9013166448 2624898628 1441280531 2024522581 5482984185 4363821478 7262810082 5699621372 4265894399 8037013932 8144134275 0935832734 3052833878 1355942521 4420555075 2099111355 6644213642 3466370195 5621016780 0845769683 0562374651 6486782435 4140697328 3187979802 4744526786 9654882327 4496509841 3141941786 2340618513 6995871567 5227960443 1292864132 7715969599 7202216766 4464145358 3494801585 1036601448 7870434716 4036171423 1696004130 6743863633 7676709227 0474155435 6303096681 5605145373 4901713121 8014248331 6077234568 9802476555 8245114075 4555964209 5727843574 2332869366 0123409374 7445332297 0182923294 5207552484 0596893700 9932537737 0744919673 0666589604 8083127860 7777478330 6653764276 2711851034 2170105656 1497968333 1465782804 6228314148 6488409651 4500252442 8771956830 1184466717 7633099560 5943695953 1970230114 0454499198 1195678153 7526078255 2364829611 7824681590 0932746027 4518027680 5172204879 5911601749 9475602775 2533189382 3185066480 5361067118 2188429338 1168018842 6607824539 0106763574 7065503523 8216895328 6942924339 3405433528 0180316980 7108749625 5466799180 6041925762 3884518552 3211279050 5345598319 3538025261 2061085008 0801869699 1021163011 2012115614 3476776188 8719229530 2768985748 1599282840 6736629162 0715886351 1778589250 5822273428 7519626288 1714092217 4255246774 8059005425 3044716250 6883451863 4503726998 4345965586 4370484908 8116251028 6722645785 6176150447 9649544537 1175514872 9164670887 8109751983
• c₂= 1 9126549155 8499983948 0857030016 9486109769 9569605526 2202795329 5772511538 6604455566 0178621086 3558822723 9030213428 7619251924 7684592073 2222046212 5669027983 7275323453 3570856697 5558816325 2814172954 6309635456 9788693145 9220142744 1098768151 3546439614 0363887686 4875632874 9762236772 5797672197 6504104209 3407880366 2530367396 1194447779 3012021019 9095572811 5485345465 6086662040 4137680296 6096520005 2199146469 3032935168 6439587121 7665356359 4178610545 3243951374 6489251638 9342896431 2196132239 2179068071 2283599297 8884284937 1526897431 0861048255 6219361286 6324625450 8148611560 5928167327 1108618600 1198993010 7520930343 5555443961 7583100544 8845234164 6336489007 7317141524 9951448212 9782969098 3398989371 3223343350 6471153708 7518838740 1357741314 7690768265 3582788255 2015712532 4023538857 0854091667 8717316534 2965068714 3662152184 0375834801 5399275848 3681160170 3316191318 2612817576 1168020284 2360113875 3147779406 4592137984 8899042091 6593300689 2489968237 2551988899 0046381959 8364902323 1873547228 8143582250 0071104707 0441171635 6500545548 0032687582 7103220233 8169703514 4631294604 1910826458 6366671640 9361083366 7993092183 6055576106 9691508067 9500272357 0125787609 2553524734 0614432265 4885030210 5295864750 7470404976 2739275148 4945068751 8078172080 9194979147 1193801409 7532682381 7678567582 2615220465 6391100034 2517770369 1202097368 2639659409 0179609313 2078488553 8833108804 0649755594 9056045086 6072097767 4858996950 1407640965 9652099049 6573356249 3285043002 6284026260 3907389248 5949801934 3788816565 1576560759 0584363194 2993889990 9379296967 0436060926 5735628450 8043856798 7717016743 5449870949 2428581551 0911778713 9980760416 1741550802 7698039275 4540979590 2424409775 3323423528 7249248663 6189204117 4990932276 8367832551 5892054657 6421695846 6082207270 9665331133 9450131142 3824315790 6160299515 3862963433 9240424150 2452969245 9447057963 2710146239 7081187222 9389757136 0380746682 9167293813 3341737371 2909738961 5209241598 9589168056 0019772049 4667453289 6901601415 0989654447 3584763917 6495300216 6094522264 2365946675 7033458313 5535962381 5735509454 0030216266 7446355781 7575665270 0174924179 7175918896 4782737777 1657788432 6277333701 3819967888 1648907818 9261096924 7448520551 5050395118 0300168810 4041778033 3217960168 9034490720 5891448471 6868577901 2810828800 5480312497 4558733875 8562809548 2324418326 6115459153 9802514552 9254607639 2093774386 0164502307 5986232408 8952369248 1903247659 3688197599 5875515096 3069336574 8345305852 0043700717 4338454975 2293896922 6006870532 5346203778 2317404779 9870984651 5909853168 2026155678 5074700208 9225388953 2258920815 0017485666 0782165046 8032109838 8749240973 6986075644 2010486114 2259526552 2503107579 3833166700 3955873939 1015504887 4256301601 1305588947 5582031812 8740250462 1237968547 6012400188 7005623010 8222151153 7030853687 4211073877 6361084762 7497160154 3461757018 2605301825 0079331020 9116678730 3274528171 0520371696 4990830187 9327045465 7616156087 3101194301 2695469576 7530912318 7444526767 9224578717 1826350998 3698983274 4606900131 4091673066 8304894074 3560969277 5792571784 9599015638 4093467814 6970548593 3085433937 0547644446 4321278351 0244174298 0287047913 2026122036 5942955940 3600000322 1216869263 2804625053 4992575398 9719436760 1647965202 2986645541 2375069290 8002301890 3565067729 9077381211 7055607400 8528469555 0479263951 5389064080 8694506627 0468379724 7791676670 1354441511 9070620612 4983668047 6021945793 1707752682 4655138536 8909540845 3842102723 1428712949 6345656684 9613640471 0365532498 4241689872 2864862655 1399146997 6665336321 1083965701 6105602623 3841244628 3115444274 3628638470 3335986643 1745362412 5084194394 7501179174 0406646429 8874139822 3684213124 0084800600 7933605832 1190244872 7994835076 3082004753 0698970747 6974671692 9897735334 5390660652 6138154629 3921222710 3809119330 9685802952 6220646097 2546460622 6109355526 6186302160 2261395950 3484370528 2441233972 9607406932 3684372174 4408121473 0106939959 0892976974 1663323544 1304500593 7051095490 4854130079 7216551529 2335461181 8701415904 9891979511 9034551571 4789404992 7049875377 0751137761 6881320115 7703960058 5955572622 0818965030 0995035934 1409197866 9911954403 3753017560 7431153872 3324165548 4990430979 7924847134 9646352131 0862783569 4868695143 1486361390 0801860531 4345980546 4472872996 7676730395 5525356987 6774041343 0558148876 8693651848 1663768762 8243246305 4442387476 6544677352 3823564331 6111846489 1438228087 4687683339 1544605402 3341245155 2919478788 5684655414 5422439831 5657368347 2382755557 0053511605 0940861511 3928955088 1810065838 1366727819 3063546849 7659376000 2854495180 1694765391 2696580296 8793068826 4082990908 4539758056 2247625254 5191113146 8807073484 2615308253 5504851409 4208301265 7134609059 2294317195 9593345500 1897487696 1503549477 3501529222 3934470299 9681632505 1361369874 2625791456 6975230290 7988860344 5533319894 5320230379 9954346931 9794173204 6126278264 1880407249 2754855721 6053699101 7284446243 6237385090 0586182426 7965719879 9361203798 4490262054 5453299891 4605508459 2792312489 4779623012 7716454982 2845938047 2051401012 7081589830 2291982588 1128066798 9235596600 7316623077 7336926258 5753741959 9435205465 1688706827 1369022388 4767266184 1268528950 0811646054 5591222542 3387705946 8618312532 4475907541 8921488441 4295763349 7286939532 3393742775 4094129916 7670206809 4482693988 8543964093 7888820536 2580405338 3836728556 3090564486 5891897041 3583762069 5750510903 3922666990 2021980338 0155448676 9342247336 8996693495 8611105114 7634207042 6455095317 4132008542 9450724415 4420177685 3890961349 9979865456 8910748084 4920219474 4121461295 7048028368 6246347595 3958333473 8480211516 5503214163 0956871438 4323372569 2037896675 0473861384 3714434314 5163611854 7876616020 2367647659 4131411084 4873936327 3344735407 4662082040 9869007417 3061220871 1531921039 7131553279 5161015259 6752501581 9451534370 3099920681 1158540914 0391735070 8647955088 5231791930 4211371074 8461786000 0573134111 7693726943 5813134653 8351640809 0191039093 8549331531 6117861833 6346798519 8023553683 0184642244 2572810415 1735931573 9827754175 3991173962 3409542054 2312892969 4727725974 2243438335 1491656718 2630180060 5921996288 7656997201 7888316946 1817413223 6111380002 9788927676 7680846837 1694934490 1912604470 2532333120 9910587502 9262320887 3972233094 1304842123 5769761142 7340112015 8460101755 4491501398 0598795820 5901211285 6916778317 4443348264
• c₃= 303 1968138758 6321847288 3444761854 2829570159 3228058025 5666467548 3016858977 2211902720 2042182211 3935249869 4111131306 8279417189 1416363803 2699095728 8349338662 7370860737 9465814582 5952665228 1038008648 3279321492 4351766927 2942441481 9215706538 4279165381 1775835079 1964741533 5068130587 4635505421 5216018297 7185937361 0663979449 5777601899 2399319519 6729871092 8593716131 7824993648 5001370635 8128414066 4933615359 4861528277 2463771788 5933959080 7733750362 6671736300 6752405154 7506866012 9245984787 5846481386 2538305304 9773201964 1005598789 9598919423 7090097339 7150909269 0802402429 3946313490 1404127028 9821764084 5542806331 0870774998 6420573262 4923579594 8756219189 8202447875 1420254853 6115986717 5116516892 0011586774 0534346125 2613891483 0576849426 2197241409 4305294531 2865385611 7786804191 9346904016 1960661475 7184987284 3870841106 2372213632 7731454760 9235421770 2048503443 7923879444 1848090959 0665696337 2382178598 9252824983 2443150946 9406766144 6719246434 6376069653 2394241846 0857566162 4400228800 4605607666 3446640573 9244804015 9621688312 7502347558 0112824745 0409239596 7802653764 8104841281 8612468879 0125734017 2874173781 7829247335 9909015469 4148354424 6077760388 2972841603 1956773419 8067774365 7116355202 4508348463
• c₄= 987 6286335291 0087718441 0451820698 2193325681 1634785945 6282101372 7817292010 1268091102 8648367509 9793188765 8396666960 3238699314 8074161171 5132925702 3099642270 0019348511 9117432372 2044116316 6116448191 4794628389 1256130152 5074766534 5542822204 9830304521 7189382848 7920567227 8981605235 1518910422 5683335834 4376611752 7045182250 2414832444 5410726717 3634769345 8168391283 9067613996 6652509917 4182243225 7814096206 4212492163 2667595628 6880831996 2086082562 5933392868 2834568504 7102530559 9725914949 5521167274 1297351094 7625955486 4060530378 6704247389 8195241654 5487231239 9705270364 9698106975 3457532976 4452572604 8503963563 5157856599 6585753346 7865419010 4354377757 3257932204 4271251586 1893282123 4310887325 9417266624 6611416250 1824249000 6669569138 1366670411 1683704394 2932360937 1955927221 0283110218 7746775064 7023588438 6957973789 1355358988 6186415850 5460614352 4677660067 5690365983 1772975197 0571912521 9812263176 3102252613 5879163137 3651310513 9750897150 4759748490 2521807094 1071384123 2005663848 4981076271 8904291798 5267372141 0824388207 2558764075 0834421774 9694573755 9813878175 2428063438 8966167327 1358304516 3754115313 6001263994 3227440668 5060821911 6202746213 2680452161 7975503056 2708020038 7306337478 5066875531 9276290435 6721123816 5731585772 2057286902 8640847936 8077964559 8719303215 2569995553 2678224636 9618482936 4327464096 6335333614 4695475446 7670311305 2858543098 8184245026 2894420434 1595784414 8547216430 7637000596 8464512395 2919541949 8726846488 3449608959 1592897759 9348255630 2827574059 5066783710 2656253923 7988812156 1075505226 6269828243 1448985295 3945273228 6629740968 2870208762 3846127694 8312960846 0600949168 8547820118 7564197477 4617579297 8301504283 6260579399 3616941931 0222204898 7458236286 4845902788 4531528017 6165856523 6147102029 6730103034 1532922546 6222844686 4421393363 1957834551 9097208643 2678556902 5990561575 8354449635 4002454867 2225957610 0649510414 8928862663 6523536760 2683848686 0876937198 9393224990 4621584931 5231781806 0182307754 9824452617 9632146168 0680970721 6578570865 3602906188 9663599214 6242411299 6839355738 0184619533 5978417024 9766833368 3500948012 0118652641 8771807091 6608448737 9129987949 3724014253 1448529197 8045862803 7333495931 5537420342 2434495738 1340807005 3902116807 4883328498 8423933710 1408971294 0034214986 0110705407 0287309737 7541621209 9779738728 6206298699 0514294175 3698076418 1237829017 9220204958 9835529866 5010684366 5415591546 9427876910 9278398585 0712520946 3785642184 2432285618 4062921812 2228544337 1326394702 5684801547 9184628842 4635664503 3644960000 0482560398 2491068891 7179936104 3069917019 4021280724 3333126714 2852142889 0739652363 2263070672 9883646766 2483948078 4207257378 2874793070 1112506724 9507769647 6926635966 7611245866 7896964717 8335128842 2320835903 8754111755 6284206733 4941539318 3459943101 5846257085 7033749616 5495059675 9315852527 2460624537 7002059891 3335572407 1034723126 1271425697 3845673926 5252391247 9298261081 7552650585 3556220164 8435051718 2305959736 4963477616 9395164062 3112521199 8335892074 0586846586 4494689650 7549545048 8275183661 5772821463 4019874266 4419397821 6474236314 9816728603 3887263191 6884370188 1850753673 2281131336 3221840383 4947283184 8752253118 1909705866 6506129412 7339787657 0722831190 2211724148 5150003998 1824543687 7894529680 2702340884 2827544916 6427643290 1375895713 8287472548 6970215728 4351712618 9939312608 5031435681 1941547491 7689692366 9388289354 1825935652 0344635161 0500247976 6832832557 5442877559 0614533954 3418915028 2487807410 5340418234 0810852928 8559954295 7751589154 8181159261 1103062276 6815219314 1562700306 2029775832 3996605374 5702403353 9400377036 8960075373 0330126416 9549923127 5043384495 2334438784 6703869380 8210978540 0748521775 1338632811 1723962745 5360663620 5868829019 9404183448 6503481830 8705939715 6011819922 0782141360 8815676322 7073798853 1500176981 9032154775 5397829730 3848424874 6508543167 6914161939 5721494797 4786789978 8574305653 6423648795 3076116020 1075023561 6608421314 3683479516 0852233852 2390771239 5087452420 5752183736 3445327816 5023254674 1357507038 7713536475 9464078298 2099474627 0110757700 9462357625 9210870293 9737735446 3641465063 0187594633 7371618404 8148627927 9804960900 1258401925 5802679637 8956550312 3893962721 5445626511 1038897913 5566184016 5611680591 3580771719 7057834596 8648427062 1968370766 8047027186 1300572020 1375063529 9901607089 2668869274 6899486432 2120142953 6109353769 9229907357 8758768369 1339820898 7716632289 3394148173 8641355164 2704700252 6791138065 9289930022 3332822166 8160638993 0735314217 1320721004 3902077027 0671900717 3863181171 2843594308 3926535253 3406860289 7780117010 2095710709 7549163659 6098983591 7672756004 4600378035 5827044235 7099689705 2000895081 3798113470 5121126139 9737563543 1172645409 5498311402 4504655121 8856571592 6486092032 1014496567 4292631752 9791288284 3486416389 1936183200 0205560176 2794768071 2297837782 6263414969 0980536245 5333080246 2584344777 2137430677 0208665921 1793510105 0205866631 5774008583 7947053047 3841423140 9523673575 3844335250 8604874676 5836368258 4996173659 8748318048 6674306312 3720470400 1945630846 4158822179 1421809257 7804168733 4515205992 7000212408 6743377048 4281520749 0310640333 1537246804 0459112602 0976661725 7673789081 7280380677 5973413452 2255910603 1447981118 6379955720 3696565109 6538495160 1761769843 3721670153 7631652171 9961732746 0754216458 4298423059 2552148680 4894232218 1410712713 5521312631 5674863203 9631521763 9225458853 0311014457 2816405117 4018750617 6750555474 4912664771 6972360412 8744251974 8760301025 2705580298 8898982461 8164766089 3217184779 2488121446 0446139459 2090678036 1365609597 0296044591 4851090123 1932344589 7073052029 5480794431 2094662539 5835030285 6582430172 7829993262 1894787910 2972682288 7366707082 6303295857 9026632072 3066970345 7924361128 8753274039 3438691952 1562011035 1313161661 3444940046 8238261002 5683785155 1458850130 2078558380 5958269954 8357440727 1555218459 1110291439 0126636350 0897448080 4971809617 5230281974 5458055698 7080131135 2395560118 0535713082 6489419990 2113456296 4937498220 0913409283 3167915618 0265756448 1857467366 7351530493 9173756273 2162350802 6576954952 7839436169 1313901288 1291362278 9225340336 5497339385 0861102778 2377190175 1895634481 4393605794 4567102553 3131543486 6764101575 1246950235 8123094036 7406095484 5575085348 0629366595 2415701366 8580794082 8111212735 4588486431 3044926787 8375751011 9050721648 6552308936 7283690456 7411655175 1019174373 8682130062 0202537985 6191097212 3405308306 4682330685 4036529389 7160280337 4126971567 5059932905 2175447479 9200175501 9304673161 2657775051 0296657191 0351450667 1933349400 5372432877 2219459744 8039786287 3617318088 8996100784 9295470964 2088383238 3737082074 8123360048 6284359797 0405213204 3108123013 6209415327 5785522301 0115595800 6442027732 2795305428 0115404768 9090945679 3662990330 2697586400 9348121348 0125258781 6829942822 2060385017 9607212969 4188002258 7001884417 6472123264 8061985411 4179813984 9130619891 3144935223 0412938607 6771204304 3998900357 3370327071 6064857606 7723337921 3557400228 7928443335 7648916872 8221667905 7372999637 9792725803 1501097559 4795543573 6852461800 7124335398 8586742954 2875433871 3197483566 8422207180 7339408615 1813046275 0954273083 4651603606 2785773901 6070888200 9793564125 6365245692 5106747873 6379871340 8728928383 0400137843 9839603431 5121326350 2917167026 5217823764 1739643893 3071824452 4826952402 0060058473 3320582331 1208643521 8234741452 8403229435 6614914622 0323616589 0058493335 9923719188 5333598289 8540364619 0790356717 9861624981 6044061715 3585332796 8368772757 0714341976 3666839769 1816398264 5612001003 7433033224

Square Checks

For t = 0 to 5, we prove that Q(t) = (c₁+t·F)²+4·t-4·c₄ is not a perfect square. This is done by checking whether Q(t) is a quadratic residue modulo a variety of bases. If it happens to be a QR in all of the bases, we calculate s = floor(sqrt(Q(t))) and show that s² < Q(t).

• Q(0) is not a perfect square: it is ≡ 54 (mod 63)
• Q(1) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)
• Q(2) is not a perfect square: it is ≡ 20 (mod 63)
• Q(3) is not a perfect square: it is ≡ 13 (mod 64)
• Q(4) is not a perfect square: it is ≡ 34 (mod 65)
• Q(5) is not a perfect square: it is ≡ 21 (mod 64)

Continued Fraction

We approximate c₁/F by a continued fraction u/v such that v is maximal while remaining less than F² / N^1/2 = 1036506913 2283797661 6329878883 8165942968 1914460820 6477779761 5911714007 1757789122 5116620019 8378533761 8009899243 1200517828 7729385792 9180334420 3802941800 1016849430 0202231506 8209339940 1180767673 7536903648 3206349080 9987632482 4681903742 6528430265 3507377660 3348713502 3674909408 1800383268 7057980658 7834084600 8897477216 4084093546 3636090109 6110724133 1778372525 5411332521 2266903126 5239355144 7140361161 3129328160 3155266830 7233833517 9037144109 1923743635 5590405687 9448595691 9931184428 9721030595 9590792229 1615723342 4106175717 0212964091 7598511965 3791134532 1439875934 0420140768 7845379092 1246546579 7085544123 5429989384 7583379253 0377931229 6154172727 6378583845 3890462480 0683758890 0609576791 8747012646 8245777184 2344067827 5185283256 3130926215 6440407490 7491947186 1102171786 0287201311 7128932019 9998648171 9121792056 3291854582 7271632146 0631791193 4220443157 3883708262 4778624856 2508500075 6825080675 8139914190 2190896262 5432269534 2760183949 3592436148 3115938221 2741821412 8379812738 2044396014 6711341532 2515786228 7136837591 1427365160 7658420170 1023290673 5931366133 3730448611 2817757475 8505211864 5611529939 7439097660 6855291837 7936064120 2691608800 0776836963 1434396765 8685930043 8578078244 7027766268 2478065441 4378965451 7548331393 0472138121 4867134562 7179694214 8078897471 8447067677 4582062630 8307392516 9980959110 2466995316 7599070729 9551882051 2747346098 0096108556 3658324138 7124492083 5988297865 3408890397 3276236473 9574258251 7410226532 0236986147 0696947519 9714649599 1604818266 3784804682 3233189733 7928598648 3782569505 5397165612 8891467961 4993062961 7445789902 8297961390 0992030949 1966980173 1941159224 3310632236 5689372084 0192799955 8653146863 6667813010 3610889823 9853692111 7706612529 8243437490 8383038167 6357817703 8846564748 7908853296 7849977460 2743842901 7246350836 4368317923 8983334029 9850199237 8109788621 6546981350 7204794575 3261031714 9344155215 7053022326 5284816449 8526772905 6325821411 6991290654 9262323113 9352900099 0210792111 1038947685 0130828665 3866695304 6546403300 3391052519 5056870208 9019591297 6905335940 0099412150 0645697849 1690973969 1979742382 5418314100 6043997495 3263670902 1037154311 1691978070 8421449308 9934687383 1818552267 5878557794 5146992435 2108698483 4778315639 4110357508 8080064328 6153944130 0797217424 7179737920 8178447022 3932551132 0216847485 0847763785 9870440433 1670845657 8275319648 1109131846 6447049263 1289259114 7032333940 2857668253 2640618484 8261863752 6727341742 0706073747 1433703474 0895418777 7397975347 4926988422 7634230674 5035100689.

With those constraints, the unique continued fraction is: {0, 1, 61, 29, 3, 2, 2, 25, 1, 1, 7, 6, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 8, 2, 2, 37, 9, 1, 7, 8, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 24, 1, 3, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 6, 2, 1, 1, 2, 13, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 4, 2910, 2, 2, 1, 36, 1, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 6, 4, 5, 1, 7, 65, 1, 1, 9, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 4, 1, 6, 1, 3, 39, 1, 3, 2, 9, 2, 3, 1, 5, 1, 8, 1, 2, 1, 7, 1, 8, 1, 3, 17, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 28, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 8, 1, 18, 1, 4, 3, 1, 1, 8, 8, 1, 2, 6, 27, 14, 33, 1, 2, 1, 6, 1, 6, 5, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 2, 3, 12, 8, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 17, 2, 1, 2, 17, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 5, 1, 1, 6, 3, 30, 7, 2, 3, 3, 1, 1, 4, 8, 10, 8, 1, 7, 3, 7, 3, 3, 1, 12, 1, 2, 2, 2, 1, 9, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 4, 2, 1, 5, 1, 9, 1, 2, 7, 1, 3, 2, 6, 1, 14, 7, 1, 3, 1, 9, 3, 1, 1, 88, 1, 1, 2, 8, 1, 7, 14, 7, 237, 3, 12, 1, 2, 2, 55, 1, 1, 8, 5, 5, 31, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 12, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 24, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 8, 4, 1, 6, 5, 7, 2, 342, 4, 6, 14, 5, 1, 3, 184, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 13, 22, 4, 1, 1, 3, 27, 1, 3, 13, 17, 1, 1, 4, 35, 7, 2, 1, 3, 1, 10, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 2, 16, 2, 2, 12, 1, 1, 1, 2, 3, 50, 77, 14, 3, 9, 1, 2, 4, 4, 1, 3, 16, 6, 6, 19, 16, 3, 2, 3, 9, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 24, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 3, 1, 20, 10, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 4, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 5, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 17, 1, 2, 1, 3, 5, 7, 163, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 8, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 6, 1, 30, 2, 2, 19, 2, 2, 2, 3, 12, 1, 3, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 8, 2, 2, 8, 1, 2, 3, 1, 28, 1, 3, 12, 4, 6, 3, 1, 1, 1, 10, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 60, 11, 1, 5, 1, 3, 6, 9, 3, 1, 5, 2, 1, 1, 3, 1, 60, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 9, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 2, 6, 3, 4, 5, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 5, 2, 1, 1, 9, 1, 5, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 64, 2, 1, 26, 9, 1, 2, 6, 6, 1, 7, 7, 1, 36, 1, 1, 1, 1, 29, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 20, 2, 3, 11, 1, 2, 9, 2, 1, 2, 2, 1, 4, 7, 1, 36, 64, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 1, 16, 8, 9, 1, 3, 5, 1, 7, 2, 2, 7, 2, 17, 1, 22, 2, 1, 2, 1, 16, 2, 5, 1, 1, 13, 1, 5, 3, 1, 7, 1, 2, 7, 2, 36, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 3, 7, 2, 84, 1, 3, 14, 3, 1, 2, 3, 5, 4, 1, 3, 1579, 7, 5, 1, 1, 1, 8, 1, 9, 1, 2, 2, 72, 1, 2, 1, 5, 2, 15, 3, 1, 28, 20, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 29, 2, 1, 10, 1, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 10, 6, 2, 2, 20, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 94, 3, 5, 3, 2, 1, 2, 4, 1, 43, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 36, 34, 7, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 186, 2, 2, 9, 2, 2, 1, 13, 1, 6, 46, 1, 20, 2, 1, 1, 1, 3, 15, 1, 37, 5, 3, 26, 1, 1, 5, 1, 45, 1, 3, 10, 1, 12, 1, 1, 1, 38, 1, 2, 1, 6, 1, 4, 2, 1, 2, 19, 2, 1, 12, 1, 6, 1, 2, 1, 6, 1, 9, 1, 11, 22, 62, 1, 51, 9, 1, 2, 1, 1, 7537 0367536150 7140931782 1065484611 0995550690 8261689151 7256362175 6774251974 0059517017 9773387600 1095908736 9836127229 6377613812 3905707722 6552027949 7315032909 1713119788 4608451627 2534059868 4541701046 3847930968 0124787166 0218556304 8355418403 1899459254 6641538459 0480614877 8727977033 8633179847 2098605863 5265681048 3665909650 6441422182 3373531522 5643252005 5966113225 9353202345 8661994595 6886468368 4061094016 4100954237 2018550347 2187328047 4362775982 6857098649 6327931708 8720356230 4676287720 1101322388 1860568982 7585700532 3327504376 7567719910 7560170046 2460786995 3318634569 4121184257 9398974215 3643720874 9207458011 2823121438 4896717813 3964390119 7900173710 7592607819 8525923153 5599723995 5889869767 0367062369 1100615799 9776802714 8286900702 7857891391 9511521369 3062375826 2553141508 5721939909 1733052992 6173422227 8328106314 0703294027 1514170406 2702145727 4474478669 7754642476 4117492503 1804818480 3943494621 8353148954 2236051776 8155947148 5257862968 8359710488 3355011462 8947545864 9843058657 6850486681 6036594778 5066608506 0831264049 5178112062 9980055639 6973891618 0702402169 2423188105 4028593320 9552170410 4873204454 9479840529 5722292163 7913917092 3975324538 2487776523 2280686418 0598384921 5093308271 5057473577 5082853823 6969139837 8863450214 3242565088 1518084328 8690837220 1847203384 3007451252 0871075446 9603581590 3269925981 2438062163 6076177220 1765123416 8501233362 0535479471 2222394945 0377463274 6836256890 9907331078 0288860365 4574264515 6553969874 8874236022 6907124471 2987942152 7153149037 7803460590 5695325361 1662528243 0180540381 6552118675, 1, 1, 10, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 5, 1, 295, 1, 33, 1, 11, 3, 4, 8, 1, 19, 1, 2, 1, 1, 1, 13, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 26, 6, 1, 2, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 7, 122, 1, 5, 1, 1, 3, 1, 1, 51, 6, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 38, 4, 1, 1, 119, 1, 2, 3, 1, 1, 20, 1, 1, 3, 9, 1, 11, 3, 4, 12, 3, 1, 9, 1, 2, 1, 4, 25, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 18, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 7, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 42, 3, 2, 1, 49, 1, 7, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 6, 1, 4, 5, 10, 2, 1, 3, 5, 5, 4, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 11, 1, 6, 1, 1, 5, 4, 1, 1, 336, 7, 1, 24, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 1, 1, 2, 185, 2, 7, 2, 1, 1, 12, 1, 2, 1, 1, 8, 4, 1, 16, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 15, 1, 12, 1, 6, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 161, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 8, 2, 3, 9, 1, 13, 43, 1, 3, 5, 3, 24, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 2, 7, 2, 1, 1, 1, 94, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 18, 1, 4, 5, 1, 4, 2, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 3, 6, 3, 22, 3, 1, 41, 1, 6, 5, 6, 7, 1, 4, 8, 5, 2, 3, 2, 28, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 4, 3, 3, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 27, 3, 1, 2, 5, 6, 28, 1, 4, 7, 4, 3, 2, 4, 1, 1, 1, 5, 5, 6, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 27, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 36, 5, 1, 5, 14, 1, 9, 1, 4, 12, 22, 1, 19, 1, 3, 2, 5, 1, 1, 234, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 18, 3, 4, 36, 19, 2, 25, 1, 5, 6, 2, 15, 4, 2, 7, 2, 9, 1, 2, 1, 1, 1, 9, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 880, 1, 16, 3, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 6, 2, 17, 5, 2, 1, 16, 1, 8, 4, 1, 2, 3, 1, 75, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 2, 4, 1, 7, 1, 8, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 15, 8, 2, 3, 1, 3, 298, 3, 55, 3, 1, 2, 16, 8, 1, 4, 1, 5, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 5, 14, 1, 20, 6, 1, 1, 6, 4, 1, 2, 33, 87, 4, 4, 2, 18, 3, 7, 1, 3, 1, 15, 2, 1, 21, 1, 2, 8, 6, 11, 4, 2, 7, 2, 3, 2, 4, 4, 1, 8, 2, 4, 14, 1, 2, 2, 1, 1, 29, 2, 1, 1, 4, 15, 2, 7, 1, 25, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 21, 1, 6, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 5, 6, 1, 5, 1, 1, 7, 3, 2, 1, 1, 6, 1, 1, 61, 1, 2, 18, 11, 1, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 5, 6, 27, 1, 11, 3, 1, 1, 2, 39, 1, 1, 1, 1, 1, 51, 1, 5, 2, 1, 1, 4, 1, 4, 7, 1, 2, 6, 4, 2, 1, 3, 1, 12, 2, 1, 18, 4, 2, 1, 1, 9, 10, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 34, 1, 1, 4, 1, 1, 4, 83, 1, 28, 1, 1, 3, 5, 4, 2, 8, 1, 103, 3, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 4, 19, 7, 3, 4, 1, 4, 4, 9, 11, 5, 1, 66, 7, 9, 416, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 6, 3, 4, 3, 1, 6, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 2, 69, 2, 1, 2, 6, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 1, 6, 3, 1, 281, 12, 2, 2, 2, 35, 47, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 402, 1, 18, 1, 14, 1, 322, 1, 5, 1, 10, 1, 5, 1, 16, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 10, 5, 1, 1, 11, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 4, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 8, 1, 1, 1, 4, 2, 15, 1, 1, 5, 2, 1, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 46, 2, 2, 2, 1, 18}, giving these values for u and v:

• u= 940845502 6754424665 6616503394 7030051670 8425986025 9676209596 0163878929 2306437471 5559285930 8108252805 9982103160 1500672291 8611835253 1412971189 3269717698 6423280283 6640734775 7657047347 1607560574 4383157435 6722628185 7425359713 2583059095 8564311606 4312408401 2087112707 1775201862 0505443424 6217964909 9368447236 3422662156 9369791645 2313507626 5024777346 4356007402 9900150551 7036451141 6121682309 2100451432 4486534090 0003016134 3917281391 3797426560 8698716148 4857085686 0846808314 4762499003 5738507038 0277369048 9550151945 1838832701 2854847038 5636493395 8939574786 0917233586 6955815356 0547581298 6478753803 9546885813 5970230960 7879336557 8291648215 3189036843 5398889664 9117157126 2970097593 5755440722 9229824703 0710710099 8571380906 9794429948 1669924244 2658081890 5208567080 7338627459 9299953752 4618504576 6012616407 7807758049 4132811582 3559758048 1257983863 0407821240 6498220718 4683038316 1076346906 1163443406 4043279524 6642357658 6276869328 5412141786 3957747058 4345248362 0378368983 1866951167 7901667051 9964746669 0734951928 3712130497 7400652113 2818213205 4526096732 0620127652 6927301591 5169335065 7080253838 6057425210 3762954690 8191190450 6927332519 7081272605 3316345077 2887547725 3323649832 4178986641 6964859467 8504748117 7785383255 1890038580 6194439249 8125923728 6908215636 4451010561 0610754918 3040103273 3818285017 0859950775 8526254966 0413659012 5857075222 2946529493 6434205345 5668396852 5849757780 4919859724 8613843273 4716113096 6246992252 8223674134 0138685303 5570463974 0587713978 8215258977 2599869806 5403411898 6241570677 6929693222 0180541228 6561764522 9222227398 2643291813 8748547238 5312245412 0328238840 9395365057 8494956231 7988035990 6798779366 4498448851 9664261939 3079245547 6243829538 0660273757 8489592848 5032152935 4580120351 7999834866 6083424914 7184908007 7617228580 8107852937 3570105665 0879784991 6430219001 8264788797 5421824097 4751901015 2957574117 4239438983 0300274035 5727448995 5927784028 1676817488 5259875958 0989522057 3257768507 1620647517 3573268764 5773248735 1436393369 9847860986 6762581666 9195696991 3240915954 7655797669 5140658872 8792863955 1773777457 3580816488 6896905693 4034365482 0412327161 3739222043 2415867807 1276216792 0250491163 2161679718 2469022710 5971067819 2778552439 8927676902 3504245033 3992416378 1456027901 8465798137 8964528554 6369969396 9500199358 5964149434 4643265004 4626377254 4215406311 4032021467 6133121371 0342227552 8991413626 8549485555 3380731000 0985415388 2616817887 5776794478 2784258688 7902318544 2271736398 4348945585 5262822796 9669774819 5730004360
• v= 956260572 8889406884 3744002061 7207024931 6279361733 7886020872 5733983670 7619390083 3022119529 3096692460 8511809804 1937413891 8746017236 2721227368 9965796225 0638984448 4025627645 9134504839 0847817112 0357953773 4894099318 7265747986 1163214005 0062748272 8684592514 5351904506 0697400582 4702150005 1008001780 1728402381 0266654233 3204271532 8862886435 6651614472 3132367196 7788471081 2045858905 7034701116 5761222075 1047385745 2793090778 8190401847 4827440169 3273848042 7560401554 0425130848 8383413034 3166018936 7934461423 1864742713 6883487913 0870528056 7279384817 3575892912 3589597257 5943778126 5048757214 5017490457 3845341055 1458334281 7050665584 8641690917 1126532304 7415537181 6762882446 3238339489 3445990304 5424575206 4278680412 5204784799 5847856446 1862504292 3833366724 4971904043 4059229581 7232200122 3072800673 8437667511 0885449469 0839737317 4014122949 2195257407 4329351606 9590254543 3188529719 9284905180 2796935794 0280991936 4320266349 0106778828 5947748932 8519093263 6539814374 4358250440 9326190502 3185628335 0117332238 7800640895 6468543191 7373961348 8306671123 9553083602 1691952113 3836903272 3443253606 0916099309 3843228243 0771183414 6521858205 5796506431 4516505688 2419970560 8547536253 6842587795 9665113370 8562345449 6853739636 1830831617 5050155483 9648729176 4174623540 4969893365 8972825158 6393616565 9344560686 7134206555 8485023107 0034454433 1504114551 2378926810 7946970130 5985517929 0051055399 2797385915 2768733324 0671533187 1153410024 3936822814 3604474548 3145133126 9332297487 3442257275 7450028549 1314070972 7816143516 4892178208 6897952560 5533671747 9798023806 1595107791 1346084194 0665823915 0071142104 6975573383 3827103395 0887355468 7832075510 1428033079 2451788806 6574418075 7306153974 5886889040 5207335499 0284907629 6962634898 1600956129 5882214827 0397495614 6598446826 4190767075 0296013746 4068790383 7525807020 2204929955 1501769054 4336825581 3293759302 4534266270 1945518820 0687308696 2927248536 6234357646 2977226371 9452050530 7051806380 8220549073 0073480249 1372955408 2368667822 4445872274 2384119925 0106419628 8364230185 4995195321 7956852306 0142717140 1390569622 5796682617 7396329178 4210217298 2955989707 5550298023 0880075449 2860933790 1979952548 1117743615 4622836624 7637694658 9470824789 4056021179 4021606074 2463031859 3515761857 8425876671 5683410842 2191937142 2285722712 9404563616 5189620863 7546041322 1003678870 0687588452 2863464869 6315583120 8830454113 0642752542 6000821402 9665983638 5543660082 3996187994 9133037688 3731469416 3476529447 1723547065 0841131222 7452975624 3379049024 7628040729

We also need to calculate d = floor(c₄·v/F + 0.5) = 28 9935158935 0344827494 8870591340 9586398651 2172678165 3391104189 9197028494 1068178817 1625858043 1648203989 6289656216 2083694793 4650317610 8437088789 5017356530 7831966410 7925664674 3544779284 3433422147 2343074002 9743138879 1981539641 3375277335 7282638602 6324089890 8789248936 9924054245 6879312321 2743363904 7633298964 7887939733 5446575081 9227894469 1102163780 1072593292 9783222399 8455232758 4606178131 4075100596 0683636069 0961222229 1349894017 0039715789 0401885761 5257940131 9157249069 3956286863 0626541542 2944292223 0917680862 5257856966 0566764973 3902140552 5928745071 0402189533 7227046467 4200753394 0880893556 0878806144 6421763193 7672409877 2849247734 3051309021 2079507244 5563128136 0176471852 6379658940 1423063022 7014471582 1652080649 2612425801 2519857365 0855790925 0797781398 4411719502 7648587443 6683254391 9757154745 2104048850 2366159859 2893982768 1937378681 5621160930 6556960766 4451945341 4156605608 9650724264 4240508281 3556710803 5259523558 9850268099 7336872185 3934286480 8601161812 4364418727 9641485419 6402256469 7583482649 3417623543 3374326118 1064056539 6004567346 0131796255 9675495693 1237171692 4166624761 6036413984 2134035878 6231308149 7568722361 0354214122 9122130550 8828771690 3816129222 0240646227 5727431529 0728420685 6777929880 4801108400 7682293945 6987394606 3592899829 1839074300 8647355351 1137139734 7652315092 4341363257 8427082222 0543750636 4331767948 8869553889 9651906165 8999206782 5559766005 4556035759 9074814795 3381171662 7906873052 4318521752 6869796218 3963868943 3369960610 8035444498 7846824939 2539424003 4654920613 5465158317 4810523730 7547851989 5399869714 7028702013 9685280375 0949058545 5282772442 6730204239 1065361375 1952943981 2427929753 2683998397 8045799372 9954573910 3938099745 8611273508 3053883264 5266152206 4348913619 4418046237 7909765984 7076223664 0122052940 2211045062 3402628012 7033366026 3832815890 9457050291 2319576130 7790866939 5862583996 3830489117 5158415567 4196606876 6878185745 6813091375 4803154487 6033343991 4441466400 7462005250 1986768112 4147437180 0652103997 0363503227 9911923592 4597307230 7498979190 3663077246 7545756887 3323189271 4722023366 7580778916 1038519427 5587439530 4193472351 0669771103 5565969879 8476766119 0005809073 5934244855 4090023337 0441170850 9772198665 9456818293 4840815420 9991283937 6740280782 6743983457 5870979559 8369704119 3910516917 2593329919 4204453273 5348996067 3712437906 0052519022 7975211395 0081902507 3775123734 0785808592 1686428368 8402519939 1981169661 6023417846 6496013646 3685407815 4853548028 6179124357 6056501086 8456714077 1038902181 8616003194 7550290850 4649020232 3137696963 9662775197 2225811270 2491338004 9740771938 4433773283 1267822491 7683586956 7663411867 2137772904 4239173803 1266886257 9923726967 2655014184 8780123848 5861713930 7604237801 4540417270 0634355426 2585168361 0591425876 3885786154 5741210364 9991413032 6300490135 1868514422 8641342204 0499400668 9256215168 9826414626 3476086490 5420831948 0378375947 4538605143 4141770328 5253940794 2229913223 7119327116 7919405391 7385984606 1327703833 3690468421 7186748601 7560982404 8633985781 7413079855 2591932064 9460702309 1745167822 1950061844 1954120237 9022660223 7015172737 0690182332 1184526456 9339111995 2098645059 4285111436 5179620176 6637950369 5971983693 4807878812 8673690782 7242269988 0747907011 0485209663 5490921054 7553733715 7305952196 1761461030 7426451417 2684135814 1637430584 4721441837 8905922453 8001609942 4174898367 9742636257 5310896473 6532893518 1573393240 2123930709 8936630663 3557617607 0972067317 3079996600 4763898229 7792265900 0371730419 2806569377 2626631269 6291350990 4077718417 8910861926 0070226203 3390100069 6940443983 0997232020 4059969062 6654422802 7715593832 1605635732 2823324618 1668766740 4463747117 2193075776 8274825232 6855486745 9983217713 7608199303 4176558064 6795108340 9925367577

Cubic Polynomial

We now consider the cubic P(x)= v·x³ + (u·F-c₁·v)·x² + (c₄·v-d·F+u)·x - d, which we express as: z₁·x³ + z₂·x² + z₃·x + z₄, where:

• z₁= +956260572 8889406884 3744002061 7207024931 6279361733 7886020872 5733983670 7619390083 3022119529 3096692460 8511809804 1937413891 8746017236 2721227368 9965796225 0638984448 4025627645 9134504839 0847817112 0357953773 4894099318 7265747986 1163214005 0062748272 8684592514 5351904506 0697400582 4702150005 1008001780 1728402381 0266654233 3204271532 8862886435 6651614472 3132367196 7788471081 2045858905 7034701116 5761222075 1047385745 2793090778 8190401847 4827440169 3273848042 7560401554 0425130848 8383413034 3166018936 7934461423 1864742713 6883487913 0870528056 7279384817 3575892912 3589597257 5943778126 5048757214 5017490457 3845341055 1458334281 7050665584 8641690917 1126532304 7415537181 6762882446 3238339489 3445990304 5424575206 4278680412 5204784799 5847856446 1862504292 3833366724 4971904043 4059229581 7232200122 3072800673 8437667511 0885449469 0839737317 4014122949 2195257407 4329351606 9590254543 3188529719 9284905180 2796935794 0280991936 4320266349 0106778828 5947748932 8519093263 6539814374 4358250440 9326190502 3185628335 0117332238 7800640895 6468543191 7373961348 8306671123 9553083602 1691952113 3836903272 3443253606 0916099309 3843228243 0771183414 6521858205 5796506431 4516505688 2419970560 8547536253 6842587795 9665113370 8562345449 6853739636 1830831617 5050155483 9648729176 4174623540 4969893365 8972825158 6393616565 9344560686 7134206555 8485023107 0034454433 1504114551 2378926810 7946970130 5985517929 0051055399 2797385915 2768733324 0671533187 1153410024 3936822814 3604474548 3145133126 9332297487 3442257275 7450028549 1314070972 7816143516 4892178208 6897952560 5533671747 9798023806 1595107791 1346084194 0665823915 0071142104 6975573383 3827103395 0887355468 7832075510 1428033079 2451788806 6574418075 7306153974 5886889040 5207335499 0284907629 6962634898 1600956129 5882214827 0397495614 6598446826 4190767075 0296013746 4068790383 7525807020 2204929955 1501769054 4336825581 3293759302 4534266270 1945518820 0687308696 2927248536 6234357646 2977226371 9452050530 7051806380 8220549073 0073480249 1372955408 2368667822 4445872274 2384119925 0106419628 8364230185 4995195321 7956852306 0142717140 1390569622 5796682617 7396329178 4210217298 2955989707 5550298023 0880075449 2860933790 1979952548 1117743615 4622836624 7637694658 9470824789 4056021179 4021606074 2463031859 3515761857 8425876671 5683410842 2191937142 2285722712 9404563616 5189620863 7546041322 1003678870 0687588452 2863464869 6315583120 8830454113 0642752542 6000821402 9665983638 5543660082 3996187994 9133037688 3731469416 3476529447 1723547065 0841131222 7452975624 3379049024 7628040729
• z₂= +4 1664926026 9956210353 2601678969 3951895446 2995660629 1361633641 9831039396 3473274730 3335171598 4252714221 5645433263 3061150122 2016761990 4583984355 3851456095 7145262365 0839853661 9301082237 8482544584 7276716597 7467477821 3773443028 8310413508 0107638216 4585287650 8367162520 7496434842 6209448763 1351320071 4974950468 9249652249 7653545465 9238062347 0169494351 2354165847 8810382409 8157840805 9186583457 0106838261 8293391393 3096174054 3635788021 0452075659 4868993278 2069867400 0914579388 3963300916 2455894834 4526451939 5078331437 0678737006 2316914447 1257863880 0313151183 7834918829 6170383073 4607366662 8035539321 7637821720 6701868870 7792437537 4959718290 3095167502 7298032253 5825256449 6955739423 7223360498 3473612098 4189731457 4379865688 3287258528 5056467936 7378629801 7599671539 8520776622 6798489892 5059918104 9700119055 9782649033 3611001087 6745849253 2207022590 6882743778 9083079426 0199752378 8820300552 1350632167 9900770331 5709799433 6375342826 9225154951 8761290157 8132518557 6839138014 6314491827 2719230173 3761926170 0605327238 9312109854 7948313704 6818473961 6789496586 1078083873 3517413898 7933389036 3362525630 8067289837 7293822439 3960994461 4469383620 8623105495 3849482418 8832024413 1797877941 2144152737 5742706174 4653775467 2225599642 5744685267 6748052724 5095554488 7100167297 1480588210 2602378052 0378018009 5342697278 7433209533 5414796807 0211249719 3541917052 6621607861 2886305462 3811776009 5585045101 6470823472 1494873004 2638027069 2160385704 1009594718 3612693832 9163609499 5359517960 5257423060 4157724125 4345983560 2907374005 8326952397 9531237490 0519270582 4475959032 7682984956 1541272759 4525542084 3254950840 5668613377 1881759119 5724126924 0839035507 5585136406 3344257708 0787013394 9954316133 1573913460 0785234901 2269194889 1572985390 0169896788 4114310420 3913485496 9779319294 7803097470 4068200255 6098608926 0510332381 9885210436 0781554908 7927848096 6668662905 5235101685 6685139159 7757404571 0884660809 5380702639 2152307920 8775247019 4534962606 6552683695 1648733888 6139938447 8751072520 2379302914 0493548352 9359053158 6510062761 9352574572 3067875046 8162604631 1097078415 5836196531 6273220088 6623181366 1452214913 0522545482 6932190834 1882826232 0992326597 6833784485 1394778442 5957700029 0693449716 5030792336 3973560786 1350869617 6847362392 4675464386 5246635427 1675250799 7923451124 0831499509 7885570387 9509697605 6863615388 6233879350 7801809882 0305676460 6076214446 1444708946 1365222539 6458076133 1717983113 9469261249 7241737774 9310784250 8128790053 6660706224 5337649427 6843170587 6800591826 7623033377 5126691408 3499782092 3970127411 6130701873 4773329193 1356117255 7119399244 8798286279 3621104224 5086024670 2108678154 2632258671 8096340090 4247194601 6203052025 8043110994 2302792105 1919697880 4395203985 0191757848 3325683210 2183679058 8507472134 7817267510 2264076074 2712613941 7192241321 8055445975 4303577915 7132646466 8536698123 0844263326 5668920856 3296802243 1343747303 9927333203 0646410540 0580196686 3628812249 4996342240 2003703196 2318702198 1979167180 9606789205 1291063917 9644426624 7740702880 2069139346 7331422938 2887491330 7040174555 6321900928 2221944275 6838519465 9818865619 9553343289 4424734985 3237841127 9630387607 5506619451 1090122765 6407465459 0576142343 0088554947 3672018311 4765582904 7271924794 5049120123 9556007914 5677531285 0557094835 5408123508 1251690774 9577443737 8726065219 8735882766 0760662861 4522005532 1786268521 7361493425 9887872200 3443791183 1828381806 2653052358 8233207089 9561147299 3656539549 3992985408 5466829257 4905218421 1143517828 4709293699 8194843039 1503695498 7303217984 9537688979 6469882093 1060727375 5284402666 8896211737 5772464428 7669948447 6798652855 3182904508 8903871194 0653839704 9846665376 7627941434 0655027916 1857919667 3195965687 6818383922 4859049059 9242219234 6945775593
• z₃= +59615324 8914206118 2062980663 4502384291 0555438848 1305681312 8184461660 4391710647 2213692654 5214761280 2211246959 4959914429 7361070591 0854179202 9148752431 1553146203 2824360651 0577253752 1939108276 2337953697 1226111265 4323851421 0198001609 5850225271 9674982918 7123908320 4756603949 6789400441 4677125191 0172317702 3447698752 4349428693 4054761069 4707828864 2666269604 5157460287 5457589801 3610896552 7356891797 4248527902 7462801293 8819258327 6274420305 2244449997 5853187430 3705126952 2453751642 3943688529 2703440315 6634026302 4598041349 2306512628 8025743689 1070047352 3746735745 1565563040 5983825957 3081367639 3587376570 5066267462 3119902469 3723000968 1243682915 0986467936 2186299849 7750220296 4724817514 8211230537 1120671483 5413928000 5222474769 7234184676 9625471771 0027142769 4250489035 6864397209 3178474864 7259390752 5668566069 6879771355 0370813566 2749532105 3522122402 2576773473 8683915280 1634969115 0967930393 8697494710 2979072420 9178865954 4888125803 4489755496 4808745538 9015288250 0931731496 6247354496 5768642602 0742930187 2407146754 8359336445 0833521380 6413402847 3212694631 4803408679 0459656301 8501328195 3670023042 8511448019 8225323275 8427266945 4761658910 1199875411 1197982613 7790078528 3323910810 9824769587 7654381023 7637538063 6256306868 5121324125 8605597773 4259508878 4493829789 7523529673 7718773587 7903367894 7005434571 7515676434 6399202330 7626354048 6900449235 1442259992 9862121236 5496179684 8872725617 1814839095 1537626762 5209701282 7295214797 2573380771 6520989031 3554654053 2284648960 4255817519 7063998364 5291006070 6742184576 6791343692 5422175345 3306757055 2079361918 7778521481 0088024441 4562289999 8699887801 7679863861 1057734841 6224379257 0905803421 3874245557 0699877072 0842681824 6855508801 6621071713 9740471437 8381658769 8823427599 2700637627 7045257225 5691657347 6471228566 1136063250 9758259033 4611272169 0681444895 7409653934 3009849929 5249538457 4248226618 1212344238 0784274873 7668823971 7477364729 0145313152 2884753493 3972396282 3666615462 6553698332 8173783749 8700635056 2064669573 6222769215 4815235415 9176927995 4836932877 3909098331 3292991202 3987301921 4113413227 3898782626 9913967824 7490709531 0885749625 0974691509 9822673103 1424536336 4170099612 3368588124 8840922544 8964853666 7363484871 3105556606 6308132108 8481717416 2704895852 7132948100 7426462372 9153574494 7733726966 7661826744 9119584990 4275190628 0922663124 8119202830 2743994020 8342766678 1296680307 4037679542 6743461518 6950913198 1738246541 7063933285 9609024248 9498345017 0282111248 5884329227 9603949941 9146485970 3082685867 5174705040 4082557064 4148706651 7106420916 4770836825 9290323740 6224769136 5009248691 2196309487 9774826942 1743986359 4517679984 3456704773 2564377308 4860891502 6463249411 5862315312 9104391582 4696293696 8497604680 0974714096 1972979697 3460954692 5174777782 2329078537 5136224739 9963931385 1631107585 0942844706 6767980752 9867188031 1386860103 5283612274 3139940220 2501717806 7079898495 2504754873 6073626751 0124379706 9783882229 5523043884 4884005907 2181357030 0916737663 5185019052 3624471451 7088252959 8070223465 3906124429 0338104019 7111610850 6496297633 6714320149 0321617627 2540611804 8984145281 9777416048 7665370183 4103795206 0306709236 6870153704 7992878656 8726366841 6723335701 5735002779 6372548891 5678986684 1648332135 6997233032 1211431792 2612114111 4371548712 4856222943 0821547394 7495586628 8307368806 7570254907 7850035341 9488804419 5568588202 4833494285 1694797939 7073782189 0861695748 3098994114 2812198137 2626513288 2382066421 2025283750 1233214737 0455788210 3162624150 6424245779 0307091343 5837459799 0262510731 5267766089 7913951004 0265536021 8693913118 4613095527 7762592153 7000363134 3232114581 3599512764 8592424585 1286006197 7360455701 6530979997 1145274052 8812580192 8643438379 8663958078 6845862426 4062243337 5731465585 4943931014 0508649593 0017902042 5413322764 4181521039 5327870324 2851890231 1303564123 1125155186 8732223345 6182044646 1966723195 7490415653 3190220651 5531751438 4357145124 4578542467 9262546587 9948334123 4505460783 1022702373 7197655188 0978337706 2159515662 1309289060 0408843007 2920087888 0658332090 9420109766 3659650952 3622828413 4493907931 0468369548 8905080409 2172482702 4027237000 7468866736 0921467127 0558914766 6134646332 0489363828 6602545785 9912927356 6695699174 5911817294 6373745507 3051167234 4301397228 8987401390 3637726464 2134099196 9293133408 3008267820 1525190752 1642795382 2856829883 7441894160 3988719532 9837180712 5678678496 1806832216 9591798607 1337705666 2501322594 7986898889 2074802285 7324688094 6666252145 4047747817 7177103578 9516604383 4102193728 8988149957 6246832755 9555937405 1504925115 2546348496 0825886138 5238000950 5095356485 3672136651 7863972666 2850857305 9454394093 3177214830 7495748053 8309680229 1175942194 7529908346 1498868849 1519188590 8220930557 4550987852 7328688964 1597341405 7313620864 8759367058 5635474781 6509896515 6751241789 1754380621 7086338305 7755380319 6679279078 4351873528 3592924446 4955216112 4658459722 0260177047 0356406780 9895876138 6722385872 9814461273 4228142334 7019079677 6406600195 9557669413 4933145512 2978276807 0883074298 1527717359 5443720253 3722594155 6457993163 7786091319 3074662442 0679892809 5954559520 5028697466 2157668366 7346974339 9052165054 3337702602 8634869975 3307690199 1206086035 7572772425 2260872697 3459504309 5137701329 1075597410 7799812301 0023165087 3380607183 2009484003 6552197679 4491314562 5782355648 0323628333 2740484347 8853993307 4814039779 1255339481 0539902907 6762301935 6978471570 5751790364 6439235785 8519630732 4598529205 6365708706 4490367852 5116214538 3598616475 2880516364 3891554219 5826257548 7124419813 0934475147 7659540778 4118978302 2133139714 2538804993 8103928555 1535654362 4630649434 4436900090 3140518347 4890065384 4260468404 2479984302 4939268848 4849353970 4886135388 9474532699 8370640070 1751053330 3756290868 7196706697 4257229071 2198002262 5823627948 1808169891 3602225715 6803987477 2207008361 4623684354 0622918333 9388496578 1688832884 8126034757 9966093984 6634373719 8245652561 8122616067 6164394394 7620254657 2201974269 0739895852 5132830042 0453493511 3477285953 8224711174 1668994453 9288034332 6395753766 3029378473 6746801629 0630389366 0019682541 3989377074 4753324059 3504799382 4835817730 4081455523 2631374024 3747177687 8607147781 7799193430 8066674734 7047130042 2152218568 0657641397 9966404870 0507333793 5118330264 2508192816
• z₄= -28 9935158935 0344827494 8870591340 9586398651 2172678165 3391104189 9197028494 1068178817 1625858043 1648203989 6289656216 2083694793 4650317610 8437088789 5017356530 7831966410 7925664674 3544779284 3433422147 2343074002 9743138879 1981539641 3375277335 7282638602 6324089890 8789248936 9924054245 6879312321 2743363904 7633298964 7887939733 5446575081 9227894469 1102163780 1072593292 9783222399 8455232758 4606178131 4075100596 0683636069 0961222229 1349894017 0039715789 0401885761 5257940131 9157249069 3956286863 0626541542 2944292223 0917680862 5257856966 0566764973 3902140552 5928745071 0402189533 7227046467 4200753394 0880893556 0878806144 6421763193 7672409877 2849247734 3051309021 2079507244 5563128136 0176471852 6379658940 1423063022 7014471582 1652080649 2612425801 2519857365 0855790925 0797781398 4411719502 7648587443 6683254391 9757154745 2104048850 2366159859 2893982768 1937378681 5621160930 6556960766 4451945341 4156605608 9650724264 4240508281 3556710803 5259523558 9850268099 7336872185 3934286480 8601161812 4364418727 9641485419 6402256469 7583482649 3417623543 3374326118 1064056539 6004567346 0131796255 9675495693 1237171692 4166624761 6036413984 2134035878 6231308149 7568722361 0354214122 9122130550 8828771690 3816129222 0240646227 5727431529 0728420685 6777929880 4801108400 7682293945 6987394606 3592899829 1839074300 8647355351 1137139734 7652315092 4341363257 8427082222 0543750636 4331767948 8869553889 9651906165 8999206782 5559766005 4556035759 9074814795 3381171662 7906873052 4318521752 6869796218 3963868943 3369960610 8035444498 7846824939 2539424003 4654920613 5465158317 4810523730 7547851989 5399869714 7028702013 9685280375 0949058545 5282772442 6730204239 1065361375 1952943981 2427929753 2683998397 8045799372 9954573910 3938099745 8611273508 3053883264 5266152206 4348913619 4418046237 7909765984 7076223664 0122052940 2211045062 3402628012 7033366026 3832815890 9457050291 2319576130 7790866939 5862583996 3830489117 5158415567 4196606876 6878185745 6813091375 4803154487 6033343991 4441466400 7462005250 1986768112 4147437180 0652103997 0363503227 9911923592 4597307230 7498979190 3663077246 7545756887 3323189271 4722023366 7580778916 1038519427 5587439530 4193472351 0669771103 5565969879 8476766119 0005809073 5934244855 4090023337 0441170850 9772198665 9456818293 4840815420 9991283937 6740280782 6743983457 5870979559 8369704119 3910516917 2593329919 4204453273 5348996067 3712437906 0052519022 7975211395 0081902507 3775123734 0785808592 1686428368 8402519939 1981169661 6023417846 6496013646 3685407815 4853548028 6179124357 6056501086 8456714077 1038902181 8616003194 7550290850 4649020232 3137696963 9662775197 2225811270 2491338004 9740771938 4433773283 1267822491 7683586956 7663411867 2137772904 4239173803 1266886257 9923726967 2655014184 8780123848 5861713930 7604237801 4540417270 0634355426 2585168361 0591425876 3885786154 5741210364 9991413032 6300490135 1868514422 8641342204 0499400668 9256215168 9826414626 3476086490 5420831948 0378375947 4538605143 4141770328 5253940794 2229913223 7119327116 7919405391 7385984606 1327703833 3690468421 7186748601 7560982404 8633985781 7413079855 2591932064 9460702309 1745167822 1950061844 1954120237 9022660223 7015172737 0690182332 1184526456 9339111995 2098645059 4285111436 5179620176 6637950369 5971983693 4807878812 8673690782 7242269988 0747907011 0485209663 5490921054 7553733715 7305952196 1761461030 7426451417 2684135814 1637430584 4721441837 8905922453 8001609942 4174898367 9742636257 5310896473 6532893518 1573393240 2123930709 8936630663 3557617607 0972067317 3079996600 4763898229 7792265900 0371730419 2806569377 2626631269 6291350990 4077718417 8910861926 0070226203 3390100069 6940443983 0997232020 4059969062 6654422802 7715593832 1605635732 2823324618 1668766740 4463747117 2193075776 8274825232 6855486745 9983217713 7608199303 4176558064 6795108340 9925367577

We need to prove that this cubic has no integer roots r such that r·F+1 is a non-trivial factor of N. Clearly r (if it exists) must lie between 1 and R.

P has a single real root at:

• 0+ε∈(0,1)
  (Root is not an integer)

There are no integer roots of P in the interval (1,R), so the proof of primality is complete.